Cách tính diện tích tam giác bằng tỉ lệ diện tích hai tam giác đồng dạng

Với Cách tính diện tích tam giác bằng tỉ lệ diện tích hai tam giác đồng dạng môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 3: Tam giác đồng dạng để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Cách tính diện tích tam giác bằng tỉ lệ diện tích hai tam giác đồng dạng

1. Phương pháp giải

Xét hai tam giác đồng dạng có diện tích là S và S’.

Khi đó, tỉ số diện tích giữa hai tam giác đúng bằng bình phương tỉ số đồng dạng của hai tam giác đó:

$\frac{S\text{'}}{S}={\left(\frac{a\text{'}}{a}\right)}^2=k^2$ ($k=\frac{a\text{'}}{a}$: tỉ số đồng dạng của hai tam giác)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hai tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng. Cho k ∈ ℝ sao cho k.AB = A'B'. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của A'B'C' với ABC là k². Biết AB = 1, A'B' = 3, S_ABC = 1. Tính S_A'B'C'.

Lời giải:

Ta có:

Mà hai tam giác đồng dạng nên $\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{AC}=k,\hat{A}=\widehat{A\text{'}}$

=> $\frac{S_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}{S_{ABC}}=k^2$

=> S_A'B'C' = k².S_ABC = 3.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC, hai điểm M, N là trung điểm của hai cạnh AB và AC.Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và AMN.

Lời giải:

Do M, N là trung điểm của các cạnh AB và AC của tam giác nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra MN // BC

Do đó ∆AMN ᔕ ∆ABC

Vậy $\frac{S_{ABC}}{S_{AMN}}={\left(\frac{AB}{AM}\right)}^2$ = 2² = 4.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và DEF.

Lời giải:

Do FD // AC nên ${\hat{D}}_1={\hat{E}}_2$ (hai góc so le trong)

Mà DE // AB nên $\hat{A}={\hat{E}}_2$ (hai góc đồng vị)

Do đó $\hat{A}={\hat{D}}_1$

Chứng minh tương tự: $\hat{B}=\widehat{E_1},\hat{C}=\widehat{F_1}$.

Do đó ∆ABC ᔕ ∆DEF.

Vậy $\frac{S_{ABC}}{S_{DEF}}={\left(\frac{BC}{EF}\right)}^2=2^2=4$.

Bài 2. Cho tam giác ABC. Về phía ngoài của tam giác lấy các điểm M ∈ AB, N ∈ AC sao cho: 3AM = AB, 3AN = AC. Tính tỉ số diện tích hai tam giác ABC và AMN.

Lời giải:

Ta có

Do đó ∆ABC ᔕ∆AMN (g.c.g).

Suy ra $\frac{S_{ABC}}{S_{AMN}}={\left(\frac{AB}{AM}\right)}^2$ = 3² = 9.

Bài 3. Cho hình thang ABCD có độ dài đáy AB = 0,5CD. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Tính tỉ số diện tích hai tam giác ABI và CDI.

Lời giải:

Do AB // CD, ta dễ thấy hai tam giác ABI và CDI đồng dạng

Suy ra $\frac{S_{ABI}}{S_{CDI}}={\left(\frac{AB}{CD}\right)}^2=0,5^2=0,25$

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Biết AB = 3, AC = 4. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và ACH.

Lời giải:

Xét ∆ABC và ∆HAC có:

Do đó ∆ABC ᔕ∆HAC (g.g).

Suy ra $\frac{S_{ABC}}{S_{ACH}}=\frac{A{B}^2}{A{H}^2}$ = $A{B}^2\left(\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}\right)=1+\frac{3^2}{4^2}=\frac{25}{16}$.

Bài 5. Cho tam giác ABC có các góc đều là góc nhọn. Các đoạn thẳng AB, AC có độ dài lần lượt là 10cm và 20cm. Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho AD = 5cm. Tính tỉ số diện tích giữa hai tam giác ABC và ADB.

Lời giải:

Xét ∆ABC và ∆ADB có:

Do đó ∆ABC ᔕ ∆ADB (g.g)

Suy ra $\frac{S_{ABC}}{S_{ADB}}=k^2=4$.

Bài 6. Cho tam giác ABC lấy điểm D thuộc cạnh BC, kẻ DE // AB, DF // AC (E ∈ AC, F ∈ AB). Tìm vị trí của điểm D để tam giác DEF có diện tích lớn nhất.

Bài 7. Cho hình thoi ABCD, trên đoạn thẳng BC lấy điểm E, tia DE cắt tia AB tại N. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác AND và CMD.

Bài 8. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AO, BO và CO. Tìm tỉ số diện tích giữa hai tam giác ABC và DEF.

Bài 9. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có đáy lớn AB = 2CD. Gọi M là trung điểm của đáy lớn AB. Tìm tỉ số diện tích của hai tam giác ADM và MCB.

Bài 10. Cho hình bình hành ABCD, các điểm M, N là hình chiếu của C trên hai đường thẳng AB và AD. Tìm tỉ số diện tích của hai tam giác CMB và CND. Biết 3AD = 2AB.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng (hay, chi tiết)
• Cách tính độ dài đoạn thẳng trong tam giác giác
• Vận dụng các trường hợp đồng dạng trong tam giác vuông chứng minh hệ thức
• Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng – đo gián tiếp chiều cao
• Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng – đo gián tiếp khoảng cách

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---