Ứng dụng định lí Viète trong phân tích đa thức ax² + bx + c thành nhân tử lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Ứng dụng định lí Viète trong phân tích đa thức ax² + bx + c thành nhân tử lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Ứng dụng định lí Viète trong phân tích đa thức ax² + bx + c thành nhân tử.

Ứng dụng định lí Viète trong phân tích đa thức ax² + bx + c thành nhân tử lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

– Trước hết, ta cần chứng minh rằng nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁ và x₂ thì:

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂).

Thật vậy, khi phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁ và x₂ thì theo định lí Viète, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}\end{array}\right..$

Khi đó:

VP = a(x – x₁)(x – x₂)

= (ax – ax₁)(x – x₂)

= ax² – axx₂ – axx₁ + ax₁x₂

= ax² – ax(x₁ + x₂) + ax₁x₂

$=a{x}^2-ax\cdot \frac{-b}{a}+a\cdot \frac{c}{a}$$=a{x}^2+bx+c=VT.$

– Như vậy, để phân tích đa thức ax² + bx + c thành nhân tử, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Tìm nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).

Bước 2. Nếu phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thì ta có:

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂).

Bước 3. Viết gọn đa thức đã được phân tích thành nhân tử (nếu có thể).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² – 3x + 2.

b) –x² + 5x – 6.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình x² – 3x + 2 = 0 có hai nghiệm là x₁ = 1; x₂ = 2.

Do đó, x² – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2).

b) Phương trình –x² + 5x – 6 = 0 có hai nghiệm là x₁ = 2; x₂ = 3.

Do đó, –x² + 5x – 6 = –(x – 2)(x – 3) = (2 – x)(x – 3).

Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 2x² + 5x + 3.

b) –2x² + 7x – 3.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình 2x² + 5x + 3 = 0 có hai nghiệm là x₁ = –1; x₂ = $-\frac{3}{2}.$

Do đó, $2x^2+5x+3=2\left(x+1\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)$$=\left(x+1\right)\left(2x+3\right).$

b) Phương trình –2x² + 7x – 3 = 0 có hai nghiệm là x₁ = 3; x₂ = $\frac{1}{2}.$

Do đó, $–2x^2+7x–3=-2\left(x-3\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)$$=\left(x-3\right)\left(1-2x\right).$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Nếu x₁, x₂ là nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có thể viết đa thức ax² + bx + c thành

A. a(x – x₁)(x + x₂).

B. a(x + x₁)(x – x₂).

C. a(x + x₁)(x + x₂).

D. a(x – x₁)(x – x₂).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Nếu x₁, x₂ là nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có thể viết:

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂).

Bài 2. Biết phương trình x² – 7x + 10 = 0 có hai nghiệm là 2 và 5. Khi đó, ta có thể phân tích đa thức x² – 7x + 10 thành nhân tử là

A. (x – 2)(x + 5).

B. (x – 2)(x – 5).

C. (x + 2)(x + 5).

D. (x + 2)(x – 5).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Do phương trình x² – 7x + 10 = 0 có hai nghiệm là 2 và 5 nên ta có:

x² – 7x + 10 = (x – 2)(x – 5).

Bài 3. Cho phương trình 2x² – 5x + 2 = 0 có hai nghiệm. Phân tích đa thức 2x² – 5x + 2 thành nhân tử ta được

A. $\left(x-2\right)\left(x-\frac{1}{2}\right).$

B. $\left(x+2\right)\left(x+\frac{1}{2}\right).$

C. (x – 2)(2x – 1).

D. (x + 2)(2x + 1).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình 2x² – 5x + 2 = 0 có a = 2, b = –5, c = 2.

Ta có $-\frac{b}{a}=\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}$ và $\frac{c}{a}=1=2\cdot \frac{1}{2}.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm là x₁ = 2; x₂ = $\frac{1}{2}.$

Khi đó, ta có:

$2x^2–5x+2=2\left(x-2\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)$$=\left(x-2\right)\left(2x-1\right).$

Bài 4. Cho phương trình x² – 4x – 12 = 0 có hai nghiệm. Phân tích đa thức –x² + 4x + 12 thành nhân tử ta được

A. (x – 2)(x + 6).

B. (x + 2)(x – 6).

C. (2 – x)(x + 6)

D. (x + 2)(6 – x).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình x² – 4x – 12 = 0 viết thành –x² + 4x + 12 = 0, phương trình này có a = –1, b = 4, c = 12.

