Lập phương trình bậc hai khi biết các nghiệm của nó và tìm hai số khi biết tổng, tích của hai số đó lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Lập phương trình bậc hai khi biết các nghiệm của nó và tìm hai số khi biết tổng, tích của hai số đó lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Lập phương trình bậc hai khi biết các nghiệm của nó và tìm hai số khi biết tổng, tích của hai số đó.

Lập phương trình bậc hai khi biết các nghiệm của nó và tìm hai số khi biết tổng, tích của hai số đó lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

– Để lập phương trình bậc hai khi biết các nghiệm của nó, ta làm như sau:

Bước 1. Tính tổng hai nghiệm bằng S (bỏ qua nếu đã có).

Bước 2. Tính tích hai nghiệm bằng P (bỏ qua nếu đã có).

Bước 3. Kiểm tra điều kiện S² – 4P ≥ 0 và kết luận hai số đó là nghiệm của phương trình X² – SX + P = 0.

– Để tìm hai số khi biết tổng S, tích P của hai số đó, ta làm như sau:

Bước 1. Kiểm tra điều kiện S² – 4P ≥ 0.

Bước 2. Lập phương trình X² – SX + P = 0.

Bước 3. Giải phương trình lập được ở Bước 2 và kết luận.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho phương trình 3x² – 11x + 6 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂. Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm $y_1=x_2+\frac{1}{x_1};y_2=x_1+\frac{1}{x_2}.$

Hướng dẫn giải

Cách 1. Xét phương trình 3x² – 11x + 6 = 0 có ∆ = (–11)² – 4.3.6 = 49 > 0 và $\sqrt{\Delta }=7.$

Khi đó phương trình có hai nghiệm là $x_1=\frac{11+7}{2\cdot 3}=3;x_2=\frac{11-7}{2\cdot 3}=\frac{2}{3}.$

Suy ra $y_1=x_2+\frac{1}{x_1}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1;$$y_2=x_1+\frac{1}{x_2}=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}.$

Do đó $S=y_1+y_2=1+\frac{9}{2}=\frac{11}{2}$ và $P=y_1{y}_2=1\cdot \frac{9}{2}=\frac{9}{2}.$

Ta thấy rằng $S^2-4P={\left(\frac{11}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{9}{2}=\frac{29}{4}>0.$

Vậy phương trình cần lập có dạng: y² – Sy + P = 0 hay $y^2-\frac{11}{2}y+\frac{9}{2}=0.$

Cách 2. Xét phương trình 3x² – 11x + 6 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂, theo định lí Viète ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{11}{3}\\ x_1{x}_2=2.\end{array}\right.$

Với $y_1=x_2+\frac{1}{x_1}$ và $y_2=x_1+\frac{1}{x_2},$ ta có:

⦁ $S=y_1+y_2=x_2+\frac{1}{x_1}+x_1+\frac{1}{x_2}$$=x_1+x_2+\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}$$=\frac{11}{3}+\frac{\frac{11}{3}}{2}=\frac{11}{2};$

⦁ $P=y_1{y}_2=\left(x_2+\frac{1}{x_1}\right)\left(x_1+\frac{1}{x_2}\right)$$=x_1{x}_2+1+1+\frac{1}{x_1{x}_2}$$=2+1+1+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}.$

Ta thấy rằng $S^2-4P={\left(\frac{11}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{9}{2}=\frac{29}{4}>0.$

Vậy phương trình cần lập có dạng: y² – Sy + P = 0 hay $y^2-\frac{11}{2}y+\frac{9}{2}=0.$

Ví dụ 2. Tìm hai số u và v, biết:

a) u + v = 11 và uv = 30.

b) u + v = 8 và uv = 20.

c) u² + v² = 13 và uv = 6.

Hướng dẫn giải

a) Ta có (u + v)² – 4.uv = 11² – 4.30 = 1 > 0 nên u và v là hai nghiệm của phương trình:

x² – 11x + 30 = 0.

Phương trình trên có ∆ = (–11)² – 4.1.30 = 1 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $x_1=\frac{11-1}{2\cdot 1}=5;x_2=\frac{11+1}{2\cdot 1}=6.$

Vậy hai số cần tìm là u = 5; v = 6 hoặc u = 6; v = 5.

b) Ta có (u + v)² – 4.uv = 8² – 4.20 = –16 < 0 nên không tồn tại hai số u và v thỏa mãn u + v = 8; uv = 20.

c) Ta có u² + v² = u² + v² + 2uv – 2uv = (u + v)² – 2uv.

