Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước khác lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước khác lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước khác.

Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước khác lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

1.1. Bài toán tìm tham số để phương trình bậc hai nhận x₁ = a làm nghiệm và tìm nghiệm còn lại

Để giải được bài toán này, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Thay x₁ = a vào phương trình bậc hai đã cho để tìm tham số m.

Bước 2. Thay giá trị tham số m vừa tìm được ở Bước 1 vào phương trình để tìm trực tiếp các nghiệm hoặc thông qua tổng/ tích hai nghiệm (sử dụng định lí Viète) để xác định nghiệm còn lại của phương trình.

Bước 3. Kết luận.

1.2. Bài toán tìm tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn một biểu thức đối xứng

Để giải được bài toán này, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (hoặc có hai nghiệm phân biệt) x₁, x₂.

⦁ Phương trình có nghiệm x₁, x₂ khi và chỉ khi ∆ ≥ 0 (hoặc ∆' ≥ 0).

⦁ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ khi và chỉ khi ∆ > 0 (hoặc ∆' > 0).

Bước 2. Biến đổi biểu thức đối xứng đối với x₁, x₂ về tổng x₁ + x₂ và tích x₁x₂.

Bước 3. Sử dụng định lí Viète và thay vào biểu thức chứa tổng và tích ở Bước 2. Từ đó tìm được m, đối chiếu điều kiện ở Bước 1.

? Chú ý: Một số biến đổi thường gặp

⦁ $x_1^2+x_2^2=\left(x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2\right)-2x_1{x}_2$$={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2.$

⦁ $x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2\right)$$=\left(x_1+x_2\right)\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2\right].$

Hoặc $x_1^3+x_2^3={\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1^2{x}_2-3x_1{x}_2^2$$={\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right).$

⦁ $x_1^4+x_2^4={\left(x_1^2\right)}^2+{\left(x_2^2\right)}^2$$={\left(x_1^2+x_2^2\right)}^2-2x_1^2{x}_2^2.$

⦁ $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}.$

⦁ |x₁ – x₂| → Ta xét |x₁ – x₂|² = (x₁ – x₂)² = (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂.

⦁ |x₁| + |x₂| → Ta xét ${\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)}^2={\left|x_1\right|}^2+{\left|x_2\right|}^2+2\left|x_1\right|\cdot \left|x_2\right|$$=x_1^2+x_2^2+2\left|x_1{x}_2\right|.$

⦁ |A|² = A²;

|A + B|² = (A + B)²;

|A – B|² = (A – B)²;

|AB| = |A|.|B|.

1.3. Bài toán tìm tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn một biểu thức không đối xứng

Để giải được bài toán này, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (hoặc có hai nghiệm phân biệt) x₁, x₂.

⦁ Phương trình có nghiệm x₁, x₂ khi và chỉ khi ∆ ≥ 0 (hoặc ∆' ≥ 0).

⦁ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ khi và chỉ khi ∆ > 0 (hoặc ∆' > 0).

Bước 2. Sử dụng định lí Viète ta có $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ và $x_1{x}_2=\frac{c}{a}.$

Bước 3. Giải hệ gồm hai phương trình $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ và biểu thức đã cho để tìm x₁, x₂ theo m.

Bước 4. Thay x₁, x₂ vừa tìm được ở vào $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$ để tìm giá trị m, đối chiếu điều kiện ở Bước 1.

? Chú ý:

⦁ Nếu tính ∆ hoặc ∆’ mà ra một biểu thức bình phương thì ta tìm hai nghiệm đó và phải xét hai trường hợp:

Trường hợp 1. Xét $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$ và $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}.$

Trường hợp 2. Xét $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$ và $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}.$

⦁ Khi biểu thức đề bài cho chứa $x_1^2,x_2^2$ thì do x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}a{x}_1^2+b{x}_1+c=0\\ a{x}_2^2+b{x}_2+c=0\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}a{x}_1^2=-b{x}_1-c\\ a{x}_2^2=-b{x}_2-c.\end{array}\right.$

Từ đó, thay $x_1^2$ theo x₁; thay $x_2^2$ theo x₂ vào biểu thức đã cho và kết hợp với định lí Viète để tìm giá trị của m.