Ta có $-\frac{b}{a}=4=-2+6$ và $\frac{c}{a}=-12=\left(-2\right)\cdot 6.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm là x₁ = –2; x₂ = 6.

Khi đó, ta có:

–x² + 4x + 12 = –(x + 2)(x – 6) = (x + 2)(6 – x).

Bài 5. Cho phương trình $\sqrt{2}{x}^2-\left(2\sqrt{2}+1\right)x+2=0$ có hai nghiệm. Phân tích đa thức $\sqrt{2}{x}^2-\left(2\sqrt{2}+1\right)x+2$ thành nhân tử ta được

A. $\left(x-2\right)\left(x-\sqrt{2}\right).$

B. $\left(x-2\right)\left(\sqrt{2}x-1\right).$

C. $\left(x-2\right)\left(\sqrt{2}x+1\right).$

D. $\left(x+2\right)\left(x-\sqrt{2}\right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình $\sqrt{2}{x}^2-\left(2\sqrt{2}+1\right)x+2=0$ có $a=\sqrt{2},b=-\left(2\sqrt{2}+1\right),c=2.$

Ta có $-\frac{b}{a}=\frac{2\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}=2+\frac{1}{\sqrt{2}}$ và $\frac{c}{a}=\sqrt{2}=2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm là x₁ = 2; x₂ = $\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Khi đó, ta có:

$\sqrt{2}{x}^2-\left(2\sqrt{2}+1\right)x+2$$=\sqrt{2}\left(x-2\right)\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$=\left(x-2\right)\left(\sqrt{2}x-1\right).$

Bài 6. Cho phương trình x² – (m + 1)x + 3m = 0 có hai nghiệm, trong đó có một nghiệm là x = 2. Khi đó đa thức x² – (m + 1)x + 3m trở thành

A. (x + 3)(x – 2).

B. (x + 3)(2 – x).

C. (x – 3)(x – 2).

D. (x – 3)(2 – x).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình x² – (m + 1)x + 3m = 0 có một nghiệm là x = 2 nên ta có:

2² – (m + 1).2 + 3m = 0 hay 4 – 2m – 2 + 3m = 0, suy ra m = –2.

Thay m = –2 vào phương trình đã cho, ta được:

x² + x – 6 = 0.

Ta có $-\frac{b}{a}=-1=-3+2$ và $\frac{c}{a}=-6=\left(-3\right)\cdot 2.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm là x₁ = –3; x₂ = 2.

Khi đó, ta có:

x² + x – 6 = (x + 3)(x – 2).

Bài 7. Cho phương trình (m – 2)x² – (2m + 5)x + m + 7 = 0 (m ≠ 2) luôn có hai nghiệm. Đa thức (m – 2)x² – (2m + 5)x + m + 7 có thể phân tích nhân tử thành

A. (m – 2)(x – 1)(x – m – 7).

B. (x – 1)(x – m – 7).

C. (x – 1)[(m – 2)x – m + 7].

D. (x – 1)[(m – 2)x – m – 7].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình (m – 2)x² – (2m + 5)x + m + 7 = 0 có a = m – 2, b = –(2m + 5), c = m + 7.

Ta có: a + b + c = m – 2 + [–(2m + 5)] + m + 7 = 0.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x₁ = 1; x₂ = $\frac{m+7}{m-2}$ (với m ≠ 2).

Khi đó, ta có:

(m – 2)x² – (2m + 5)x + m + 7

= (m – 2)(x – 1)(x – $\frac{m+7}{m-2}$)

= (x – 1)[(m – 2)x – m – 7].

