Phép cộng và phép trừ đa thức lớp 8 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Phép cộng và phép trừ đa thức lớp 8 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phép cộng và phép trừ đa thức.

Phép cộng và phép trừ đa thức lớp 8 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Để thực hiện phép cộng và phép trừ đa thức theo hàng ngang, ta thực hiện theo hai bước sau:

Bước 1.    Viết tổng (hoặc hiệu) hai đa thức theo hàng ngang, mỗi đa thức được đặt trong dấu ngoặc.

Bước 2.    Bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc dấu ngoặc).

Bước 3.    Nhóm các hạng tử đồng dạng với nhau (sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp).

Bước 4.    Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được tổng (hoặc hiệu) cần tìm.

Chú ý:

+Phép cộng đa thức cũng có tính chất giáo hoán và kết hợp tương tự như phép cộng các số.

+ Với A, B, C là những đa thức tùy ý, ta có:

A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C);

Nếu A - B = C thì A = B + C; ngược lại, nếu A = B + C thì A - B = C.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ. Cho hai đa thức $A=x^3+\frac{2}{3}x{y}^3-2x-1$ và $B=\frac{1}{2}{x}^3-2x+2$. Tính tổng và hiệu của hai đa thức trên.

Hướng dẫn giải:

Tổng của hai đa thức:

$A+B=(x^3+\frac{2}{3}x{y}^3-2x-1)+(\frac{1}{2}{x}^3-2x+2)$

$=x^3+\frac{2}{3}x{y}^3-2x-1+\frac{1}{2}{x}^3-2x+2$

$=(x^3+\frac{1}{2}{x}^3)+\frac{2}{3}x{y}^3+(-2x-2x)+(-1+2)$

$=\frac{3}{2}{x}^3+\frac{2}{3}x{y}^3-4\mathrm{x}+1$.
Hiệu của hai đa thức:

$A-B=(x^3+\frac{2}{3}x{y}^3-2x-1)-(\frac{1}{2}{x}^3-2x+2)$

$=x^3+\frac{2}{3}x{y}^3-2x-1-\frac{1}{2}{x}^3+2x-2$

$=(x^3-\frac{1}{2}{x}^3)+\frac{2}{3}x{y}^3+(-2x+2x)+(-1-2)$

$=\frac{1}{2}{x}^3+\frac{2}{3}x{y}^3-3$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tổng hai đa thức A = 2x² + y² + 1 và B = 3x + 1 là

A. 2x² + y² + 2;

B. 2x² + y² + 3x + 1;

C. 2x² + y² + 3x + 2;

D. 2x² + y² + x + 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Tổng hai đa thức:

A + B = (2x² + y² + 1) + (3x + 1)

= 2x² + y² + 1 + 3x + 1

= 2x² + y² + 3x + 2.

Bài 2. Cho hai đa thức $A=\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^3{y}^2+1$ và B = 2x² + xyz - x³y². Hiệu A – B là

A. $\frac{5}{2}{\mathrm{x}}^3{y}^2-2x^2-xyz+1$;

B. $\frac{1}{2}{\mathrm{x}}^3{y}^2+2x^2+xyz+1$;

C. $\frac{5}{2}{\mathrm{x}}^3{y}^2+2x^2+xyz+1$;

D. $\frac{1}{2}{\mathrm{x}}^3{y}^2-2x^2-xyz+1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Hiệu của hai đa thức:

$A-B=(\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^3{y}^2+1)-(2x^2+xyz-x^3{y}^2)$

$=\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^3{y}^2+1-2x^2-xyz+x^3{y}^2$

$=(\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^3{y}^2+x^3{y}^2)-2x^2-xyz+1$

Bài 3. Cho hai đa thức A = 4x²y³ – xy² + 3 và B = xy² – 4x²y³. Bậc của đa thức C = A + B là

A. 0;

B. 1;

C. 3;

D. 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có C = A + B

= 4x²y³ – xy² + 3 + xy² – 4x²y³

= (4x²y³ – 4x²y³) + (– xy² + xy²) + 3

= 3.

Vậy bậc của đa thức C là 0.

Bài 4. Tổng hai đa thức $C=(\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}b)-(2\mathrm{a}-b)$ và $D=\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}b-(\mathrm{a}-b)$ có dạng $\frac{m}{3}a+\frac{n}{3}b$. Giá trị của m + n là

A. -1;

B. 4;

C. 2;

D. -3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có:

$C=(\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}b)-(2\mathrm{a}-b)=\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}b-2\mathrm{a}+b$

   $=(\frac{1}{3}a-2\mathrm{a})+(-\frac{1}{3}b+b)=\frac{-5}{3}a+\frac{2}{3}b.$

$D=\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}b-(\mathrm{a}-b)=\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}b-a+b$

   $=(\frac{1}{3}a-a)+(-\frac{1}{3}b+b)=\frac{-2}{3}a+\frac{2}{3}b.$

Tổng của hai đa thức:

$C+D=(\frac{-5}{3}a+\frac{2}{3}b)+(\frac{-2}{3}a+\frac{2}{3}b)$

          $=(\frac{-5}{3}a+\frac{-2}{3}a)+(\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}b)=\frac{-7}{3}a+\frac{4}{3}b$.

Do đó, m = -7; n = 4. Suy ra m + n = -3.

Bài 5. Cho hai đa thức $A=x^3+2y^2-3{\mathrm{z}}^2+\frac{4}{5}{x}^{3}y{z}^2-2$ và $B=2y^3-3z^2+\frac{3}{5}{x}^{3}y{z}^2$. Hiệu A - B có thể viết dưới dạng tổng của ít nhất bao nhiêu đơn thức?