⦁ Khi biểu thức có chứa y₁, y₂: Tính y₁ theo x₁; y₂ theo x₂ theo hàm số của đường thẳng (d) hoặc hàm số của parabol (P) → Bài toán quy về biểu thức chứa x₁, x₂ và cách giải giống hai trường hợp kể trên.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Phương trình x² – 2px + 5 = 0 có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm còn lại của phương trình.

Hướng dẫn giải

Vì phương trình x² – 2px + 5 = 0 có một nghiệm bằng 2 nên thay x = 2 vào phương trình ta được: 2² – 2.p.2 + 5 = 0, suy ra $p=\frac{9}{4}.$

Với $p=\frac{9}{4}$ phương trình đã cho trở thành $x^2-\frac{9}{2}x+5=0.$

Giả sử phương trình có hai nghiệm x₁ = 2 và x₂.

Theo định lí Viète ta có $x_1+x_2=\frac{9}{2},$ suy ra $x_2=\frac{9}{2}-x_1=\frac{9}{2}-2=\frac{5}{2}.$

Ví dụ 2. Cho phương trình x² – 2(m + 3)x + m² + 3 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ sao cho (2x₁ – 1)(2x₂ – 1) = 9.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình x² – 2(m + 3)x + m² + 3 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆' = [–(m + 3)]² – 1.(m² + 3) = m² + 6m + 9 – m² – 3 = 6m + 6.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ khi và chỉ khi ∆' > 0, tức là 6m + 6 > 0, suy ra m > –1.

Khi đó, theo định lí Viète ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m+3\right)\\ x_1{x}_2=m^2+3.\end{array}\right.$

Theo bài, ta có: (2x₁ – 1)(2x₂ – 1) = 9

Suy ra 4x₁x₂ – 2(x₁ + x₂) + 1 = 9.

Thay x₁ + x₂ = 2(m + 3) và x₁x₂ = m² + 3 vào biểu thức trên, ta được:

4(m² + 3) – 2.2(m + 3) + 1 = 9

4m² + 12 – 4m – 12 + 1 = 9

4m² – 4m – 8 = 0

m² – m – 2 = 0

m² – 2m + m – 2 = 0

m(m – 2) + (m – 2) = 0

(m – 2)(m + 1) = 0

m – 2 = 0 hoặc m + 1 = 0

m = 2 (thỏa mãn m > –1) hoặc m = –1 (không thỏa mãn m > –1).

Vậy m = 2.

Ví dụ 3. Cho phương trình x² – 4x – m² – 1 = 0 (với m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ sao cho x₂ = –5x₁.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình x² – 4x – m² – 1 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆' = (–2)² – 1.(–m² – 1) = 4 + m² + 1 = m² + 5 > 0 với mọi m ∈ ℝ.

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=4\left(1\right)\\ x_1{x}_2=-m^2-1\left(2\right)\end{array}\right.$

Theo bài, x₂ = –5x₁, thay vào (1) ta được:

x₁ + (–5x₁) = 4 hay –4x₁ =  4 nên x₁ = –1.

Từ đó suy ra x₂ = –5x₁ = –5.(–1) = 5.

Thay x₁ = –1 và x₂ = 5 vào (2) ta được:

(–1).5 = –m² – 1 hay m² = 4 nên m = 2 hoặc m = –2.

