Vận dụng các trường hợp đồng dạng trong tam giác vuông chứng minh hệ thức

Với Vận dụng các trường hợp đồng dạng trong tam giác vuông chứng minh hệ thức môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 3: Tam giác đồng dạng để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Vận dụng các trường hợp đồng dạng trong tam giác vuông chứng minh hệ thức

Dạng bài: Chứng minh hệ thức hình học

A. Ví dụ minh họa

Câu 1: Hình thang vuông ABCD có , AB = 6cm, CD = 12cm,, AD = 17cm. Lấy điểm E trên cạnh AD sao cho AE = 8cm.

a. Hỏi ΔABE đồng dạng với tam giác nào? Vì sao?

b. Chứng minh rằng .

Lời giải:

a. Xét hai tam giác vuông ΔABE và ΔDEC, ta có:

b. Theo kết quả câu a), ta suy ra .

Mặt khác trong ΔCDE vuông tại D, ta có: .

Khi đó:

Câu 2: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng:

Lời giải:

a. Xét hai tam giác vuông ΔAHB và ΔAHC, ta có:

b. Xét hai tam giác vuông ΔAHB và ΔACB, ta có:

c. Xét hai tam giác vuông ΔAHC và ΔACB, ta có:

Câu 3: Cho hình bình hành ABCD có AC > BD. Kẻ tại E, tại F, tại H và  tại K. Chứng minh:

Lời giải:

a) Xét hai tam giác vuông AHB và AEC có :

b)  Xét hai tam giác vuông AKD và AFC có :

c) Vì ABCD là hình bình hành

B. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho tam giác ABC (AB < AC), hai đường cao BE và CF gặp nhau tại H, các đường thẳng kẻ từ B song song với CF và từ C song song với BE gặp nhau tại D. Chứng minh

a) ΔABE đồng dạng ΔACF

b) AE. CB = AB. EF

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh H, I, D thẳng hàng.

Câu 2: Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H.

a) CMR: AE. AC = AF. AB

b) CMR: ΔAFE đồng dạng ΔACB

c) CMR: ΔFHE đồng dạng ΔBHC

d) CMR: BF. BA + CE. CA = BC²

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm; AC = 8cm. Vẽ đường cao AH (H ∈ BC)

a) Tính độ dài cạnh BC.

b) Chứng minh tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC.

c) Vẽ phân giác AD của góc A (D ∈ BC). Chứng minh rằng điểm H nằm giữa hai điểm B và D.

Câu 4: Cho hình bình hành ABCD. Gọi hình chiếu của A trên CD là H, hình chiếu của A trên BC là K.

a. Chứng minh rằng .

b. Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì thì các tam giác AHC và AKC đồng dạng với nhau?

Câu 5: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Kẻ BH vuông góc với CM, nối DH. Vẽ HN vuông góc với DH (N thuộc BC). Chứng minh rằng:

Câu 6: Cho tam giác ABC nhọn và đường cao AH. Kẻ HI vuông góc với AB và HK vuông góc với AC.

Câu 7: Cho hình chữ nhật ABCD có AB > AD và AD = 5cm. Trên DC lấy điểm M sao cho DM = 2cm. Biết góc AMB là 90⁰.

a) Chứng minh . Tính MC.

b) Tia phân giác của góc AMB cắt AB tại E. Kẻ EK vuông góc với AB (K ∈ MB)

Chứng minh EA = EK.

c) Tia EK cắt AM tại H, tia AK cắt BH tại N. Chứng minh MN là tia phân giác của góc BMH.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng (hay, chi tiết)
• Cách tính độ dài đoạn thẳng trong tam giác giác
• Cách tính diện tích tam giác bằng tỉ lệ diện tích hai tam giác đồng dạng
• Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng – đo gián tiếp chiều cao
• Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng – đo gián tiếp khoảng cách

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---