Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết)
Bài viết Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 9.
Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và cách giải bài tập
I. Lý thuyết
1. Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:
Trong đó a, b, a’, b’ là các số thực cho trước và .
- Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung thì được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Nếu hai phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm.
- Giải hệ phương trình là tìm tất cả tập nghiệm của nó.
- Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp điểm chung của hai đường thẳng ax + by = c và a’x + b’y = c’
Trường hợp 1: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là ;
Trường hợp 2: d // d’ Hệ phương trình vô nghiệm
Trường hợp 3: Hệ phương trình có vô số nghiệm.
Chú ý: Với trường hợp
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ;
Hệ phương trình vô nghiệm ;
Hệ phương trình vô số nghiệm .
II. Dạng bài tập
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Phương pháp giải: Để giải một hệ phương trình, ta sẽ biến đổi hệ đã cho thành hệ phương trình tương đương đơn giản hơn.
Để giải phương trình bằng phương pháp thế ta sử dụng quy tắc thế sau:
Bước 1: Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ và giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho.
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau
a)
b)
Lời giải:
a)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (3; 3)
b)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là .
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau bằng cách quy về phương pháp thế:
a)
b)
Lời giải:
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (3; 5)
b)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là .
Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Phương pháp giải: Để giải phương trình bằng phương pháp cộng đại số ta sử dụng quy tắc cộng đại số gồm hai bước sau:
Bước 1: Cộng hay trừ hai vế của hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được hệ phương trình mới.
Bước 2: Dùng phương trình mới đấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ và giữ nguyên một phương trình kia ta được một hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho.
Bước 3: Giải hệ phương trình mới.
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:
a)
b)
Lời giải:
a)
Lấy (1) – (2) ta được:
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là .
b)
Nhận cả hai vế của phương trình (1) với 2 ta được:
Lây (4) + (5) ta được
Vì (vô lí) nên hệ phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:
Lời giải:
Nhân hai vế của phương trình (1) với 14 ta được:
Lấy (3) – (2) ta được:
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (12; -3).
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
Phương pháp giải: Ta thực hiện theo ba bước sau
Bước 1: Lấy điều kiện của biến (nếu có)
Bước 2: Chọn ẩn phụ cho các biểu thức của hệ phương trình đã cho để được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn dạng cơ bản.
Bước 3: Giải hệ phương trình bậc nhất vừa tìm được bằng các phương pháp thế hoặc cộng đại số.
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:
a)
b)
c)
Lời giải:
a) với
Đặt: khi đó hệ phương trình trở thành
Lấy (1) + (2) ta được:
(thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (1; -1).
b)
Đặt
Khi đó hệ phương trình trở thành
Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 3 ta được hệ mới:
Lấy (3) + (4) ta được:
+ Với a = 10
+ Với b = 12
Vậy ta tìm được 4 cặp nghiệm (x; y) là (12; 13); (-8; 13); (12; -11); (-8; -11),
c)
Điều kiện:
Đặt
Khi đó hệ phương trình trở thành
Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2 khi đó ta có hệ mới
Lấy (1) + (3) ta được hệ
.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (10; 4).
Dạng 4: Hệ phương trình đẳng cấp.
Phương pháp giải:
Cho hệ phương trình đẳng cấp dạng
Để giải hệ phương trình đẳng cấp ta thực hiện theo ba bước sau:
Bước 1: Nhân phương trình (1) với và phương trình (2) với rồi trừ phương trình để làm mất hệ số tự do.
Bước 2: Phương trình chỉ còn hai ẩn x và y ta xét hai trường hợp.
Trường hợp 1: Nếu x = 0 hoặc y = 0. Ta thay vào phương trình ban đầu của hệ để giải ẩn còn lại.
Trường hợp 2: Nếu hoặc ta chia cả hai vế phương trình cho bậc cao nhất của x hoặc y.
Bước 3: Giải phương trình với ẩn hoặc sau đó tìm nghiệm của hệ phương trình.
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
Lời giải:
Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2 ta được hệ mới:
Trừ phương trình (1) cho phương trình (3) ta được:
+ Với y = 0
+ Với 5x = 7y thay vào phương trình (1) ta có:
Với
Vậy ta tìm được 4 cặp nghiệm (x; y) là .
Dạng 5: Hệ phương trình đối xứng
Phương pháp giải: Hệ phương trình đối xứng là khi ta thay x bởi y và y bởi x thì hệ phương trình đã cho không đổi.
Để giải hệ phương trình này ta làm theo ba bước.
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)
Bước 2: Đặt S = x + y; P = xy với điều kiện của S và P là
Bước 3: Thay x; y bởi S và P vào hệ phương trình. Tìm S, P rồi tìm x; y.
Ví dụ: Giải hệ phương trình
Lời giải:
Đặt
Khi đó hệ phương trình trở thành
Với
Với
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 cặp nghiệm.
III. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Bằng phương pháp thế hãy giải các hệ phương trình sau:
a)
b)
c)
d)
Bài 2: Bằng phương pháp cộng đại số giải các hệ phương trình sau.
a)
b)
c)
d)
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Bài 4: Giải các hệ phương trình đẳng cấp, hệ phương trình đối xứng sau:
a)
b)
c)
d)
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:
- Hệ phương trình có chứa tham số và cách giải bài tập
- Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và cách giải bài tập
- Cách xác định đường tròn và tính chất đối xứng của đường tròn và cách giải
- Các dạng toán về dây cung của đường tròn và cách giải bài tập
- Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn và cách giải
Tủ sách VIETJACK luyện thi vào 10 cho 2k10 (2025):
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 9 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 9 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 9 Friends plus
- Lớp 9 Kết nối tri thức
- Soạn văn 9 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 9 (ngắn nhất) - KNTT
- Giải sgk Toán 9 - KNTT
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - KNTT
- Giải sgk Lịch Sử 9 - KNTT
- Giải sgk Địa Lí 9 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục công dân 9 - KNTT
- Giải sgk Tin học 9 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 9 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - KNTT
- Giải sgk Âm nhạc 9 - KNTT
- Giải sgk Mĩ thuật 9 - KNTT
- Lớp 9 Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 9 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 9 (ngắn nhất) - CTST
- Giải sgk Toán 9 - CTST
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - CTST
- Giải sgk Lịch Sử 9 - CTST
- Giải sgk Địa Lí 9 - CTST
- Giải sgk Giáo dục công dân 9 - CTST
- Giải sgk Tin học 9 - CTST
- Giải sgk Công nghệ 9 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - CTST
- Giải sgk Âm nhạc 9 - CTST
- Giải sgk Mĩ thuật 9 - CTST
- Lớp 9 Cánh diều
- Soạn văn 9 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 9 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 9 - Cánh diều
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 9 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 9 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 9 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 9 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 9 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 9 - Cánh diều
- Giải sgk Mĩ thuật 9 - Cánh diều