Vậy m ∈ {2; –2}.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho phương trình x² + (2m + 1)x + 3m = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là x₁ = 3. Nghiệm còn lại là

A. $x_2=\frac{4}{3}.$

B. $x_2=-\frac{4}{3}.$

C. $x_2=\frac{3}{4}.$

D. $x_2=-\frac{3}{4}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Thay x₁ = 3 vào phương trình x² + (2m + 1)x + 3m = 0, ta được:

3² + (2m + 1).3 + 3m = 0

9 + 6m + 3 + 3m = 0

9m = –12

$m=\frac{-4}{3}.$

Theo định lí Viète, ta có: $x_1{x}_2=3m=3\cdot \frac{-4}{3}=-4.$

Hay 3.x₂ = –4 nên $x_2=-\frac{4}{3}.$

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 2. Giá trị của m để phương trình mx² – 2(m + 1)x + m + 3 = 0 là phương trình bậc hai nhận x = –2 là nghiệm là

A. $m=-\frac{7}{9}.$

B. $m=-\frac{7}{5}.$

C. $m=-\frac{7}{8}.$

D. $m=-\frac{7}{4}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình mx² – 2(m + 1)x + m + 3 = 0 là phương trình bậc hai khi m ≠ 0.

Thay x = –2 vào phương trình, ta được:

m.(–2)² – 2.(m + 1).(–2) + m + 3 = 0

4m + 4m + 4 + m + 3 = 0

9m = –7

$m=-\frac{7}{9}$ (thỏa mãn m ≠ 0).

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 3. Biết rằng phương trình x² – 3mx + m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm là –2 và a. Giá trị của a là

A. $-\frac{2}{7}.$

B. $\frac{2}{7}.$

C. $\frac{4}{7}.$

D. $-\frac{4}{7}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì x = –2 là nghiệm của phương trình x² – 3mx + m = 0 nên ta có:

(–2)² – 3m.(–2) + m = 0

4 + 6m + m = 0

7m = –4

$m=-\frac{4}{7}.$

Theo định lí Viète, ta có: tích hai nghiệm của phương trình là $-2\cdot a=m,$ suy ra $-2a=-\frac{4}{7},$ nên $a=\frac{2}{7}.$

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4. Cho phương trình x² – mx + m – 2 = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $x_1^2+x_2^2=7.$ Tổng các giá trị của m bằng

A. –4.

B. –2.

C. 2.

D. 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình x² – mx + m – 2 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆ = (–m)² – 4.1.(m – 2) = m² – 4m + 8 = (m – 2)² + 4 > 0 với mọi m.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m\\ x_1{x}_2=m-2\end{array}\right..$

Theo bài, $x_1^2+x_2^2=7$

(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = 7

m² – 2.(m – 2) = 7

m² – 2m + 4 = 7

m² – 2m – 3 = 0

m = –1 hoặc m = 3.

Tổng các giá trị của m bằng (–1) + 3 = 2.

Bài 5. Cho phương trình x² – 2(m – 2)x + 2m – 5 = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁(1 – x₂) + x₂(1 – x₁) < 4. Giá trị của m là

A. m < 0.

B. m > 1.

C. m > 2.

D. m < 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình x² – 2(m – 2)x + 2m – 5 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆' = [– (m – 2)]² – 1.(2m – 5) = m² – 4m + 4 – 2m + 5

    = m² – 6m + 9 = (m – 3)² ≥ 0 với mọi m.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm x₁, x₂ với mọi m.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m-2\right)\\ x_1{x}_2=2m-5\end{array}\right..$

Theo bài, x₁(1 – x₂) + x₂(1 – x₁) < 4

x₁ – x₁x₂ + x₂ – x₁x₂ < 4

(x₁ + x₂) – 2x₁x₂ < 4

2(m – 2) – 2.(2m – 5) < 4

2m – 4 – 4m + 10 < 4

–2m < –2

m > 1.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 6. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình x² + 2(m – 1)x – m = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ sao cho biểu thức $A=x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2$ có giá trị nhỏ nhất?

A. $m=\frac{39}{16}.$

B. m = 1.

C. $m=\frac{5}{8}.$

D. Không có giá trị m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình x² + 2(m – 1)x – m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x, có:

∆' = (m – 1)² – 1.(–m) = m² – 2m + 1 + m

    = m² – m + 1 = ${\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$ với mọi m.

