Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai dựa vào định lí Viète lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai dựa vào định lí Viète lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai dựa vào định lí Viète.

Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai dựa vào định lí Viète lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Ta áp dụng định lí Viète để tính nhẩm nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) như sau:

⦁ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm là x₁ = 1 và $x_2=\frac{c}{a}.$

 ⦁ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm là x₁ = –1 và $x_2=-\frac{c}{a}.$

? Chú ý: Ta cũng có thể nhẩm nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) bằng cách sử dụng ứng dụng của định lí Viète theo các bước sau:

Bước 1. Tìm $-\frac{b}{a}$ và $\frac{c}{a}.$

Bước 2. Tìm hai số m và n sao cho $m+n=\frac{-b}{a}$ và $m\cdot n=\frac{c}{a}.$

Khi đó m và n là hai nghiệm của phương trình.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) 2x² – 5x + 3 = 0.

b) 2x² – 3x – 5 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình 2x² – 5x + 3 = 0 có a = 2, b = –5, c = 3 nên a + b + c = 2 + (–5) + 3 = 0.

Do đó phương trình có hai nghiệm là x₁ = 1; x₂ = $\frac{3}{2}.$

b) Phương trình 2x² – 3x – 5 = 0 có a = 2, b = –3, c = –5 nên a – b + c = 2 – (–3) + (–5) = 0.

Do đó phương trình có hai nghiệm là x₁ = –1; x₂ = $\frac{5}{2}.$

Ví dụ 2. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) x² – 2x – 15 = 0.

b) $x^2-\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)x+\sqrt{6}=0.$

Hướng dẫn giải

a) Phương trình x² – 2x – 15 = 0 có a = 1, b = –2, c = –15.

Ta có: $-\frac{b}{a}=2=5+\left(-3\right)$ và $\frac{c}{a}=-15=5\cdot \left(-3\right)$ nên phương trình có hai nghiệm là x₁ = 5; x₂ = –3.

b) Phương trình $x^2-\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)x+\sqrt{6}=0$ có a = 1, $b=-\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right),c=\sqrt{6}.$

Ta có: $-\frac{b}{a}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ và $\frac{c}{a}=\sqrt{6}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$ nên phương trình có hai nghiệm là $x_1=\sqrt{2};x_2=\sqrt{3}.$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0. Khi đó

A. Phương trình có một nghiệm x₁ = 1, nghiệm kia là $x_2=\frac{c}{a}.$

B. Phương trình có một nghiệm x₁ = 1, nghiệm kia là $x_2=-\frac{c}{a}.$

C. Phương trình có một nghiệm x₁ = –1, nghiệm kia là $x_2=\frac{c}{a}.$

D. Phương trình có một nghiệm x₁ = –1, nghiệm kia là $x_2=-\frac{c}{a}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x₁ = –1, nghiệm kia là $x_2=-\frac{c}{a}.$

Bài 2. Cho phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0. Khi đó

A. Phương trình có một nghiệm x₁ = 1, nghiệm kia là $x_2=\frac{c}{a}.$

B. Phương trình có một nghiệm x₁ = 1, nghiệm kia là $x_2=-\frac{c}{a}.$

C. Phương trình có một nghiệm x₁ = –1, nghiệm kia là $x_2=\frac{c}{a}.$

D. Phương trình có một nghiệm x₁ = –1, nghiệm kia là $x_2=-\frac{c}{a}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x₁ = 1, nghiệm kia là $x_2=\frac{c}{a}.$

Bài 3. Phương trình $\left(\sqrt{3}-2\right)x^2+2x-\sqrt{3}=0$ có nghiệm là

A. $x_1=-1;x_2=-\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+2\right).$

B. $x_1=-1;x_2=\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+2\right).$

C. $x_1=1;x_2=-\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+2\right).$

D. $x_1=1;x_2=\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+2\right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình $\left(\sqrt{3}-2\right)x^2+2x-\sqrt{3}=0$ có $a=\sqrt{3}-2,b=2,c=-\sqrt{3}.$

Ta có $a+b+c=\sqrt{3}-2+2+\left(-\sqrt{3}\right)$$=0.$

Do đó phương trình đã cho có một nghiệm là x₁ = 1, nghiệm kia là

$x_2=-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2}=-\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+2\right)}{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}$$=-\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+2\right)}{3-4}=\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+2\right).$

Bài 4. Cho phương trình x² – 5x + 6 = 0. Phương trình đã cho có hai nghiệm là

A. x₁ = 1, x₂ = 6.

B. x₁ = –1, x₂ = –6.

C. x₁ = 2, x₂ = 3.

D. x₁ = –2, x₂ = –3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình x² – 5x + 6 = 0 có a = 1, b = –5, c = 6.

Ta có: $-\frac{b}{a}=5=2+3$ và $\frac{c}{a}=6=2\cdot 3$ nên phương trình có hai nghiệm là x₁ = 2; x₂ = 3.

Bài 5. Cho phương trình 2x² – (m – 1)x + m – 3 = 0. Một nghiệm của phương trình đã cho là

A. $\frac{m+3}{2}.$

B. $-\frac{m-3}{2}.$

C. $\frac{-m-3}{2}.$

D. $\frac{m-3}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình 2x² – (m – 1)x + m – 3 = 0 có a = 2, b = – (m – 1), c = m – 3.

