Biến đổi, rút gọn biểu thức có chứa phép nhân đa thức lớp 8 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Biến đổi, rút gọn biểu thức có chứa phép nhân đa thức lớp 8 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Biến đổi, rút gọn biểu thức có chứa phép nhân đa thức.

Biến đổi, rút gọn biểu thức có chứa phép nhân đa thức lớp 8 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Ta sử dụng phép cộng, phép trừ đa thức, phép nhân đơn thức, phép nhân đa thức và phép nâng lên lũy thừa để rút gọn biểu thức có chứa phép nhân đa thức.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức

a) P = x²(x – y²) – xy(1 – xy);

b) Q = a(b + c – bc) + b(c + a – ac);

c) $H=(2x-\frac{2}{3}y)(3x-\frac{5}{3}y)(x\mathrm{ }+10\mathrm{y})$.

Hướng dẫn giải

a) P = x²(x – y²) – xy(1 – xy)

 = x³ – x²y² – xy + x²y²

 = x³ – xy.

b) Q = a(b + c – bc) + b(c + a – ac)

= ab + ac – abc + bc – ab + abc.

= ac + bc.

Ví dụ 2. Tính giá trị biểu thức:

a) A = (10x + 9y)x – (5x – y)(2x + 3y) tại x = 3 và y = 1.

b) B = – 5x(x – 1,2y) + (2x + 1)(2,5x – 3y) – 2,5y(10x + 2xy + 4) tại x = y = – 1.

Hướng dẫn giải:

a) Ta thấy rằng biểu thức có dạng A = M – N, trong đó:

M = (10x + 9y)x và N = (5x – y)(2x + 3y).

Ta có:

M = (10x + 9y)x = 10x² + 9xy;

N = (5x – y)(2x + 3y) =10x² + 15xy – 2xy – 3y² = 10x² + 13xy – 3y²;

A = M – N

= 10x² + 9xy – (10x² + 13xy – 3y²)

= 10x² + 9xy – 10x² – 13xy + 3y²

= – 4xy + 3y²;   

Thay x = 3 và y = 1 vào biểu thức A đã thu gọn, ta được: – 4.3.1 + 3.1² = – 9.

Vậy giá trị biểu thức A tại x = 3 và y = 1 là – 9.

b) Biểu thức có dạng B = M + N – K, trong đó:

M = –5x(x – 1,2y); N = (2x + 1)(2,5x – 3y) và K = 2,5y(10x + 2xy + 4).

Ta có:

M = – 5x(x – 1,2y) = –5x² + 6xy;

N = (2x + 1)(2,5x – 3y) = 5x² – 6xy + 2,5x – 3y;

K = 2,5y(10x + 2xy + 4) = 25xy + 5xy² + 10y.

B = M + N – K

= (–5x² + 6xy) + (5x² – 6xy + 2,5x – 3y) – (25xy + 5xy² + 10y)

= – 5x² + 6xy + 5x² – 6xy + 2,5x – 3y – 25xy – 5xy² – 10y

= – 5xy² – 25xy + 2,5x – 13y.

Thay x = y = –1 vào biểu thức B đã thu gọn, ta được:

B = – 5.(–1).(–1)² – 25.(–1).(–1) + 2,5.(–1) – 13.(–1)

= 5 – 25 – 2,5 + 13

= –9,5.

Vậy giá trị của biểu thức B tại x = y = –1 là –9,5.

3. Bài tập tự luyện 

Bài 1. Rút gọn biểu thức (2x – 3y)(3x + 5y)(x – 7y) ta được

A. – 6x³ + 41x²y – 22xy² + 105y³;

B. 6x³ + 41x²y + 22xy² – 105y³;

C. 6x³ – 41x²y – 22xy² + 105y³;

D. – 6x³ – 41x²y + 22xy² – 105y³.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: (2x – 3y)(3x + 5y)(x – 7y)

= [(2x – 3y)(3x + 5y)](x – 7y)

= (6x² + 10xy – 9xy – 15y²)(x – 7y)

= (6x² + xy – 15y²)(x – 7y)

= 6x³ – 42x²y + x²y – 7xy² – 15xy² + 105y³

= 6x³ – 41x²y – 22xy² + 105y³.

