Lý thuyết Tính chất ba đường trung trực của tam giác lớp 7 (hay, chi tiết)

Bài viết Lý thuyết Tính chất ba đường trung trực của tam giác lớp 7 hay, chi tiết giúp bạn nắm vững kiến thức trọng tâm Tính chất ba đường trung trực của tam giác.

Lý thuyết Tính chất ba đường trung trực của tam giác lớp 7 (hay, chi tiết)

A. Lý thuyết

1. Đường trung trực của tam giác

• Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác đó.

Ví dụ: a là đường trung trực ứng với cạnh BC của tam giác ABC.

• Mỗi tam giác có ba đường trung trực.

Tính chất: Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh này.

Ta có: tam giác ABC cân tại A có đường trung trực của đoạn thẳng BC là AM, khi đó AM cũng là trung tuyến ứng với cạnh BC của tam giác ABC.

2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Điểm O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC, ta có OA = OB = OC

Chú ý: Vì giao điểm O của ba đường trung trực của tam giác ABC cách đều ba đỉnh của tam giác đó nên có một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A, B, C. Ta gọi đường tròn đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

3. Ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Tìm một điểm O cách đều ba điểm A, B, C

Lời giải:

Điểm O cách đều hai điểm A, B suy ra điểm O nằm trên đường trung trực của AB

Điểm O cách đều hai điểm B, C suy ra điểm O nằm trên đường trung trực của BC

Điểm O cách đều hai điểm A, C suy ra điểm O nằm trên đường trung trực của AC

Do đó: điểm O cách đều ba điểm A, B, C thì O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có $\hat{A}$ là góc tù. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC theo thứ tự tại P và E. Đường tròn tâm O bán kính OA đi qua những điểm nào trong hình vẽ

Lời giải:

Ta có O là điểm thuộc trung trực của đoạn AB nên OA = OB

Lại có O thuộc đường trung trực của đoạn AC nên OA = OC

Từ (1) và (2) suy ra OA = OB = OC

Vậy đường tròn (O, OA) đi qua các điểm A, B, C

B. Bài tập

Bài 1: Cho tam giác ABC có đường phân giác AK của góc A. Biết rằng giao điểm của đường phân giác của tam giác ABK trùng với giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. Tìm số đo các góc của tam giác ABC.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABK

Theo đề bài, O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC

Vậy OA = OB = OC

Do đó: các tam giác AOB, AOC, BOC là các tam giác cân tại đỉnh O

Khi đó:

Bài 2: Trên ba cạnh AB, BC và CA của tam giác đều ABC, lấy các điểm theo thứ tự M, N, P sao cho AM = BN = CP. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh O cũng là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác MNP.

Lời giải:

+ Theo giả thiết O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC nên ta có: (giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác)

+ Ta có: tam giác ABC đều có O là giao điểm ba đường trung trực nên O cũng là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác ABC

Suy ra AO, BO, CO lần lượt là các tia phân giác các góc BAC, ABC và ACB

Hay O là giao điểm của ba đường trung trực tam giác MNP.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho ΔABC, hai đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC. Hãy chọn câu sai:

A. BM = MC;

B. ME = MD;

C. DM = MB;

D. M không thuộc đường trung trực của DE.

Bài 2. Cho ΔABC có AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = AB. Các đường trung trực của BE và AC cắt nhau tại O. Chọn câu đúng

A. ΔABO = ΔCOE;

B. ΔBOA = ΔCOE;

C. ΔAOB = ΔCOE;

D. ΔABO = ΔOCE.

Bài 3. Cho ΔABC có AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = AB. Các đường trung trực của BE và AC cắt nhau tại O. Chọn câu đúng

A. AO là đường trung tuyến của tam giác ABC;

B. AO là đường trung trực của tam giác ABC;

C. AO ⊥ BC;

D. AO là tia phân giác của $\hat{A}$.

Bài 4. Cho ΔABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AK = AH. Kẻ KD ⊥ AC (D ∈ BC). Chứng minh rằng:

a)  ΔAHD = ΔAKD;

b)  AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK;

c) AD là tia phân giác của $\widehat{HAK}$.

Bài 5. Cho tam giác ABC có $\hat{A}$ là góc tù. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC theo thứ tự ở D và E.

a) Các tam giác ABD, ACE là tam giác gì?

b) Đường tròn tâm O bán kính OA đi qua những điểm nào trên hình vẽ?

Xem thêm các phần lý thuyết, các dạng bài tập Toán lớp 7 có đáp án chi tiết hay khác:

• Lý thuyết Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
• Bài tập Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
• Lý thuyết Tính chất ba đường cao của tam giác
• Bài tập Tính chất ba đường cao của tam giác
• Tổng hợp Lý thuyết & Trắc nghiệm Chương 3 Hình Học 7
• Tổng hợp Trắc nghiệm Chương 2 Đại Số 7

Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều

---