Tính tổng, tích và giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x₁, x₂ của phương trình bậc hai một ẩn mà không giải phương trình lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính tổng, tích và giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x₁, x₂ của phương trình bậc hai một ẩn mà không giải phương trình lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính tổng, tích và giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x₁, x₂ của phương trình bậc hai một ẩn mà không giải phương trình.

Tính tổng, tích và giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x₁, x₂ của phương trình bậc hai một ẩn mà không giải phương trình lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

– Để tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, ta dựa vào định lí Viète:

Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}.\end{array}\right.$

– Để tính giá trị của biểu thức đối xứng với hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn mà không giải phương trình, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Với điều kiện phương trình có nghiệm, áp dụng định lí Viète để tính tổng và tích của các nghiệm:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}.\end{array}\right.$

Bước 2. Biến đổi biểu thức của các nghiệm về biểu thức chỉ chứa các thành phần là tổng các nghiệm x₁ + x₂ và tích các nghiệm x₁x₂.

Bước 3. Thay giá trị tổng và tích của các nghiệm vào biểu thức và tính giá trị biểu thức.

? Chú ý: Một số biến đổi thường gặp

⦁ $x_1^2+x_2^2=\left(x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2\right)-2x_1{x}_2$$={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2.$

⦁ $x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2\right)$$=\left(x_1+x_2\right)\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2\right].$

Hoặc $x_1^3+x_2^3={\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1^2{x}_2-3x_1{x}_2^2$$={\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right).$

⦁ $x_1^4+x_2^4={\left(x_1^2\right)}^2+{\left(x_2^2\right)}^2$$={\left(x_1^2+x_2^2\right)}^2-2x_1^2{x}_2^2.$

⦁ $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}.$

⦁ |x₁ – x₂| → Ta xét |x₁ – x₂|² = (x₁ – x₂)² = (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂.

⦁ |x₁| + |x₂| → Ta xét ${\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)}^2$$={\left|x_1\right|}^2+{\left|x_2\right|}^2+2\left|x_1\right|\cdot \left|x_2\right|$$=x_1^2+x_2^2+2\left|x_1{x}_2\right|.$

⦁ |A|² = A²;

|A + B|² = (A + B)²;

|A – B|² = (A – B)²;

|AB| = |A|.|B|.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Không giải phương trình, hãy tính biệt thức ∆ (hoặc ∆') để kiểm tra điều kiện có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình bậc hai sau:

a) x² – 4x + 3 = 0.

b) x² + x + 1 = 0.

c) x² – 12x + 36 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Xét phương trình x² – 4x + 3 = 0 có:

∆' = (–2)² – 1.3 = 1 > 0.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: x₁ + x₂ = 4 và x₁x₂ = 3.

b) Xét phương trình x² + x + 1 = 0 có:

∆ = 1² – 4.1.1 = –3 < 0.

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm nên không tồn tại tổng và tích các nghiệm của phương trình.

c) Xét phương trình x² – 12x + 36 = 0 có:

∆' = (–6)² – 1.36 = 0.

Do đó phương trình đã cho có nghiệm kép x₁ = x₂.

Theo định lí Viète, ta có: x₁ + x₂ = 12 và x₁x₂ = 36.

Ví dụ 2. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² + 7x – 5 = 0. Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức:

a) $A=x_1^3+x_2^3.$

b) $B=x_1^4+x_2^4.$

c) $C=\left|x_1^2-x_2^2\right|.$

Hướng dẫn giải

Vì x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² + 7x – 5 = 0 nên áp dụng định lí Viète ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-7\\ x_1{x}_2=-5.\end{array}\right.$

a) $A=x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2\right)$

$=\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2\right)-3x_1{x}_2\right]$

$=\left(x_1+x_2\right)\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2\right]$

$=\left(-7\right)\cdot \left[{\left(-7\right)}^2-3\cdot \left(-5\right)\right]$$=-7\cdot \left(49+15\right)=-448.$

b) $B=x_1^4+x_2^4$

$={\left(x_1^2\right)}^2+2x_1^2{x}_2^2+{\left(x_2^2\right)}^2-2x_1^2{x}_2^2$

$={\left(x_1^2+x_2^2\right)}^2-2x_1^2{x}_2^2$

$={\left(x_1^2+x_2^2+2x_1{x}_2-2x_1{x}_2\right)}^2-2x_1^2{x}_2^2$

$={\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2\right]}^2-2{\left(x_1{x}_2\right)}^2$

$={\left[{\left(-7\right)}^2-2\cdot \left(-5\right)\right]}^2-2\cdot {\left(-5\right)}^2$

$={\left[49+10\right]}^2-2\cdot 25=3431.$

c) $C=\left|x_1^2-x_2^2\right|=\left|\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)\right|$$=\left|x_1-x_2\right|\cdot \left|x_1+x_2\right|.$

