Các dạng bài tập Toán 8 Chương 3: Tam giác đồng dạng chọn lọc

Phần dưới tổng hợp Lý thuyết và các dạng bài tập Toán 8 Chương 3: Tam giác đồng dạng chọn lọc với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết. Hi vọng tài liệu cách giải các dạng bài tập Toán 8 Chương 3 Hình học này sẽ giúp học sinh ôn luyện và đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán lớp 8.

Mục lục Toán 8 Chương 3: Tam giác đồng dạng

I/ Lý thuyết & Bài tập theo bài học

• Lý thuyết Bài 1: Định lí Ta-lét trong tam giác
• Bài tập Bài 1: Định lí Ta-lét trong tam giác
• Lý thuyết Bài 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét
• Bài tập Bài 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét
• Lý thuyết Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác
• Bài tập Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác
• Lý thuyết Bài 4: Khái niệm hai tam giác đồng dạng
• Bài tập Bài 4: Khái niệm hai tam giác đồng dạng
• Công thức Các trường hợp đồng dạng của tam giác đầy đủ
• Bài tập Các trường hợp đồng dạng của tam giác
• Lý thuyết Bài 5: Trường hợp đồng dạng thứ nhất
• Lý thuyết Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ hai
• Lý thuyết Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ ba
• Lý thuyết Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
• Bài tập Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
• Tổng hợp Lý thuyết & Trắc nghiệm Chương 3 Hình học 8

II/ Các dạng bài tập

• Tìm tỉ số của các đoạn thẳng dựa vào định lí Ta-lét trong tam giác
• Tính độ dài đoạn thẳng sử dụng định lí Ta-lét trong tam giác
• Chứng minh các hệ thức bằng định lí Ta-lét trong tam giác
• Sử dụng hệ quả của định lí Ta-lét để tính độ dài của đoạn thẳng
• Sử dụng hệ quả của định lí Ta-lét để chứng minh các hệ thức
• Chứng minh hai đoạn thẳng song song sử dụng định lí Ta-lét
• Tính độ dài đoạn thẳng bằng tính chất đường phân giác
• Vận dụng tính chất đường phân giác để chứng minh các hệ thức
• Giải bài toán tỉ số diện tích tam giác bằng tính chất đường phân giác
• Tìm tỉ số đồng dạng của hai tam giác (hay, chi tiết)
• Chứng minh hai tam giác đồng dạng – trường hợp đồng dạng thứ nhất (C-C-C)
• Chứng minh hai tam giác đồng dạng – trường hợp đồng dạng thứ hai (C–G–C)
• Chứng minh hai tam giác đồng dạng - trường hợp đồng dạng thứ ba (G-G)
• Tính độ dài đoạn thẳng, tính góc dựa vào hai tam giác đồng dạng
• Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng (hay, chi tiết)
• Cách tính độ dài đoạn thẳng trong tam giác giác
• Vận dụng các trường hợp đồng dạng trong tam giác vuông chứng minh hệ thức
• Cách tính diện tích tam giác bằng tỉ lệ diện tích hai tam giác đồng dạng
• Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng – đo gián tiếp chiều cao
• Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng – đo gián tiếp khoảng cách

Dạng bài: Chứng minh các hệ thức bằng định lí Ta-lét trong tam giác

A. Phương pháp giải

+) Vận dụng định lí Ta-lét.

+) Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy hai điểm D, E. Một đường thẳng d₁ qua D cắt tia Oy tại điểm F, đường thẳng d₂ đi qua E và song song với d₁, cắt tia Oy tại điểm G. Đường thẳng d₃ qua G và song song với EF, cắt tia Ox tại điểm H.

 Chứng minh:

Lời giải:

Câu 2: Cho tam giác ABC, M là một điểm bất kì trên BC. Các đường song song với AM vẽ từ B và C cắt AC, AB tại N và P. Chứng minh

Lời giải:

Áp dụng định lý Talet cho tam giác BNC (AM//BN) :

và tam giác CPB (AM//CP):

Lấy vế với vế của (1)+(2) ta được

Câu 3: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi trung điểm của các đường chéo AC, BD theo thứ tự N và M. Chứng minh rằng:

Lời giải: 

Gọi H là trung điểm AD, N là trung điểm AC ⇒HN là đường trung bình của ΔADC

⇒ HN // DC 

Vì H là trung điểm AD, M là trung điểm BD ⇒ HM là đường trung bình trong ΔABD

⇒ HM // AB 

Mặt khác AB // CD(gt) ⇒ HM // HN // AB ⇒ H, M, N thẳng hàng và MN // AB.

b) Ta có: HN là đường trung bình trong ΔADC(cmt)

⇒ HN = CD

Có: HM là đường trung bình trong ΔABD

⇒ HM = AB

Ta có: MN = HN - HM = CD - AB =

Dạng bài: Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp đồng dạng thứ nhất (c - c - c)

A. Phương pháp giải

Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

+) Xếp các cạnh của hai tam giác theo cùng một thứ tự (chẳng hạn từ nhỏ tới lớn).