A. 3;

B. 5;

C. 4;

D. 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Xét hiệu:

$A-B=(x^3+2y^2-3{\mathrm{z}}^2+\frac{4}{5}{x}^{3}y{z}^2-2)-(2y^3-3z^2+\frac{3}{5}{x}^{3}y{z}^2)$

$=x^3+2y^2-3{\mathrm{z}}^2+\frac{4}{5}{x}^{3}y{z}^2-2-2y^3+3z^2-\frac{3}{5}{x}^{3}y{z}^2$

$=x^3-2y^3+2y^2+(-3{\mathrm{z}}^2+3z^2)+(\frac{4}{5}{x}^{3}y{z}^2-\frac{3}{5}{x}^{3}y{z}^2)-2$

$=x^3+(-2y^3)+2y^2+\frac{1}{5}{x}^{3}y{z}^2+(-2)$.

Do đó hiệu A - B có thể viết dưới dạng tổng của ít nhất 5 đơn thức là: $x^3;-2y^3;\mathrm{\hspace{0.33em}2}{y}^2;\frac{1}{5}{x}^{3}y{z}^2$ và -2.

Bài 6. Cho hai đa thức A = 4x² + 3y² – 5xy và B = 3x² + 2y² + 2x²y². Đa thức C thỏa mãn C + A = B là

A. C = 7x² + 5y² + 2x²y² – 5xy;

B. C = –7x² – 5y² – 2x²y² + 5xy;

C. C = x² + y² – 2x²y² – 5xy;

D. C = – x² – y² + 2x²y² + 5xy.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có C + A = B

Suy ra C = B – A

= 3x² + 2y² + 2x²y² – (4x² + 3y² – 5xy)

= 3x² + 2y² + 2x²y² – 4x² – 3y² + 5xy

= (3x² – 4x²) + (2y² – 3y²) + 2x²y² + 5xy

= – x² – y² + 2x²y² + 5xy.

Vậy C = – x² – y² + 2x²y² + 5xy.

Bài 7. Cho ba đa thức $A=\frac{1}{2}x{y}^3-{\mathrm{x}}^{2}y+y^2+a$; $B=\frac{1}{2}x{y}^3+2x^{2}y+1$; C = 2 với a là hằng số. Bậc của đa thức M = A - B - 2C là

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$M=A-B-2C=(\frac{1}{2}x{y}^3-{\mathrm{x}}^{2}y+y^2+a)-(\frac{1}{2}x{y}^3+2{\mathrm{x}}^{2}y+1)-2.2$

$=\frac{1}{2}x{y}^3-{\mathrm{x}}^{2}y+y^2+a-\frac{1}{2}x{y}^3-2{\mathrm{x}}^{2}y-1-2.2$

 = -3x²y + y² + a - 5.

Bậc của đa thức M là bậc của hạng tử -3x²y và bằng 3.

Bài 8. Cho đa thức M thoản mãn: 15x²y⁴ + 0,5.M = 12x²y⁴ + (2x)² - 3. Hệ số của hạng tử có phần biến x²y⁴ trong M là

A. -6;

B. 6;

C. -3;

D. 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có:

15x²y⁴ + 0,5.M = 12x²y⁴ + (2x)² - 3

Suy ra 0,5.M = (12x²y⁴ + 4x² - 3) - 15x²y⁴

Hay 0,5.M = 12x²y⁴ - 15x²y⁴ + 4x² - 3

Do đó $\frac{1}{2}M=\mathrm{ }-3x^2{y}^4+4x^2-3$

Suy ra M = 2.(-3x²y⁴ + 4x² - 3) = -6x²y⁴ + 8x² - 6.

Do đó hệ số của hạng tử chứa phần biến x²y⁴ trong M là -6.

Bài 9. Cho hai đa thức:

$A=\frac{1}{2}x{y}^2-2x+x^3-\frac{1}{6}x{y}^2+1$.

Giá trị của biểu thức M = 2A + B tại x  = -1; y = 1 là

A. $\frac{-1}{15}$;

B. $\frac{-136}{15}$;

C. $\frac{91}{15}$;

D. $\frac{109}{15}$;.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có:

Bài 10. Cho: x + y = 1; x² + 2y + z = 2; 2x + z = 3 và hai đa thức:

A = 3x² + 10x + 5(y + z) - 10; B = x² + 3x.

Giá trị của M = A - B là

A. 5;

B. 7;

C. 4;

D. 10.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có:

M = A - B = [3x² + 10x + 5(y + z) - 10] - (x² + 3x)

= 3x² + 10x + 5y + 5z - 10 - x² - 3x

= (3x² - x²) + (10x - 3x) + 5y + 5z - 10

= 2x² + 7x + 5y + 5z - 10

= 2x² + x + 6x + y + 4y + 2z + 3z - 10

= (2x² + 4y + 2z) + (x + y) + (6x + 3z) - 10

= 2.(x² + 2y + z) + (x + y) + 3.(2x + z) - 10

Thay x + y = 1; x² + 2y + z = 2; 2x + z = 3 vào M, ta có:

M = 2.2 + 1 + 3.3 - 10 = 4 + 1 + 9 - 10 = 4.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 8 hay, chi tiết khác:

• Tính giá trị của đa thức
• Nhân đơn thức với đơn thức, đơn thức với đa thức
• Cách nhân đa thức với đa thức
• Biến đổi, rút gọn biểu thức có chứa phép nhân đa thức
• Chia đơn thức cho đơn thức (trường hợp chia hết)

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---