Xét ${\left|x_1-x_2\right|}^2=x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2$$=\left(x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2\right)-4x_1{x}_2$ $={\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2.$

Suy ra $\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{{\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2}.$

Do đó $C=\sqrt{{\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2}\cdot \left|x_1+x_2\right|.$

$=\sqrt{{\left(-7\right)}^2-4\cdot \left(-5\right)}\cdot \left|-7\right|=7\sqrt{69}$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂ thì

A. $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}\end{array}\right..$

B. $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}\end{array}\right..$

C. $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2=\frac{a}{c}\end{array}\right..$

D. $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2=-\frac{c}{a}\end{array}\right..$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂ thì theo định lí Viète, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}\end{array}\right..$

Bài 2. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình –x² – 5x – 3 = 0, khi đó ta có

A. x₁ + x₂ = –5, x₁x₂ = 3.

B. x₁ + x₂ = –5, x₁x₂ = –3.

C. x₁ + x₂ = 5, x₁x₂ = –3.

D. x₁ + x₂ = 3, x₁x₂ = –5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình –x² – 5x – 3 = 0 thì theo định lí Viète, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{-5}{-1}=-5\\ x_1{x}_2=\frac{-3}{-1}=3\end{array}\right..$

Bài 3. Cho phương trình x² – 7x + 11 = 0 có hai nghiệm và gọi S và P lần lượt là tổng và tích hai nghiệm đó. Khi đó S + P bằng

A. 4.

B. 7.

C. 11.

D. 18.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Do phương trình x² – 7x + 11 = 0 có hai nghiệm nên theo định lí Viète, ta có: $\left\{\begin{array}{l}S=7\\ P=11\end{array}\right.$

Do đó S + P = 7 + 11 = 18.

Bài 4. Cho phương trình –2x² – 100x + 301 = 0 có hai nghiệm và gọi S và P lần lượt là tổng và tích hai nghiệm đó. Tổng bình phương của S và P bằng

A. 10 100,25.

B. 20 150,25.

C. 25 150,25.

D. 40 200,25.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Do phương trình –2x² – 100x + 301 = 0 có hai nghiệm nên theo định lí Viète, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}S=-\frac{-100}{-2}=-50\\ P=\frac{301}{-2}=-150,5\end{array}\right..$

Do đó S² + P² = (–50)² + (–150,5)² = 25 150,25.

Bài 5. Cho phương trình –x² – 50x + 1001 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂. Giá trị của biểu thức $A=\frac{1}{x_1+3}+\frac{1}{x_2+3}$ là

A. $\frac{22}{421}.$

B. $\frac{-11}{290}.$

C. $\frac{7}{145}.$

D. $\frac{-28}{421}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Do phương trình –x² – 50x + 1001 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ nên theo định lí Viète, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{-50}{-1}=50\\ x_1{x}_2=\frac{1001}{-1}=-1001\end{array}\right..$

Ta có $A=\frac{1}{x_1+3}+\frac{1}{x_2+3}=\frac{x_2+3+x_1+3}{\left(x_1+3\right)\left(x_2+3\right)}$

$=\frac{x_1+x_2+6}{x_1{x}_2+3\left(x_1+x_2\right)+9}$

$=\frac{50+6}{-1001+3\cdot 50+9}=\frac{-28}{421}.$

Bài 6. Cho phương trình 9x² – 100x + 25 = 0 có hai nghiệm dương x₁, x₂. Giá trị của biểu thức $B=\frac{x_1^2+x_2^2}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}$ là

A. $\frac{995}{11}.$

B. $\frac{955\sqrt{130}}{351}$

C. $\frac{235\sqrt{85}}{459}.$

D. $\frac{955}{117}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Do phương trình 9x² – 100x + 25 = 0 có hai nghiệm dương x₁, x₂ nên theo định lí Viète, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{100}{9}\\ x_1{x}_2=\frac{25}{9}\end{array}\right..$

Ta có: 

$x_1^2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2$$={\left(\frac{100}{9}\right)}^2-2\cdot \frac{25}{9}=\frac{9550}{81}.{\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)}^2$$=x_1+x_2+2\sqrt{x_1{x}_2}$$=\frac{100}{9}+2\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{130}{9}$

Suy ra $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{\frac{130}{9}}$$=\frac{\sqrt{130}}{3}$ (vì $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}>0)$

Vậy $B=\frac{\frac{9550}{81}}{\frac{\sqrt{130}}{3}}=\frac{955\sqrt{130}}{351}.$

Bài 7. Cho phương trình x² + 200x – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂. Giá trị của biểu thức $C=\frac{100\left|x_1-x_2\right|}{x_1^2{x}_2+x_1{x}_2^2}$ là

A. $2\sqrt{10001}.$

B. $\frac{\sqrt{10001}}{2}.$

C. $\frac{\sqrt{10001}}{100}.$

D. $\sqrt{10001}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Do phương trình x² + 200x – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ nên theo định lí Viète, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-200\\ x_1{x}_2=-1\end{array}\right.$

Ta có:

⦁ |x₁ – x₂|² = (x₁ – x₂)² = (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂ = (–200)² – 4.(–1) = 40004.