Bài 2. Giá trị biểu thức A = (– x²y + 2xy)(– 3x³y) tại x = – 1 và y = 2 là

A. A = – 12;

B. A = 36;

C. A = – 36;

D. A = 12.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Rút gọn biểu thức:

(– x²y + 2xy)(– 3x³y)

= – x²y(– 3x³y) + 2xy(– 3x³y)

= 3x⁵y² – 6x⁴y²

Thay x = – 1 và y = 2 vào biểu thức vừa thu gọn, ta được:

A = 3.(–1)⁵.2² – 6.(–1)⁴.2² = 3.(–1).4 – 6.1.4 = – 12 – 24 = – 36.

Vậy giá trị của biểu thức A tại x = – 1 và y = 2 là – 36.

Bài 3. Khu vườn trồng mía của nhà bác Minh ban đầu có dạng một hình vuông biết chu vi hình vuông là 20 (m) sau đó được mở rộng bên phải thêm y (m), phía dưới thêm 8x (m) nên mảnh vườn trở thành một hình chữ nhật (hình vẽ).

Diện tích khu vườn nhà bác Minh sau khi được mở rộng với x = 1; y = 2 là bao nhiêu mét vuông?

A. 61 (m²);

B. 216 (m²);

C. 72 (m²);

D. 91 (m²).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì chu vi của hình vuông là 20 m nên mỗi cạnh sẽ có độ dài là 20 : 4 = 5 m.

Khi khu vườn được mở rộng, nó trở thành một hình chữ nhật với hai kích thước lần lượt là 5 + y (m) và 5 + 8x (m).

Do đó diện tích của khu vườn hình chữ nhật là:

(5 + y).(5 + 8x) = 25 + 40x + 5y + 8xy (m²).

Diện tích khu vườn nhà bác Minh sau khi được mở rộng với x = 1; y = 2 là:

25 + 40.1 + 5.2 + 8.1.2 = 25 + 40 + 10 + 16 = 91 (m²).

Vậy diện tích khu vườn nhà bác Minh sau khi được mở rộng là 91 (m²).

Bài 4. Tổng các hệ số của lũy thừa bậc năm, lũy thừa bậc bốn và lũy thừa bậc hai trong kết quả của phép nhân (15a + 1)(b² – 3a + 5) là

A. 5;

B. 42;

C. 132;

D. 11.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có:

(15ab + 1)(a²b – 3ab + 5)

= 15ab(a²b – 3ab + 5) + 1.(a²b – 3ab + 5)

= 15a³b² – 45a²b² + 75ab + a²b – 3ab + 5

= 15a³b² – 45a²b² + a²b + 72ab + 5.

Hạng tử bậc 5 là 15a³b²;

Hạng tử bậc 4 là – 45a²b²;

Hạng tử bậc hai là 72ab.

Vậy tổng các hệ số của lũy thừa bậc năm, lũy thừa bậc bốn và lũy thừa bậc hai trong kết quả của phép nhân là 15 + (– 45) + 72 = 42.

Bài 5. Thu gọn biểu thức P = x(x – y + 1) – y(x + y – 1) ta được

A. x² – 2xy + x – y – y²;

B. x² + 2xy + x + y – y²;

C. x² + x – y + y²;

D. x² + x + y – y².

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

P = x(x – y + 1) – y(x + y – 1)

= x² – xy + x – xy – y² + y

= x² – xy + x + xy – y² + y

= x² + x + y – y².             

Vậy P = x² + x + y – y².

Bài 6. Cho biểu thức P = x(y + z – yz) – y(z + x – zx) + z(y – x). Chọn khẳng định đúng.

A. Giá trị của P không phụ thuộc vào x, y và z;

B. Giá trị của P chỉ phụ thuộc vào x;

C. Giá trị của P phụ thuộc vào x, y và z;

D. Giá trị của P chỉ phụ thuộc vào x và z.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có:

P = x(y + z – yz) – y(z + x – zx) + z(y – x)

P = xy + xz – xyz – yz – xy + xyz + yz – xz

P = 0.

Do đó P không phụ thuộc vào x, y và z.

Bài 7. Cho biểu thức M = (5x – y)(5x + y) – (5x + 2y)(5x – 2y) + 10 + 3y². Nhận định nào sau đây là đúng?