Mà u² + v² = 13, uv = 6 nên:

13 = (u + v)² – 2.6

(u + v)² = 25

Suy ra u + v = 5 hoặc u + v = –5.

⦁ Trường hợp 1. Với u + v = 5.

Ta có: (u + v)² – 4.uv = 5² – 4.6 = 1 > 0 nên u và v là hai nghiệm của phương trình:

x² – 5x + 6 = 0.

Phương trình trên có ∆ = (–5)² – 4.1.6 = 1 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $x_1=\frac{11-1}{2\cdot 1}=5;x_2=\frac{11+1}{2\cdot 1}=6.$

Như vậy hai số cần tìm trong trường hợp này là u = 2; v = 3 hoặc u = 3; v = 2.

⦁ Trường hợp 2. Với u + v = –5.

Ta có: (u + v)² – 4.uv = (–5)² – 4.6 = 1 > 0 nên u và v là hai nghiệm của phương trình:

x² + 5x + 6 = 0.

Phương trình trên có ∆ = 5² – 4.1.6 = 1 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $x_1=\frac{5-1}{2\cdot 1}=2;x_2=\frac{5+1}{2\cdot 1}=3.$

Như vậy hai số cần tìm trong trường hợp này là u = –3; v = –2 hoặc u = –2; v = –3.

Vậy (u; v) ∈ {(2; 3); (3; 2); (–3; –2); (–2; –3)}.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Điều kiện tồn tại hai số thực có tổng là S, tích bằng P là

A. S² + 4P > 0.      

B. S² – 4P > 0.      

C. S² + 4P ≥ 0.      

D. S² – 4P ≥ 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện tồn tại hai số thực có tổng là S, tích bằng P là S² – 4P ≥ 0.

Bài 2. Hai số x₁, x₂ có tổng là S và tích là P (với S² – 4P ≥ 0). Khi đó, x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình

A. x² + Sx + P = 0.

B. x² + Sx – P = 0.

C. x² – Sx + P = 0.

D. x² – Sx – P = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nếu hai số x₁, x₂ có tổng là S và tích là P (với S² – 4P ≥ 0) thì x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình x² – Sx + P = 0.

Bài 3. Khi $u=2+\sqrt{3}$ và $v=2-\sqrt{3}$ thì u, v là hai nghiệm của phương trình

A. x² – 4x + 1 = 0.

B. x² – 4x – 1 = 0.

C. x² + 4x – 1 = 0.

D. x² + 4x + 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với $u=2+\sqrt{3}$ và $v=2-\sqrt{3}$ thì

$u+v=\left(2+\sqrt{3}\right)+\left(2-\sqrt{3}\right)=4$ và $uv=\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)=4-3=1.$

Ta có: (u + v)² – 4.uv = 4² – 4.1 = 12 > 0 nên u và v là hai nghiệm của phương trình:

x² – 4x + 1 = 0.

Bài 4. Cho hai số u và v thỏa mãn u + v = 7 và uv = 12. Có bao nhiêu cặp số (u; v) thỏa mãn?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: (u + v)² – 4.uv = 7² – 4.12 = 1 > 0 nên u và v là hai nghiệm của phương trình:

x² – 7x + 12 = 0.

Phương trình trên có ∆ = (–7)² – 4.1.12 = 1 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $x_1=\frac{7-1}{2\cdot 1}=3;x_2=\frac{7+1}{2\cdot 1}=4.$

Như vậy hai số cần tìm trong trường hợp này là u = 3; v = 4 hoặc u = 4; v = 3.

Vậy có 2 cặp số (u; v) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 5. Cho hai số u và v thỏa mãn u + v = 3 và uv = 5. Có bao nhiêu cặp số (u; v) thỏa mãn?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: (u + v)² – 4.uv = 3² – 4.5 = –11 < 0 nên không tồn tại hai số u và v thỏa mãn u + v = 3 và uv = 5.