Suy ra $\left|x_1-x_2\right|=2\sqrt{10001}.$

⦁ $x_1^2{x}_2+x_1{x}_2^2=x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right)$$=-1\cdot \left(-200\right)=200.$

Vậy $C=\frac{100\cdot 2\sqrt{10001}}{200}=\sqrt{10001}.$

Bài 8. Khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn hai nghiệm của phương trình x² – x – 2 = 0 trên trục số bằng bao nhiêu?

A. $\sqrt{3}.$

B. 3.

C. $\sqrt{5}.$

D. 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình x² – x – 2 = 0 có ∆ = (–1)² – 4.1.(–2) = 9 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=1\\ x_1{x}_2=-2\end{array}\right..$

Khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn hai nghiệm của phương trình trên trục số bằng

$\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2}$$=\sqrt{x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2}$$=\sqrt{{\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2}$$=\sqrt{1^2-4\cdot \left(-2\right)}=\sqrt{9}=3.$

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 9. Các điểm biểu diễn hai nghiệm x₁, x₂ của phương trình x² – 2x – 1 = 0 trên trục Ox của mặt phẳng tọa độ Oxy cùng với điểm C(1; 5) tạo thành một tam giác có diện tích là

A. $2\sqrt{5}.$

B. $3\sqrt{5}.$

C. $3\sqrt{2}.$

D. $5\sqrt{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình x² – 2x – 1 = 0 có ∆' = (–1)² – 1.(–1) = 2 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\\ x_1{x}_2=-1\end{array}\right..$

Gọi A và B lần lượt là điểm biểu diễn x₁ và x₂ trên Ox.

Ta có x₁x₂ = –1 < 0 nên hai nghiệm x₁, x₂ trái dấu nhau, do đó hai điểm A(x₁; 0) và B(x₂; 0) biểu diễn hai nghiệm x₁, x₂ nằm trên trục Ox và nằm về hai phía của trục Oy.

Ta có AB = |x₁ – x₂|.

Suy ra AB² = |x₁ – x₂|² = (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂ = 2² – 4.(–1) = 8.

Do đó $AB=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$

Gọi H là hình chiếu của điểm C(1; 5) trên Ox, khi đó CH = |y_C| = 5.

Vậy diện tích tam giác ABC là:

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}CH\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 2\sqrt{2}=5\sqrt{2}$ (đơn vị diện tích).

Bài 10. Các điểm biểu diễn hai nghiệm x₁, x₂ của phương trình 2x² – x – 100 = 0 trên trục Ox của mặt phẳng tọa độ Oxy cùng với điểm N(0; b) (b > 0) tạo thành một tam giác vuông tại N. Giá trị của b là

A. 100.

B. 10.

C. $5\sqrt{2}.$

D. 50.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình 2x² – x – 100 = 0 có ∆ = (–1)² – 4.2.(–100) = 801 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète, ta có: x₁x₂ = –50.

Gọi M và P lần lượt là điểm biểu diễn x₁ và x₂ trên Ox.

Ta thấy x₁x₂ = –50 < 0 nên hai nghiệm x₁, x₂ trái dấu nhau, do đó hai điểm M(x₁; 0) và N(x₂; 0) biểu diễn hai nghiệm x₁, x₂ nằm trên trục Ox và nằm về hai phía của trục Oy.

Xét ∆OMN và ∆ONP có:

$\widehat{MON}=\widehat{NOP}=90°$ và $\widehat{OMN}=\widehat{ONP}$ (cùng phụ với $\widehat{ONM}).$

Do đó ∆OMN ᔕ ∆ONP (g.g)

Suy ra $\frac{OM}{ON}=\frac{ON}{OP}$ nên ON² = OM.OP.

Do M(x₁; 0) nên OM = |x₁|.

Do N(x₂; 0) nên ON = |x₂|.

Khi đó, ON² = OM.OP = |x₁|.|x₂| = |x₁x₂| = |–50| = 50.

Suy ra $b=ON=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ (do b > 0).

Vậy ta chọn phương án C.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai dựa vào định lí Viète
• Lập phương trình bậc hai khi biết các nghiệm của nó và tìm hai số khi biết tổng, tích của hai số đó
• Ứng dụng định lí Viète trong phân tích đa thức ax² + bx + c thành nhân tử
• Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện về dấu của các nghiệm
• Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước khác

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---