Ta có a + b + c = 2 – (m – 1) + m – 3 = 0.

Do đó phương trình đã cho có một nghiệm là x₁ = 1 và nghiệm kia là $x_2=\frac{m-3}{2}.$

Bài 6. Phương trình mx² + (2m + 1)x + m + 1 = 0 (m ≠ 0) có nghiệm là

A. $x_1=1;x_2=\frac{m+1}{m}.$

B. $x_1=1;x_2=-\frac{m+1}{m}.$

C. $x_1=-1;x_2=\frac{m+1}{m}.$

D. $x_1=-1;x_2=-\frac{m+1}{m}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình mx² + (2m + 1)x + m + 1 = 0 (m ≠ 0) có a = m, b = 2m + 1, c = m + 1.

Ta có: a – b + c = m – (2m + 1) + m + 1 = 0.

Do đó phương trình đã cho có một nghiệm là x₁ = –1 và nghiệm kia là $x_2=-\frac{m+1}{m}.$

Bài 7. Biết phương trình x² – (m + 4)x + 3m + 3 = 0 có hai nghiệm với mọi m. Nhẩm nhanh nghiệm của phương trình ta được:

A. x₁ = 1, x₂ = 3m + 3.

B. x₁ = –1, x₂ = –3m – 3.

C. x₁ = 3, x₂ = m + 1.

D. x₁ = –3, x₂ = –m – 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Do phương trình x² – (m + 4)x + 3m + 3 = 0 có hai nghiệm với mọi m nên theo hệ thức Viète, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m+4\\ x_1{x}_2=3m+3\end{array}\right.$

Ta thấy rằng có hai số m + 1 và 3 thỏa mãn m + 1 + 3 = m + 4 và (m + 1).3 = 3m + 3.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x₁ = 3, x₂ = m + 1.

Bài 8. Cho phương trình x² – 6x + m² – 4m = 0 có hai nghiệm, trong đó có một nghiệm x₁ = 1. Nghiệm còn lại của phương trình là

A. x₂ = 5.

B. x₂ = –5.

C. x₂ = 2.

D. x₂ = –2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình x² – 6x + m² – 4m = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ nên theo định lí Viète, ta có:

x₁ + x₂ = 6.

Mà x₁ = 1 nên x₂ = 6 – 1 = 5.

Bài 9. Cho phương trình (m – 2)x² – (2m + 5)x + m + 7 = 0 (m ≠ 2) luôn có hai nghiệm. Có bao nhiêu giá trị của nguyên m để phương trình có các nghiệm đều là số nguyên?

A. 0.

B. 1.

C. 4.

D. 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình (m – 2)x² – (2m + 5)x + m + 7 = 0 có a = m – 2, b = –(2m + 5), c = m + 7.

Ta có: a + b + c = m – 2 + [–(2m + 5)] + m + 7 = 0.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x₁ = 1; x₂ = $\frac{m+7}{m-2}$ (với m ≠ 2).

Để phương trình đã cho có các nghiệm đều là số nguyên thì $\frac{m+7}{m-2}$ phải là số nguyên.

Ta có: $\frac{m+7}{m-2}=1+\frac{9}{m-2}.$

Với m là số nguyên khác 2, để $\frac{m+7}{m-2}$ là số nguyên thì $\frac{9}{m-2},$ tức là 9 ⋮ (m – 2), hay m – 2 ∈ Ư(9) = {1; –1; 3; –3; 9; –9}.

Suy ra m ∈ {3; 1; 5; –1; 11; –7} (thỏa mãn).

Vậy có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 10. Biết rằng phương trình x² – (2m + 1)x + m² + m = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình theo m là

A. 2m² – 2m – 1.

B. 2m² + 2m – 1.

C. 2m² + 2m + 1.

D. 2m² – 2m + 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Do phương trình x² – (2m + 1)x + m² + m = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m, nên theo định lí Viète, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m+1\\ x_1{x}_2=m^2+m\end{array}\right..$

Cách 1. Ta thấy rằng có hai số m và m + 1 thỏa mãn m + m + 1 = 2m + 1 và m.(m + 1) = m² + m.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x₁ = m, x₂ = m + 1.

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình theo m là:

$x_1^2+x_2^2=m^2+{\left(m+1\right)}^2$$=2m^2+2m+1.$

Cách 2. Ta có:

$x_1^2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2$

$={\left(2m+1\right)}^2-2\cdot \left(m^2+m\right)$

$=4m^2+4m+1-2m^2-2m$$=2m^2+2m+1.$

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Lập phương trình bậc hai khi biết các nghiệm của nó và tìm hai số khi biết tổng, tích của hai số đó
• Ứng dụng định lí Viète trong phân tích đa thức ax² + bx + c thành nhân tử
• Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện về dấu của các nghiệm
• Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước khác
• Ứng dụng của định lí Viète trong bài toán tìm tham số thỏa mãn sự tương giao của hai đồ thị chứa tham số

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---