A. Giá trị của M không phụ thuộc vào biến x và y;

B. Giá trị của M không phụ thuộc vào biến x;

C. Giá trị của M không phụ thuộc vào biến y;

D. Giá trị của M phụ thuộc vào biến x và y.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có:

M = (5x – y)(5x + y) – (5x + 2y)(5x – 2y) + 10 + 3y²

 = 5x(5x + y) – y(5x + y) – [5x(5x – 2y) + 2y(5x – 2y)] + 10 + 3y²

 = 25x² + 5xy – 5xy – y² – [25x² – 10xy + 10xy – 4y²] + 10 + 3y²

 = 25x² – y² – (25x² – 4y²) + 10 + 3y²

 = 25x² – y² – 25x² + 4y² + 10 + 3y²

 = (25x² – 25x²) + (– y² + 4y² + 3y²) + 10

 = 6y² + 10.

Biểu thức trên không phụ thuộc vào biến x.

Bài 8. Cho x² + y² = 2, đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. 2(x + 1)(y + 1) = (x + y)(x + y – 2);

B. 2(x + 1)(y + 1) = (x + y)(x + y + 2);

C. $2(x+1)(y+1)=\frac{(x+y)(x+y--2)}{2};$

D. (x + 1)(y + 1) = (x + y)(x + y + 2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là:

Ta có:

2(x + 1)(y + 1)

= 2(xy + x + y + 1)

= 2xy + 2x + 2y + 2.

(x + y)(x + y + 2)

= x(x + y + 2) + y(x + y + 2)

= x² + xy + 2x + xy + y² + 2y

= (x² + y²) + 2xy + 2x + 2y

= 2 + 2xy + 2x + 2y (do x² + y² = 2).

Do đó 2(x + 1)(y + 1) = (x + y)(x + y + 2).

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 9. Cho các đẳng thức sau:

Với a² + b² + c² = 0 thì

(I) a²(a² + b²)(a² + c²) = b²(a² + b²)(b² + c²);

(II) a²(a² + b²)(a² + c²) = c²(a² + c²)(b² + c²);

(III) c²(a² + c²)(b² + c²) = b²(a² + b²)(b² + c²);

Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

A. Chỉ (I) và (II) đúng;

B. Chỉ (I) và (III) đúng;

C. Cả (I), (II) và (III) đều đúng;

D. Cả (I), (II) và (III) đều sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: a² + b² + c² = 0 nên ta có:

⦁ a² + b² = –c²;

⦁ b² + c² = –a²;

⦁ c² + a² = –b².

Do đó a²(a² + b²)(a² + c²) = a².(–c²).(–b²) = a²b²c²;

b²(a² + b²)(b² + c²) = b².(–c²).(–a²) = a²b²c²;

c²(a² + c²)(b² + c²) = c².(–b²).(–a²) = a²b²c².

Khi đó a²(a² + b²)(a² + c²) = b²(a² + b²)(b² + c²) = c²(a² + c²)(b² + c²).

Vậy cả (I), (II) và (III) đều đúng.

Bài 10. Cho các số x, y, z lần lượt tỉ lệ với các số a, b, c khác 0. Khi đó (x² + 2y² + 3z²)(a² + 2b² + 3c²) bằng

A. ax + 2by + 3cz;

B. (ax + 2by + 3cz)²;

C. ax + by + cz;

D. (ax + by + cz)².

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Do x, y, z lần lượt tỉ lệ với các số a, b, c khác 0 nên ta có $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k(k\ne 0).$

Suy ra x = ka; y = kb; z = kc.

Ta có:

(x² + 2y² + 3z²)(a² + 2b² + 3c²)

= (k²a² + 2k²b² + 3k²c²)(a² + 2b² + 3c²)

= k²(a² + 2b² + 3c²)(a² + 2b² + 3c²)

= k²(a² + 2b² + 3c²)²

= [k(a² + 2b² + 3c²)]²

= (k.a² + k.2b² + k.3c²)²

= (ax + 2by + 3cz)² (do x = ka; y = kb; z = kc).

Vậy ta chọn phương án B.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 8 hay, chi tiết khác:

• Tính giá trị của đa thức
• Nhân đơn thức với đơn thức, đơn thức với đa thức
• Cách nhân đa thức với đa thức
• Chia đơn thức cho đơn thức (trường hợp chia hết)
• Chia đa thức cho đơn thức (trường hợp chia hết)

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---