Vậy không có cặp số (u; v) nào thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 6. Cho hai số x, y thỏa mãn x + y = –5 và xy = 6 với x < y. Khi đó giá trị của biểu thức A = x² – 2y + y² bằng

A. 19.

B. 17.

C. 7.

D. –19.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: (x + y)² – 4.xy = (–5)² – 4.6 = 1 > 0 nên x và y là hai nghiệm của phương trình:

X² + 5X + 6 = 0.

Phương trình trên có ∆ = 5² – 4.1.6 = 1 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $x_1=\frac{-5-1}{2\cdot 1}=-3;x_2=\frac{-5+1}{2\cdot 1}=-2.$

Như vậy hai số cần tìm trong trường hợp này là x = –3; y = –2 hoặc x = –2; y = –3.

Mà x < y nên ta chọn x = –3; y = –2.

Khi đó, A = x² – 2y + y² = (–3)² – 2.(–2) + (–2)² = 17.

Bài 7. Cho hai số u và v thỏa mãn u + v = 9 và u² + v² = 41 với u < v. Giá trị u² – v² là

A. –9.

B. 9.

C. –1.

D. 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: (u + v)² = u² + 2uv + v².

Suy ra 9² = 41 + 2uv

Do đó 2uv = 40 nên uv = 20.

Ta có: (u + v)² – 4.uv = 9² – 4.20 = 1 > 0 nên u và v là hai nghiệm của phương trình:

x² – 9x + 20 = 0.

Phương trình trên có ∆ = (–9)² – 4.1.20 = 1 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $x_1=\frac{9-1}{2\cdot 1}=4;x_2=\frac{9+1}{2\cdot 1}=5.$

Như vậy hai số cần tìm trong trường hợp này là u = 4; v = 5 hoặc u = 5; v = 4.

Mà u < v nên u = 4 và v = 5.

Khi đó, u² – v² = 4² – 5² = –9.

Bài 8. Cho phương trình x² + mx – 2 = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm x₁, x₂. Phương trình bậc hai có hai nghiệm là nghịch đảo nghiệm của phương trình đã cho là

A. 2X² – mX + 1 = 0.

B. 2X² + mX + 1 = 0.

C. 2X² – mX – 1 = 0.

D. 2X² + mX – 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình x² + mx – 2 = 0 có ∆ = m² – 4.1.(–2) = m² + 8 > 0 với mọi m.

Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Theo định lí Viète, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-m\\ x_1{x}_2=-2\end{array}\right..$

Ta có: $S=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=\frac{-m}{-2}=\frac{m}{2}.$

Và $P=\frac{1}{x_1}\cdot \frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_1{x}_2}=\frac{1}{-2}=\frac{-1}{2}.$

Khi đó, $S^2-4P={\left(\frac{m}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{-1}{2}=\frac{m^2}{4}+2>0$ với mọi m.

Do đó, với mọi m thì ta có $\frac{1}{x_1}$ và $\frac{1}{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $X^2-\frac{m}{2}X+\frac{-1}{2}=0$ hay 2X² – mX – 1 = 0.

Bài 9. Cho phương trình x² + 5x – 3m = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm x₁, x₂. Phương trình bậc hai có hai nghiệm là $\frac{2}{x_1^2}$ và $\frac{2}{x_2^2}$ là

A. 9m²X² + 2(6m + 25)X + 4 = 0.

B. 9m²X² – 2(6m + 25)X + 4 = 0.

C. 9m²X² + 2(6m + 25)X – 4 = 0.

D. 9m²X² – 2(6m + 25)X – 4 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình x² + 5x – 3m = 0 có ∆ = 5² – 4.1.(–3m) = 25 + 12m.

Để phương trình đã cho có nghiệm thì ∆ ≥ 0, tức là 25 + 12m ≥ 0 hay $m\ge -\frac{25}{12}.$

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm x₁, x₂, theo định lí Viète, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-5\\ x_1{x}_2=-3m\end{array}\right..$

Ta có: $S=\frac{2}{x_1^2}+\frac{2}{x_2^2}=\frac{2\left(x_1^2+x_2^2\right)}{x_1^2\cdot x_2^2}=\frac{2\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2\right]}{{\left(x_1{x}_2\right)}^2}$

                                    $=\frac{2\cdot \left[{\left(-5\right)}^2-2\cdot \left(-3m\right)\right]}{{\left(-3m\right)}^2}=\frac{50+12m}{9m^2}$ (với m ≠ 0).

