Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp

A. Lý thuyết

1. Phương pháp

Ta trình bày phép chia tương tự như cách chia các số tự nhiên. Với hai đa thức A và B của một biến, B≠0 tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho:

A = B.Q + R, với R=0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B.

   Nếu R=0, ta được phép chia hết.

   Nếu R≠0, ta được phép chia có dư.

Ví dụ: Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi làm phép chia:

a, ( x3 - 7x + 3 - x2 ):( x - 3 ).

b, ( 5x3 + 7 - 3x2 ):( x2 + 1 ).

Hướng dẫn:

a) Ta có:

Lý thuyết: Chia đa thức một biến đã sắp xếp | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Khi đó ta có: ( x3 - 7x + 3 - x2 ) = ( x - 3 ).( x2 + 2x - 1 )

b) Ta có

Lý thuyết: Chia đa thức một biến đã sắp xếp | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Khi đó ta có ( 5x3 + 7 - 3x2 ) = ( x2 + 1 )( 5x - 3 ) - 5x + 10.

B. Trắc nghiệm & Tự luận

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Kết quả của phép chia ( 7x3 - 7x + 42 ):( x2 - 2x + 3 ) là ?

   A. - 7x + 14   B. 7x + 14

   C. 7x - 14   D. - 7x - 14

Ta có phép chia

Bài tập: Chia đa thức một biến đã sắp xếp | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Chọn đáp án B.

Bài 2: Phép chia x3 + x2 - 4x + 7 cho x2 - 2x + 5 được đa thức dư là ?

   A. 3x - 7.   B. - 3x - 8.

   C. - 15x + 7.   D. - 3x - 7.

Ta có phép chia

Bài tập: Chia đa thức một biến đã sắp xếp | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Dựa vào kết quả của phép chia trên,, ta có đa thức dư là - 3x - 8.

Chọn đáp án B.

Bài 3: Hệ số a thỏa mãn để 4x2 - 6x + a chia hết có x - 3 là ?

   A. a = - 18.   B. a = 8.

   C. a = 18.   D. a = - 8.

Ta có phép chia

Bài tập: Chia đa thức một biến đã sắp xếp | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Phép chia trên có số dư là ( a + 18 )

Để 4x2 - 6x + a chia hết có x - 3 ⇔ a + 18 = 0 ⇔ a = - 18.

Chọn đáp án A.

II. Bài tập tự luận

Bài 1: Thực hiện các phép chia

a, ( 2x3 - 26x - 24 ):( x2 + 4x + 3 )

b, ( x3 - 9x2 + 28x - 30 ):( x - 3 )

Hướng dẫn:

a) Ta có phép chia

Bài tập: Chia đa thức một biến đã sắp xếp | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Vậy ( 2x3 - 26x - 24 ) = ( x2 + 4x + 3 )( 2x - 8 )

b) Ta có phép chia

Bài tập: Chia đa thức một biến đã sắp xếp | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Vậy ( x3 - 9x2 + 28x - 30 ) = ( x - 3 )( x2 - 6x + 10 )

Bài 2: Tính nhanh các phép chia sau:

a, ( x6 + 2x3y2 + y4 ):( x3 + y2 )

b, ( 625x4 - 1 ):[ ( 5x + 1 )( 5x - 1 ) ]

Hướng dẫn:

a) Ta có ( x6 + 2x3y2 + y4 ):( x3 + y2 ) = ( x3 + y2 )2:( x3 + y2 ) = ( x3 + y2 )

Vậy ( x6 + 2x3y2 + y4 ):( x3 + y2 ) = ( x3 + y2 )

b) Ta có ( 625x4 - 1 ):[ ( 5x + 1 )( 5x - 1 ) ] = [ ( 25x2 - 1 )( 25x2 + 1 ) ]:( 25x2 - 1 ) = ( 25x2 + 1 )

Vậy ( 625x4 - 1 ):[ ( 5x + 1 )( 5x - 1 ) ] = ( 25x2 + 1 )

Bài 3: Tìm các số nguyên n để giá trị của biểu thức n3 + 6n2 -7n + 4 chia hết cho giá trị của biểu thức n - 2.

Hướng dẫn:

Ở đây, ta có thực hiện đặt phép chia như câu 1 để tìm số dư và tìm điều kiện giá trị của n để thỏa mãn đề bài. Nhưng bài này ta làm cách biến đội như sau:

Ta có n3 + 6n2 -7n + 4 = ( n3 - 3n2.2 + 3.n.22 - 8 ) + 12n2 - 19n + 12

= ( n - 2 )3 + 12n( n - 2 ) + 5( n - 2 ) + 22

Khi đó ta có: (n3 + 6n2 - 7n + 4)/(n - 2) = ( n - 2 )2 + 12n + 5 + 22/(n - 2)

Để giá trị của biểu thức n3 + 6n2 -7n + 4 chia hết cho giá trị của biểu thức n - 2.

⇔ ( n - 2 ) ∈ UCLN( 22 ) = {± 1; ± 2; ± 11; ± 22 }

⇒ n ∈ {- 20; - 9;0;1;3;4;13;24 }

Vậy các giá trị nguyên của n cần tìm là n ∈ { - 20; - 9;0;1;3;4;13;24 }

Tham khảo Lý thuyết & Bài tập Toán lớp 8 có đáp án khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 8 có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.