Cách chứng minh phân thức là tối giản lớp 8 (cực hay, có đáp án)

• Cách giải bài tập chứng minh phân thức là tối giản
• Ví dụ minh họa bài tập chứng minh phân thức là tối giản
• Bài tập vận dụng chứng minh phân thức là tối giản

Cách chứng minh phân thức là tối giản lớp 8 (cực hay, có đáp án)

A. Phương pháp giải

Gọi ước chung lớn nhất của tử thức và mẫu thức là d, chứng minh d = 1 hoặc d = -1

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh phân thức (với n ∈ N) là tối giản:

Lời giải:

Gọi ƯCLN của –n + 3 và n - 4 là d

⇒ (-n + 3)⋮ d và (n - 4)⋮ d

⇒ [(-n + 3) +(n - 4)] ⋮ d

⇒ -1⋮ d

⇒ d = 1 hoặc d = -1

Vậy phân thức đã cho là tối giản với ∀n ∈ N

Ví dụ 2: Chứng minh phân thức (với n ∈ N) là tối giản:

Lời giải:

Gọi ƯCLN của 2n + 1 và 5n + 3 là d

⇒ (2n +1)⋮ d và (5n + 3)⋮ d

⇒ [2(5n + 3) - 5(2n + 1) ] ⋮ d

⇒ 1 ⋮ d, với ∀n ∈ N

⇒ d = 1 hoặc d = -1

Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số là phân số tối giản

Lời giải:

Gọi d là ƯCLN của n³ + 2n và n⁴ + 3n² + 1

Ta có n³ + 2n ⋮ d ⇒ n(n³ + 2n) ⋮ d ⇒ n⁴ + 2n² ⋮ d (1)

(n⁴ + 3n² + 1) –(n⁴ + 2n²) ⋮ d

⇒ n² + 1 ⋮ d⇒ (n² + 1)² = n⁴ + 2n² + 1 ⋮ d (2)

Từ (1) và (2) suy ra (n⁴ + 2n² +1) – (n⁴ + 2n²) ⋮ d ⇒ 1 ⋮ d ⇒ d = ± 1

Vậy là phân số tối giản

C. Bài tập vận dụng

Bài 1: Chứng minh phân thức (với n ∈ N) là tối giản

Lời giải:

Gọi ƯCLN của 2n + 1 và 5n + 3 là d

⇒ (3n + 1) ⋮ d và (5n + 2) ⋮ d

⇒ [3(5n + 2) - 5(3n + 1)] ⋮ d

⇒ 1 ⋮ d, với ∀n ∈ N

⇒ d = 1 hoặc d = -1

Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N

Bài 2: Chứng minh phân thức là tối giản với mọi số tự nhiên n:

Lời giải:

Gọi d là ƯCLN của 12n + 1 và 30n + 2

⇒ (12n + 1)⋮ d và (30n + 2)⋮ d

⇒ [5(12n + 1) - 2(30n + 2)] ⋮ d

⇒ 1 ⋮ d, với ∀n ∈ N

⇒ d = 1 hoặc d = -1

Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N

Bài 3: Chứng minh phân thức là tối giản với mọi số tự nhiên n:

Lời giải:

Gọi d là ƯCLN của 2n + 1 và 2n² - 1

⇒ (2n +1)⋮ d và (2n² -1)⋮ d

⇒ [n(2n + 1) - (2n² -1)] = n + 1⋮ d

⇒ 2(n + 1) ⋮ d ⇒ (2n + 2) – (2n + 1) = 1 ⋮ d

⇒ d = 1 hoặc d = -1

Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N

Bài 4: Chứng minh phân thức là tối giản với mọi số tự nhiên n:

Lời giải:

Gọi d là ƯCLN của 2n + 5 và 3n + 7

⇒ (2n + 5)⋮ d và (3n + 7)⋮ d

⇒ [3(2n + 5) - 2(3n + 7)] = 1⋮ d

⇒ d = 1 hoặc d = -1

Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N

Bài 5: Chứng minh phân thức là tối giản với mọi số tự nhiên n:

Lời giải:

Gọi d là ƯCLN của 5n + 7 và 7n + 10

⇒ (5n + 7)⋮ d và (7n + 10)⋮ d

⇒ [7(5n + 7) - 5(7n + 10)] = -1⋮ d

⇒ d = 1 hoặc d = -1

Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N

Bài 6: Chứng minh phân thức là tối giản với mọi số tự nhiên n

Lời giải:

Gọi d là ƯCLN của 3n - 2 và 4n - 3

⇒ (3n - 2)⋮ d và (4n - 3)⋮ d

⇒ [3(4n - 3) - 4(3n - 2)] = -1⋮ d

⇒ d = 1 hoặc d = -1

Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N

Bài 7: Chứng minh phân thức là tối giản với mọi số tự nhiên n

Lời giải:

Gọi d là ƯCLN của 3n và 3n + 1

⇒ 3n ⋮ d và (3n + 1)⋮ d

⇒ [(3n + 1) - 3n ] = 1⋮ d

⇒ d = 1 hoặc d = -1

Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N

Bài 8: Chứng minh phân thức là tối giản với mọi số tự nhiên n:

Lời giải:

Gọi d là ƯCLN của 2n - 1 và 4n² - 2

⇒ (2n -1)⋮ d và (4n² - 2)⋮ d

⇒ [2n(2n - 1) - (4n² - 2)] = -2n + 2⋮ d

⇒ (2n - 1) + (-2n + 2) = 1 ⋮ d

⇒ d = 1 hoặc d = -1

Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N

Bài 9: Chứng minh phân thức là tối giản với mọi số tự nhiên n:

Lời giải:

Gọi d là ƯCLN của 7n - 5 và 3n - 2

⇒ (7n - 5)⋮ d và (3n - 2)⋮ d

⇒ [3(7n - 5) - 7(3n - 2)] = -1⋮ d

⇒ d = 1 hoặc d = -1

Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N

Bài 10: Cho phân thức là phân thức tối giản. Chứng minh phân thức là phân thức tối giản.

Lời giải:

Giả sử m, n là các số nguyên và ƯCLN(m, n) = 1 (vì tối giản)

nếu d là ước chung m của m + n thì:

(m + n) d và m d

⇒ [(m + n) – m ] = n d

⇒ d ∈ ƯC (m,n) ⇒ d = 1(vì tối giản) .

Vậy nếu phân thức là phân thức tối giản thì phân thức cũng là phân thức tối giản.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Cách chứng minh hai phân thức bằng nhau cực hay, có đáp án
• Cách tìm đa thức A để hai phân thức bằng nhau cực hay, có đáp án
• Cách rút gọn phân thức cực hay, có đáp án
• Cách tìm mẫu thức chung cực hay, nhanh nhất

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---