Và $P=\frac{2}{x_1^2}\cdot \frac{2}{x_2^2}=\frac{4}{{\left(x_1{x}_2\right)}^2}=\frac{4}{{\left(-3m\right)}^2}=\frac{4}{9m^2}$ (với m ≠ 0).

Khi đó, $S^2-4P={\left(\frac{50+12m}{9m^2}\right)}^2-4\cdot \frac{4}{9m^2}$

                           $=\frac{{\left(50+12m\right)}^2-144m^2}{81m^2}$

                            $=\frac{{\left(12m+44\right)}^2+564}{81m^2}>0$ với mọi m ≠ 0 và $m\ge -\frac{25}{12}.$

Do đó, với điều kiện m ≠ 0 và $m\ge -\frac{25}{12}$ thì ta có $\frac{2}{x_1^2}$ và $\frac{2}{x_2^2}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $X^2-\frac{50+12m}{9m^2}X+\frac{4}{9m^2}=0$ hay 9m²X² – 2(6m + 25)X + 4 = 0.

Bài 10. Cho phương trình 3x² + 5x – m = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm x₁, x₂. Phương trình bậc hai có hai nghiệm là $\frac{x_1}{x_2+1}$ và $\frac{x_2}{x_1+1}$ là

A. (3m + 6)X² + (6m + 10)X + 3m = 0.

B. (3m + 6)X² – (6m + 10)X + 3m = 0.

C. (3m + 6)X² + (6m + 10)X – 3m = 0.

D. (3m + 6)X² – (6m + 10)X – 3m = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình 3x² + 5x – m = 0 có ∆ = 5² – 4.3.(–m) = 25 + 12m.

Để phương trình đã cho có nghiệm thì ∆ ≥ 0, tức là 25 + 12m ≥ 0 hay $m\ge -\frac{25}{12}.$

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm x₁, x₂, theo định lí Viète, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-5}{3}\\ x_1{x}_2=\frac{-m}{3}\end{array}\right..$

Ta có: $S=\frac{x_1}{x_2+1}+\frac{x_2}{x_1+1}=\frac{x_1\left(x_1+1\right)+x_2\left(x_2+1\right)}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}$

              $=\frac{x_1^2+x_2^2+x_1+x_2}{x_1{x}_2+x_1+x_2+1}$$=\frac{{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2+x_1+x_2}{x_1{x}_2+x_1+x_2+1}$(với m ≠ –2).

Và $P=\frac{x_1}{x_2+1}\cdot \frac{x_2}{x_1+1}=\frac{x_1{x}_2}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}$

        $=\frac{x_1{x}_2}{x_1{x}_2+x_1+x_2+1}$

        $=\frac{\frac{-m}{3}}{\frac{-m}{3}+\frac{-5}{3}+1}=\frac{\frac{-m}{3}}{\frac{-m}{3}-\frac{2}{3}}=\frac{m}{m+2}$ (với m ≠ –2).

Khi đó, $S^2-4P={\left(-\frac{6m+10}{3m+6}\right)}^2-4\cdot \frac{m}{m+2}$

                        $=\frac{{\left(6m+10\right)}^2-4m\cdot 9\left(m+2\right)}{9{\left(m+2\right)}^2}$

                        $=\frac{48m+100}{9{\left(m+2\right)}^2}\ge 0$ với mọi m ≠ –2 và $m\ge -\frac{25}{12}.$

Do đó, với điều kiện m ≠ –2 và $m\ge -\frac{25}{12}$ thì ta có $\frac{x_1}{x_2+1}$ và $\frac{x_2}{x_1+1}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $X^2-\left(-\frac{6m+10}{3m+6}\right)X+\frac{m}{m+2}=0$ hay (3m + 6)X² + (6m + 10)X + 3m = 0.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Ứng dụng định lí Viète trong phân tích đa thức ax² + bx + c thành nhân tử
• Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện về dấu của các nghiệm
• Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước khác
• Ứng dụng của định lí Viète trong bài toán tìm tham số thỏa mãn sự tương giao của hai đồ thị chứa tham số
• Giải bài toán bằng cách lập phương trình

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---