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2\left(m-1\right)\\ x_1{x}_2=-m\end{array}\right..$

Khi đó,

$A=x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2={\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2$

= [–2(m – 1)]² – 3.(–m)

= 4m² – 8m + 4 + 3m

= 4m² – 5m + 4

$={\left(2m\right)}^2-2\cdot 2m\cdot \frac{5}{4}+{\left(\frac{5}{4}\right)}^2+\frac{39}{16}$

$={\left(2m-\frac{5}{4}\right)}^2+\frac{39}{16}$

Với mọi m ta luôn có ${\left(2m-\frac{5}{4}\right)}^2\ge 0,$ suy ra ${\left(2m-\frac{5}{4}\right)}^2+\frac{39}{16}\ge \frac{39}{16}.$

Do đó $A\ge \frac{39}{16}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left(2m-\frac{5}{4}\right)}^2=0,$ hay $2m-\frac{5}{4}=0,$ nên $m=\frac{5}{8}.$

Vậy $m=\frac{5}{8}$ thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{39}{16}.$

Bài 7. Cho phương trình x² – 2(m + 1)x + 4m = 0 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ sao cho x₁ = –3x₂?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình x² – 2(m + 1)x + 4m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆' = [–(m + 1)]² – 1.4m = m² + 2m + 1 – 4m

   = m² – 2m + 1 = (m – 1)² ≥ 0 với mọi m.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thì ∆' > 0, tức là (m – 1)² > 0, nên (m – 1)² ≠ 0, suy ra m ≠ 1.

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x=\frac{m+1+m-1}{1}=2m;x=\frac{m+1-\left(m-1\right)}{1}=2.$

Trường hợp 1. Xét x₁ = 2m và x₂ = 2, thay vào x₁ = –3x₂, ta được:

2m = –3.2, suy ra m = –3 (thỏa mãn).

Trường hợp 2. Xét x₁ = 2 và x₂ = 2m thay vào x₁ = –3x₂, ta được:

2 = –3.2m. suy ra $m=-\frac{1}{3}$ (thỏa mãn).

Do đó $m\in \left\{-3;-\frac{1}{3}\right\}.$

Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 8. Cho phương trình x² – (2m – 1)x + m² – 1 = 0 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ sao cho (x₁ – x₂)² = x₁ – 3x₂?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x² – (2m – 1)x + m² – 1 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆ = [–(2m – 1)]² – 4.1.(m² – 1) = 4m² – 4m + 1 – 4m² + 4 = 5 – 4m.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thì ∆ > 0, tức là 5 – 4m > 0, hay $m<\frac{5}{4}.$

Theo định lí Viète ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m-1\left(1\right)\\ x_1{x}_2=m^2-1\left(2\right)\end{array}\right..$

Ta có (x₁ – x₂)² = (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂

= (2m – 1)² – 4.(m² – 1)

= 4m² – 4m + 1 – 4m² + 4

= 5 – 4m.

Theo bài, (x₁ – x₂)² = x₁ – 3x₂ nên x₁ – 3x₂ = 5 – 4m, suy ra x₁ = 3x₂ + 5 – 4m.

Thay vào (1), ta được:

3x₂ + 5 – 4m + x₂ = 2m – 1 hay 4x₂ = 6m – 6 nên $x_2=\frac{3m-3}{2}.$

Từ đó ta có:

$x_1=3\cdot \frac{3m-3}{2}+5-4m=\frac{9m-9}{2}+\frac{10-8m}{2}$$=\frac{m+1}{2}.$

Thay $x_1=\frac{m+1}{2}$ và $x_2=\frac{3m-3}{2}$ vào (2) ta được:

$\frac{m+1}{2}\cdot \frac{3m-3}{2}=m^2-1$

3m² – 3m + 3m – 3 = 4m² – 4

m² = 1

m = 1 hoặc m = –1 (thỏa mãn điều kiện).

Mà m là số nguyên dương, nên ta chọn m = 1.

Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 9. Cho phương trình x² – 2x + m – 3 = 0 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ sao cho $x_1^2+x_1{x}_2=2x_2-12?$

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x² – 2x + m – 3 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆' = (–1)² – 1.(m – 3) = 1 – m + 3 = 4 – m.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thì ∆' > 0, tức là 4 – m > 0, hay m < 4.

Theo định lí Viète ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(1\right)\\ x_1{x}_2=m-3\left(2\right)\end{array}\right..$

Do x₁ là nghiệm của phương trình nên ta có:

$x_1^2-2x_1+m-3=0,$ suy ra $x_1^2=2x_1-m+3.$

Thay $x_1^2=2x_1-m+3$ vào biểu thức $x_1^2+x_1{x}_2=2x_2-12,$ ta được:

2x₁ – m + 3 + x₁x₂ = 2x₂ – 12

2(x₁ – x₂) = –x₁x₂ + m – 15

2(x₁ – x₂) = –(m – 3) + m – 15

2(x₁ – x₂) = –12

x₁ – x₂ = –6

x₁ = x₂ – 6.

Thay x₁ = x₂ – 6 vào (1), ta được:

x₂ – 6 + x₂ = 2, hay 2x₂ = 8, nên x₂ = 4.

Suy ra x₁ = x₂ – 6 = 4 – 6 = –2.

Thay x₁ = –2 và x₂ = 4 vào (2), ta được:

–2.4 = m – 3, hay m – 3 = –8 nên m = –5 (thõa mãn).

Vậy có 1 giá trị của m là m = –5 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 10. Cho phương trình x² – 2mx + m – 1 = 0 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=2?$

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x² – 2mx + m – 1 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

${\Delta }^{\text{'}}={\left(-m\right)}^2-1\cdot \left(m-1\right)$$=m^2-m+1={\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$ với mọi m.

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Theo định lí Viète ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m\\ x_1{x}_2=m-1\end{array}\right..$

⦁ Để tồn tại $\sqrt{x_1},\sqrt{x_2}$ thì ta cần có $x_1\ge 0,x_2\ge 0$ hay $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2\ge 0\\ x_1{x}_2\ge 0\end{array}\right.$

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}2m\ge 0\\ m-1\ge 0\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}m\ge 0\\ m\ge 1\end{array}\right.$ nên m ≥ 1.

⦁ Với m ≥ 1, ta có:

$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=2$ nên ${\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)}^2=4$ hay $x_1+x_2+2\sqrt{x_1{x}_2}=4$

Suy ra:

$2m+2\sqrt{m-1}=4$

$2\sqrt{m-1}=4-2m$

$\sqrt{m-1}=2-m\left(*\right)$

Để giải được phương trình trên, ta bình phương hai vế, tuy nhiên cần điều kiện hai vế không âm, tức là 2 – m ≥ 0 hay m ≤ 2.

Kết hợp 2 điều kiện, ta được: 1 ≤ m ≤ 2.

Với 1 ≤ m ≤ 2, bình phương hai vế phương trình (*) ta được:

m – 1 = (2 – m)²

m – 1 = 4 – 4m + m²

m² – 5m + 5 = 0 (**)

Phương trình (**) có ∆_m = (–5)² – 4.1.5 = 25 – 20 = 5 > 0.

Do đó phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt là:

$m=\frac{5+\sqrt{5}}{2};m=\frac{5-\sqrt{5}}{2}.$

Kết hợp điều kiện 1 ≤ m ≤ 2, ta có $m=\frac{5-\sqrt{5}}{2}.$

Vậy có 1 giá trị của m là $m=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Ứng dụng của định lí Viète trong bài toán tìm tham số thỏa mãn sự tương giao của hai đồ thị chứa tham số
• Giải bài toán bằng cách lập phương trình
• Xác định hành động là phép thử ngẫu nhiên
• Xác định không gian mẫu của phép thử ngẫu nhiên
• Xác định các kết quả thuận lợi cho biến cố

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---