+) Lập ba tỉ số, nếu chúng bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Cho ΔABC vuông tại A có AB = 3cm, BC = 5cm và ΔA₁B₁C₁ vuông tại B₁ có A₁B₁ = 6cm, B₁C₁ = 8cm. Hỏi rằng hai tam giác vuông ΔABC và ΔA₁B₁C₁ có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

Lời giải:

Trong ΔABC vuông tại A, ta có:

Trong ΔA₁B₁C₁ vuông tại B₁, theo Pi – ta – go, ta có:

Nhận xét rằng:

Câu 2: Cho ΔABC, điểm O ở bên trong tam giác. Gọi theo thứ tự là trung điểm của OA, OB, OC.

a) Chứng minh rằng ΔABC đồng dạng với ΔMNP.

b) Tính chu vi của ΔMNP biết chu vi của ΔABC bằng 88cm.

Lời giải: 

a) Trong ΔOAB, ta có :

M là trung điểm AO(gt)

N là trung điểm BO (gt)

⇒MN là đường trung bình ΔAOB

Trong ΔOAC, ta có :

M là trung điểm AO(gt)

P là trung điểm CO (gt)

⇒MP là đường trung bình ΔOAC

Trong ΔOBC, ta có :

N là trung điểm BO(gt)

P là trung điểm CO (gt)

⇒NP là đường trung bình ΔOBC

Vậy ta được: 

b) Ta có ngay: 

Câu 3: Cho theo tỉ số theo tỉ số k₂. Chứng minh theo tỉ số ?

Lời giải:

Dạng bài: Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp đồng dạng thứ hai

(c – g - c)

A. Phương pháp giải

Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng. 

Như vậy, nếu hai tam giác ΔABC và ΔA₁B₁C₁ thỏa mãn:

         

Và khi đó, ta có ngay :

+) Xét hai tam giác, chọn ra hai góc bằng nhau, xét tỉ số hai cạnh tạo nên mỗi góc đó. Nếu hai tỉ số bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Cho ΔABC có AB = 12cm, AC = 15cm, BC = 18cm. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 10cm. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 8cm.

a) Tam giác ΔAMN đồng dạng với tam giác nào?

b) Tính độ dài đoạn MN.

Lời giải: 

a. Với hai tam giác ΔAMN và ΔABC, ta có :

b. Theo câu a), vì ΔAMN và ΔABC

Vậy MN = 12cm.

Câu 2: Cho góc . Trên Ox lấy hai điểm A,B sao cho OA = 3cm, OB = 8cm. Trên Oy lấy hai điểm C,D sao cho OC = 4cm, OD = 6cm.

a. Chứng minh rằng hai tam giác ΔOAD và ΔOCB đồng dạng.

b. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng hai tam giác ΔIAB và ΔICD có các góc bằng nhau từng đôi một.

Lời giải:

a. Với hai tam giác ΔOAD và ΔOCB, ta có :

b. Vì ΔOAD và ΔOCB(cmt) (hai góc tương ứng)

Với hai tam giác ΔIAB và ΔICD, ta có :

(dựa trên tính chất tổng ba góc trong tam giác bằng 180⁰).

Vậy, hai tam giác ΔIAB và ΔICD có các góc bằng nhau từng đôi một.

Câu 3: Cho ΔABC có AB = 4cm, AC = 5cm, BC = 6cm. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = 5cm.

a. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác nào ?

b. Tính độ dài CD.

c. Chứng minh rằng .

Lời giải:

a. Ta có :

Dạng bài: Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp đồng dạng thứ ba

(g – g)

A. Phương pháp giải

Định lí: Nếu hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.

Như vậy, nếu hai tam giác ΔABC và ΔA₁B₁C₁ thỏa mãn:

Và khi đó ta có:

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tìm trong hình 41 các cặp tam giác đồng dạng.

Lời giải:.

Ta có: 

Xét tam giác ABC và PMN có:

Ta lại có: 

Xét Hai tam giác A'B'C' và D'E'F' có:

Câu 2: Cho ΔABC, O là điểm ở bên trong tam giác. Kẻ qua O đường thẳng song song với AB cắt AC,BC theo thứ tự tại M,N. Kẻ qua O đường thẳng song song với AC cắt AB,BC theo thứ tự tại P,Q. Hãy vẽ hình và chỉ ra trên hình đó những tam giác đồng dạng và giải thích vì sao chúng đồng dạng?

Lời giải:

Vậy, ta có được bốn cặp tam giác đồng dạng.

Câu 3: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

a. Chứng minh rằng OA.OD=OB.OC.

b. Đường thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K. Chứng minh rằng .

Lời giải:

Câu 4: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AD, đường phân giác BE. Giả sử AD cắt BE tại F. Chứng minh rằng .

Lời giải:

Trong ΔABD có BF là phân giác suy ra:

     (tính chất)   (1)

Với hai tam giác ΔABD và ΔABC, ta có nhận xét:

(cặp cạnh tương ứng)                                                             

Trong ΔABC có BE là phân giác suy ra:

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra  đpcm.

....................................

....................................

....................................

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---