Bài 8. Đa thức (m + 4)x² – (2m + 1)x + m – 3 có thể phân tích nhân tử thành

A. 7(x + 1) khi m = –4.

B. (x + 1)[(m + 4)x + m – 3) khi m ≠ –4.

C. (x – 1)[(m + 4)x + m – 3) khi m ≠ –4.

D. (x + 1)[(m + 4)x – m + 3) khi m ≠ –4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với m = –4, đa thức đã cho trở thành 7x – 7, ta có thể phân tích thành đa thức sau: 7(x – 1). 

Với m ≠ –4, xét phương trình (m + 4)x² – (2m + 1)x + m – 3 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn x có a = m + 4, b = – (2m + 1), c = m – 3.

Ta có: a – b + c = m + 4 + [–(2m + 1)] + m – 3 = 0.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x₁ = –1; x₂ = $\frac{3-m}{m+4}$ (với m ≠ –4).

Khi đó, ta có:

(m + 4)x² – (2m + 1)x + m – 3

= (m + 4)(x + 1)(x – $\frac{3-m}{m+4}$)

= (x + 1)[(m + 4)x + m – 3).

Bài 9. Đa thức x² – 2mx + m² – 1 có thể phân tích nhân tử thành

A. (x + m + 1)(x – m – 1).

B. (x – m + 1)(x – m – 1).

C. (x – m + 1)(x + m – 1).

D. (x + m + 1)(x + m – 1).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x² – 2mx + m² – 1 = 0 có:

∆' = (–m)² – 1.(m² – 1) = m² – m² + 1 = 1 > 0.

Do đó phương trình x² – 2mx + m² – 1 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m, nên theo định lí Viète, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m\\ x_1{x}_2=m^2-1\end{array}\right..$

Ta thấy rằng có hai số m – 1 và m + 1 thỏa mãn m – 1 + m + 1 = 2m và (m – 1).(m + 1) = m² – 1.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x₁ = m – 1, x₂ = m + 1.

Khi đó, ta có:

x² – 2mx + m² – 1

= [x – (m – 1)].[x – (m + 1)]

= (x – m + 1)(x – m – 1).

Bài 10. Đa thức –x² + 3mx – 2m² – 3m + 9 phân tích thành nhân tử ta được

A. (x – 2m + 3)(x – m – 3).

B. (x – 2m + 3)(m + 3 – x).

C. (2m – 3 – x)(x – m + 3)

D. (x – 2m – 3)(m + 3 – x).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình –x² + 3mx – 2m² – 3m + 9 = 0 có:

∆ = (3m)² – 4.(–1).(– 2m² – 3m + 9 ) = 9m² – 8m² – 12m + 36

   = m² – 12m + 36 = (m – 6)² ≥ 0 với mọi m.

Do đó phương trình –x² + 3mx – 2m² – 3m + 9 = 0 luôn có hai nghiệm x₁, x₂ với mọi m, nên theo định lí Viète, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=3m\\ x_1{x}_2=2m^2+3m-9\end{array}\right.$$=\left(2m-3\right)\left(m+3\right).$

Ta thấy rằng có hai số 2m – 3 và m + 3 thỏa mãn 2m – 3 + m + 3 = 3m và (2m – 3).(m + 3) = 2m² + 3m – 9.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x₁ = 2m – 3, x₂ = m + 3.

Khi đó, ta có:

–x² + 3mx – 2m² – 3m + 9

= –[x – (2m – 3)].[x – (m + 3)]

= –(x – 2m + 3)(x – m – 3)

= (2m – 3 – x)(x – m – 3)

= (x – 2m + 3)(m + 3 – x).

Vậy ta chọn phương án B.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện về dấu của các nghiệm
• Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước khác
• Ứng dụng của định lí Viète trong bài toán tìm tham số thỏa mãn sự tương giao của hai đồ thị chứa tham số
• Giải bài toán bằng cách lập phương trình
• Xác định hành động là phép thử ngẫu nhiên

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---