Cách chứng minh phân thức luôn có nghĩa lớp 8 (cực hay, có đáp án)

Bài viết Cách chứng minh phân thức luôn có nghĩa với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh phân thức luôn có nghĩa.

Cách chứng minh phân thức luôn có nghĩa lớp 8 (cực hay, có đáp án)

A. Phương pháp giải

Vận dụng các phép biến đổi toán học để chứng minh mẫu thức luôn khác 0

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa

  

Lời giải:

a, Ta có: x² ≥ 0 với mọi x ⇒ x² + 1≥ 1 với mọi x

Do đó x² + 1 ≠ 0 với mọi x

Vậy phân thức luôn có nghĩa với mọi x

b, Ta có (x – 1)² ≥ 0 với mọi x ⇒ (x – 1)² + 2 ≥ 2 với mọi x

Do đó: (x – 1)² + 2 ≠ 0 với mọi x

Vậy phân thức luôn có nghĩa với mọi x

Ví dụ 2: Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa

  

Lời giải:

a, Ta có (x – 1)² ≥ 0 với mọi x ⇒ (x – 1)² + 1 ≥ 1 với mọi x

Do đó: (x – 1)² + 1 ≠ 0 với mọi x

Vậy phân thức luôn có nghĩa với mọi x

b, Ta có x² + 4x + 7 = x² + 4x + 4 + 3 = (x + 2)² + 3

Vì (x + 2)² ≥ 0 với mọi x ⇒ (x + 2)² + 3 ≥ 3 với mọi x

Vậy phân thức luôn có nghĩa với mọi x

Ví dụ 3: Chứng minh các phân thức sau luôn xác định.

  

Lời giải:

a, Ta có x² - 4x + 7 = x² – 4x + 4 + 3 = (x - 2)² + 3

Mà (x – 2)² ≥ 0 với mọi x ⇒ (x – 2)² + 3 ≥ 3 với mọi x

Do đó (x – 2)² + 3 ≠ 0 với mọi x

Vậy phân thức luôn xác định với mọi x

b, Ta có: 2x² + 2x + 1 = x² + x² + 2x + 1 = x² + (x + 1)² > 0 với mọi x

Do đó phân thức luôn xác định với mọi x

C. Bài tập vận dụng

Bài 1: Trong các phân thức sau, phân thức nào luôn có nghĩa

 

Lời giải:

Đáp án: B

Phân thức luôn có nghĩa vì x² ≥ 0 với ∀ x; y² ≥ 0 với ∀y

⇒ mẫu thức 2x² + y² + 1 ≥ 1 với mọi x,y.

Do đó mẫu thức 2x² + y² + 1 ≠ 0 với mọi x,y

Vậy phân thức luôn có nghĩa với mọi x

Bài 2: Trong các phân thức sau, phân thức nào luôn có nghĩa với mọi x

 

Lời giải:

Đáp án: A

Phân thức luôn có nghĩa vì x² ≥ 0 với ∀ x ⇒ mẫu thức 2x² + 1 ≥ 1 với mọi x

Do đó mẫu thức 2x² + 1 ≠ 0 với mọi x

Vậy phân thức luôn có nghĩa với mọi x

Bài 3: Với x ≠ 0, x ≠ 1 phân thức nào sau đây luôn được xác định.

 

Lời giải:

Đáp án: C

Phân thức luôn có nghĩa với x ≠ 0, x ≠ 1

Vì mẫu thức x³ - 2x² + x = x(x² - 2x + 1) = x (x - 1)² ≠ 0 với mọi x ≠ 0, x ≠ 1

Vậy phân thức luôn có nghĩa với mọi x.

Bài 4: Trong các phân thức sau, phân thức nào luôn có nghĩa với mọi x

 

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có –x² + 2x – 2 = -(x² - 2x + 1) – 1 = -(x - 1)² – 1 < 0 với mọi x.

Do đó mẫu thức –x² + 2x – 2 ≠ 0 với mọi x

Vậy phân thức luôn có nghĩa với mọi x

Bài 5: Với x ≠ -1, x ≠ 1, phân thức nào sau đây luôn được xác định

 

Lời giải:

Đáp án: A

Với x ≠ -1, x ≠ 1 ta có x² – 1 ≠ 0 .

Vậy phân thức luôn có nghĩa với mọi x ≠ -1, x ≠ 1

Bài 6: Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa.

  

Lời giải:

a, Ta có: x² + 2x + 4 = x² + 2x + 1 + 3 = (x + 1)² + 3 ≥ 3 với mọi x

Do đó mẫu thức x² + 2x +4 ≠ 0 với mọi x

Vậy phân thức luôn có nghĩa

Bài 7: Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa.

  

Lời giải:

a, Ta có -x² + 4x – 5 = -( x² - 4x + 4) – 1 = -(x - 2)² – 1 ≤ -1 với mọi x

Do đó mẫu thức -x² + 4x – 5 ≠ 0 với mọi x

Vậy phân thức luôn có nghĩa

b, Ta có 2x² - 4x + 3 = 2( x² - 2x + 1) + 1 = 2(x - 1)² + 1 ≥ 1 với mọi x

Do đó mẫu thức 2x² - 4x + 3 ≠ 0 với mọi x

Vậy phân thức luôn có nghĩa

Bài 8: Chứng minh các phân thức sau luôn xác định với mọi x

  

Lời giải:

Bài 9: Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa.

  

Lời giải:

Bài 10: Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa.

  

Lời giải:

a, Ta có:

 x⁴ - 2x³ + 2x² - 2x + 4

= (x⁴ - 2x³ + x²) + (x² - 2x + 1) + 3

= x²(x² – 2x + 1) + (x² – 2x + 1) + 3

= (x² – 2x + 1) (x² + 1) + 3

= ( x - 1)²(x² + 1) + 3

Vì ( x - 1)²(x² + 1) ≥ 0 với mọi x ⇒ ( x - 1)²(x² + 1) + 3 ≥ 3 với mọi x

Do đó mẫu thức x⁴ - 2x³ + 2x² - 2x +4 =( x - 1)²(x² + 1) + 3 ≠ 0 với mọi x

Vậy phân thức luôn có nghĩa

b, Ta có:

 x² + y² - 2xy + 2x - 2y + 5

= (x² + y² + 1- 2xy + 2x - 2y) + 4

= (x - y + 1)² + 4

Vì (x- y + 1)² ≥ 0 với mọi x,y nên (x - y + 1)² + 4 ≠ 0 với mọi x,y

Vậy phân thức luôn xác định với mọi giá trị x,y

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Cách tìm điều kiện để phân thức được xác định cực hay, có đáp án
• Cách chứng minh hai phân thức bằng nhau cực hay, có đáp án
• Cách tìm đa thức A để hai phân thức bằng nhau cực hay, có đáp án
• Cách rút gọn phân thức cực hay, có đáp án

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---