Cách chứng minh phân thức là tối giản lớp 8 (cực hay, có đáp án)
Bài viết Cách chứng minh phân thức là tối giản với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh phân thức là tối giản.
- Cách giải bài tập chứng minh phân thức là tối giản
- Ví dụ minh họa bài tập chứng minh phân thức là tối giản
- Bài tập vận dụng chứng minh phân thức là tối giản
Cách chứng minh phân thức là tối giản lớp 8 (cực hay, có đáp án)
A. Phương pháp giải
Gọi ước chung lớn nhất của tử thức và mẫu thức là d, chứng minh d = 1 hoặc d = -1
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chứng minh phân thức (với n ∈ N) là tối giản:
Lời giải:
Gọi ƯCLN của –n + 3 và n - 4 là d
⇒ (-n + 3)⋮ d và (n - 4)⋮ d
⇒ [(-n + 3) +(n - 4)] ⋮ d
⇒ -1⋮ d
⇒ d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho là tối giản với ∀n ∈ N
Ví dụ 2: Chứng minh phân thức (với n ∈ N) là tối giản:
Lời giải:
Gọi ƯCLN của 2n + 1 và 5n + 3 là d
⇒ (2n +1)⋮ d và (5n + 3)⋮ d
⇒ [2(5n + 3) - 5(2n + 1) ] ⋮ d
⇒ 1 ⋮ d, với ∀n ∈ N
⇒ d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số là phân số tối giản
Lời giải:
Gọi d là ƯCLN của n3 + 2n và n4 + 3n2 + 1
Ta có n3 + 2n ⋮ d ⇒ n(n3 + 2n) ⋮ d ⇒ n4 + 2n2 ⋮ d (1)
(n4 + 3n2 + 1) –(n4 + 2n2) ⋮ d
⇒ n2 + 1 ⋮ d⇒ (n2 + 1)2 = n4 + 2n2 + 1 ⋮ d (2)
Từ (1) và (2) suy ra (n4 + 2n2 +1) – (n4 + 2n2) ⋮ d ⇒ 1 ⋮ d ⇒ d = ± 1
Vậy là phân số tối giản
C. Bài tập vận dụng
Bài 1: Chứng minh phân thức (với n ∈ N) là tối giản
Lời giải:
Gọi ƯCLN của 2n + 1 và 5n + 3 là d
⇒ (3n + 1) ⋮ d và (5n + 2) ⋮ d
⇒ [3(5n + 2) - 5(3n + 1)] ⋮ d
⇒ 1 ⋮ d, với ∀n ∈ N
⇒ d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N
Bài 2: Chứng minh phân thức là tối giản với mọi số tự nhiên n:
Lời giải:
Gọi d là ƯCLN của 12n + 1 và 30n + 2
⇒ (12n + 1)⋮ d và (30n + 2)⋮ d
⇒ [5(12n + 1) - 2(30n + 2)] ⋮ d
⇒ 1 ⋮ d, với ∀n ∈ N
⇒ d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N
Bài 3: Chứng minh phân thức là tối giản với mọi số tự nhiên n:
Lời giải:
Gọi d là ƯCLN của 2n + 1 và 2n2 - 1
⇒ (2n +1)⋮ d và (2n2 -1)⋮ d
⇒ [n(2n + 1) - (2n2 -1)] = n + 1⋮ d
⇒ 2(n + 1) ⋮ d ⇒ (2n + 2) – (2n + 1) = 1 ⋮ d
⇒ d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N
Bài 4: Chứng minh phân thức là tối giản với mọi số tự nhiên n:
Lời giải:
Gọi d là ƯCLN của 2n + 5 và 3n + 7
⇒ (2n + 5)⋮ d và (3n + 7)⋮ d
⇒ [3(2n + 5) - 2(3n + 7)] = 1⋮ d
⇒ d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N
Bài 5: Chứng minh phân thức là tối giản với mọi số tự nhiên n:
Lời giải:
Gọi d là ƯCLN của 5n + 7 và 7n + 10
⇒ (5n + 7)⋮ d và (7n + 10)⋮ d
⇒ [7(5n + 7) - 5(7n + 10)] = -1⋮ d
⇒ d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N
Bài 6: Chứng minh phân thức là tối giản với mọi số tự nhiên n
Lời giải:
Gọi d là ƯCLN của 3n - 2 và 4n - 3
⇒ (3n - 2)⋮ d và (4n - 3)⋮ d
⇒ [3(4n - 3) - 4(3n - 2)] = -1⋮ d
⇒ d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N
Bài 7: Chứng minh phân thức là tối giản với mọi số tự nhiên n
Lời giải:
Gọi d là ƯCLN của 3n và 3n + 1
⇒ 3n ⋮ d và (3n + 1)⋮ d
⇒ [(3n + 1) - 3n ] = 1⋮ d
⇒ d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N
Bài 8: Chứng minh phân thức là tối giản với mọi số tự nhiên n:
Lời giải:
Gọi d là ƯCLN của 2n - 1 và 4n2 - 2
⇒ (2n -1)⋮ d và (4n2 - 2)⋮ d
⇒ [2n(2n - 1) - (4n2 - 2)] = -2n + 2⋮ d
⇒ (2n - 1) + (-2n + 2) = 1 ⋮ d
⇒ d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N
Bài 9: Chứng minh phân thức là tối giản với mọi số tự nhiên n:
Lời giải:
Gọi d là ƯCLN của 7n - 5 và 3n - 2
⇒ (7n - 5)⋮ d và (3n - 2)⋮ d
⇒ [3(7n - 5) - 7(3n - 2)] = -1⋮ d
⇒ d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N
Bài 10: Cho phân thức là phân thức tối giản. Chứng minh phân thức là phân thức tối giản.
Lời giải:
Giả sử m, n là các số nguyên và ƯCLN(m, n) = 1 (vì tối giản)
nếu d là ước chung m của m + n thì:
(m + n) d và m d
⇒ [(m + n) – m ] = n d
⇒ d ∈ ƯC (m,n) ⇒ d = 1(vì tối giản) .
Vậy nếu phân thức là phân thức tối giản thì phân thức cũng là phân thức tối giản.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:
- Cách chứng minh hai phân thức bằng nhau cực hay, có đáp án
- Cách tìm đa thức A để hai phân thức bằng nhau cực hay, có đáp án
- Cách rút gọn phân thức cực hay, có đáp án
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 6-8 cho phụ huynh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.