Các dạng bài tập nâng cao về số nguyên tố cực hay, có lời giải

Các dạng bài tập nâng cao về số nguyên tố cực hay, có lời giải

A. Phương pháp giải

Quảng cáo
Cài đặt app vietjack

Phương pháp: Cách tìm chữ số tận cùng

• Các chữ số cuối cùng của 1n là 1.

• Các chữ số cuối cùng của 5n là 5 với n>0

• Các chữ số cuối cùng của 2n được lặp lại theo chu kì 4k + 1, với k là số tự nhiên và 1 = 0,3 , tức là:

   + n=4,8,…,4k+0 có chung chữ số cuối cùng là 6;

   + n=1,5,9,…,4k+1 có chung chữ số cuối cùng là 2;

   + n=2,6,10,…,4k+2 có chung chữ số cuối cùng là 4;

   + n=3,7,11,…,4k+3 có chung chữ số cuối cùng là 8;

• Các chữ số cuối cùng của 3n được lặp lại theo chu kì 4k+1, với k là số tự nhiên và 1= 0,3 , tức là:

   + n=0,4,8,…,4k+0 có chung chữ số cuối cùng là 1;

   + n=1,5,9,…,4k+1 có chung chữ số cuối cùng là 3;

   + n=2,6,10,…,4k+2 có chung chữ số cuối cùng là 9;

   + n=3,7,11,…,4k+3 có chung chữ số cuối cùng là 7;

Quảng cáo


• Các chữ số cuối cùng của 7n được lặp lại theo chu kì 4k+1, với k là số tự nhiên và 1= 0,3 , tức là:

   + n=0,4,8,…,4k+0 có chung chữ số cuối cùng là 1;

   + n=1,5,9,…,4k+1 có chung chữ số cuối cùng là 7;

   + n=2,6,10,…,4k+2 có chung chữ số cuối cùng là 9;

   + n=3,7,11,…,4k+3 có chung chữ số cuối cùng là 3;

• các số có chữ số tận cùng là 0,1,5,6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì được chữ số tận cùng vẫn không thay đổi

• các số có chữ số tận cùng là 4,9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi

• các số có chữ số tận cùng là 3,7,9 khi nâng lên lùy thừa bận 4n (n là số tự nhiên) thì chữ số tận cùng là 1

• các số có chữ số tận cùng là 2,4,8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n là số tự nhiên) thì chữ số tận cùng là 6

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh rằng các số sau đây là hợp số:

a) 27+311+513+717+1119

b) 1+2123+23124+25125

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: 27+311+513+717+1119

Theo quy ước ta có:

27 có chữ số tận cùng là 8

311 có chữ số tận cùng là 7

513 luôn có chữ số tận cùng là 5

717 có chữ số tận cùng là 7

1119 luôn có chữ số tận cùng là 1

Ta có: 27+311+513+717+1119 có chữ số tận cùng là 8

Suy ra 27+311+513+717+1119 chia hết cho 2.

Vậy, đây là hợp số.

Quảng cáo
Cài đặt app vietjack

b) Ta có :1+2123+23124+25125

2123 có chữ số tận cùng là 1

23124 có chữ số tận cùng là 1 ( các số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n là số tự nhiên) thì có chữ số tận cùng là 1. Số đã cho có số mũ là 124 = 4.31)

25125 luôn có chữ số tận cùng là 5

Nên 1+2123+23124+25125 có chữ số tận cùng là 8

suy ra 1+2123+23124+25125 chia hết cho 2.

vậy, đây là hợp số.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu ba số a, a+k, a+2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì k chia hết cho 6

Hướng dẫn giải:

Do a, a + k, a + 2k đều là nguyên tố lớn hơn 3 nên đều là số lẻ và không chia hết cho 3.

• Vì a và a + k cùng lẻ nên a + k - a = k ⋮ 2. (1)

• Vì a, a + k, a + 2k đều không chia hết cho 3 nên khi chia cho 3 ít nhất hai số có cùng số dư, khi đó:

   + Nếu a và a + k có cùng số dư, thì suy ra: (a+k) - a = k ⋮ 3

   + Nếu a + k và a + 2k có cùng số dư, thì suy ra: (a+2k )- (a+k)= k ⋮ 3

   + Nếu a và a + 2k có cùng số dư, thì suy ra:

( a + 2k ) - a = 2k 3 nhưng (2,3) = 1 nên k 3

Vậy, ta luôn có k chia hết cho 3 (2)

Từ (1),(2) và do (2,3)=1 ta suy ra k ⋮ 6, đpcm.

Nhận xét: Trong lời giải trên, ta đã định hướng được rằng để chứng minh k ⋮ 6 thì cần chứng minh k ⋮ 2 và k ⋮ 3 và ở đó:

• Việc chứng minh k ⋮ 2 được đánh giá thông qua nhận định a, a + k,a + 2k đều là nguyên tố lẻ hơn kém nhau k đơn vị.

• Việc chứng minh k ⋮ 3 được đánh giá thông qua nhận định “ba số lẻ không chia hết cho 3 thì có ít nhất hai số có cùng số dư” và như vậy hiệu của hai số đó sẽ chia hết cho 3.

Ví dụ 3: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số nguyên tố đó là số chẵn hay lẻ?

Hướng dẫn giải:

Ta thấy trong 25 số nguyên tố có 1 số chẵn còn lại là 24 số lẻ. Tổng của 24 số lẻ là một số chẵn nên tổng của 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 là số chẵn.

Ví dụ 4: Tổng của ba số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó.

Hướng dẫn giải:

Vì tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012, nên trong 3 số nguyên tố đó tồn tại một số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất. Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó là 2

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Tìm bốn số nguyên tố liên tiếp, sao cho tổng của chúng là số nguyên tố.

Câu 2: Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 được không?

Câu 3: Tìm hai số nguyên tố, sao cho tổng và hiệu của chúng đều là số nguyên tố.

Câu 4: Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì ta được một số là lập phương của một số tự nhiên.

Câu 5: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng p + 1 chia hết cho 6.

Câu 6: Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm số dư r.

Câu 7: Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị. Tìm hai số nguyên tố sinh đôi nhỏ hơn 50.

Câu 8: Tìm số nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai chữ số nguyên tố và bằng hiệu của hai số nguyên tố.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 6 chọn lọc, có đáp án chi tiết hay khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 6 hay khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 6 tại khoahoc.vietjack.com

GIẢM GIÁ 40% KHÓA HỌC VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 6 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Tiếng Anh lớp 6 - cô Tuyết Nhung

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Toán 6 - Cô Diệu Linh

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Văn 6 - Cô Ngọc Anh

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k9: fb.com/groups/hoctap2k9/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 6 có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Số học 6 và Hình học 6.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Nhóm học tập 2k9