10 Bài tập Sự tương giao giữa đường thẳng và parabol nâng cao (có lời giải)

Lời giải:

Đường thẳng (d) qua I với hệ số góc a có dạng: y = ax + 1

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x² = ax + 1 ⇔ x² − ax – 1 = 0 (1)

Vì ∆ = a² + 4 > 0 với mọi a, (1) luôn có hai nghiệm phân biệt nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M (x₁; y₁), N (x₂; y₂) hay M (x₁; ax₁ + 1), N (x₂; ax₂ + 1)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = 2x + 1; y = −2x + 1

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải:

Đường thẳng (d): y = kx – 2

Xét phương trình

Ta có: ∆ = k² + 4 > 0 với mọi k; suy ra (1) có hai nghiệm phân biệt

Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Giả sử (1) có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

Suy ra A (x₁; y₁), B (x₂; y₂) thì H (x₁; 0), K (x₂; 0)

Khi đó IH² = x₁² + 4, IK² = x₂² + 4, HK² = (x₁ – x₂)²

Theo định lý Vi-ét thì x₁x₂ = −4 nên IH² + IK² = x₁² + x₂² + 8 = KH²

Vậy tam giác IHK vuông tại I

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x² = mx + 4 ⇔ x² − mx − 4 = 0. Ta có ∆ = m² + 16 > 0, với mọi m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt, suy ra đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Dấu “=” xảy ra khi m² + 8 = 2m + 7 ⇔ (m – 1)² = 0 ⇔ m = 1

Suy ra giá trị lớn nhất của Q là 1 khi m = 1

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Ta có (d): 2x – y – a² = 0 ⇔ y = 2x − a²

Xét phương trình ax² = 2x – a²  ax² – 2x + a² = 0 (1) ⇔  ∆' > 0 ⇔ a < 1

Kết hợp với điều kiện a > 0 ta có 0 < a < 1 khi đó (1) có hai nghiệm x_A; x_B (x_A; x_B là  hoành độ của A và B) thỏa mãn  (hệ thức Vi-ét) suy ra x_A; x_B dương nên A, B nằm ở bên phải trục Oy.

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Theo câu trước ta có x_A; x_B là  hai nghiệm của phương trình ax² – 2x + a² = 0

Theo định lý Vi-ét ta có:

Ta có: , với a > 0 theo bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có:

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và Parabol là:

x² = mx + 1 ⇔ x² – mx – 1 = 0 (1)

∆ = m² + 4 > 0 với mọi m nên 91) có hai nghiệm phân biệt, suy ra (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A (x₁; y₁) và B (x₂; y₂) với x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình (1).

Theo định lý Vi-ét, ta có: x₁ + x₂ = m; x₁.x₂ = −1

Vì A; B  ∈(P) ⇒ y₁ = x₁²; y₂ = x₂²

Ta có

M = (y₁ − 1)(y₂ − 1) = (x₁²− 1) (x₂²  − 1) = x₁². x₂² – (x₁² + x₂²) + 1

= x₁². x₂²  + x₁². x₂²  − (x₁ + x₂)² + 1 = 1 – 2 − m² + 1 = −m² ≤ 0

Vậy MaxM = 0 khi m = 0

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) ta có:

Ta thấy phương trình (1) có hệ số a và c trái dấu nên luôn có hai nghiệm phân biệt mọi m nên (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m

Vì f(x) = x³ + (m + 1)x² – x nên ta có:

f(x_1­) −  f(x_2­) = x₁³ – x₂³ + (m + 1)(x₁² – x₂²) − x₁ + x₂

⇒ 2(f(x_1­) −  f(x_2­)) = 2x₁³ – 2x₂³ − 3(x₁ + x₂)(x₁² – x₂²) − 2x₁ + 2x₂

= −x₁³ + x₂³ + 3x₁.x₂ (x₂ – x₁) – 2(x₁ − x₂) = −x₁³ + x₂³ + (x₁ − x₂) – 2(x₁ − x₂)

= −(x₁³ − x₂³ − 3x₁.x₂ (x₁ – x₂)) = [(x₁ − x₂)( x₁² + x₂² − 2 x₁.x₂)] = (x₁ − x₂)³

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

⇔ x² – 2hx – 1 = 0 (*). Nhận thấy a = 1; c = −1 trái dấu nhau nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt hay đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B với mọi k

Gọi A(x_A; y_A); B(x_B; y_B) thì x_A; x_B là hai nghiệm của phương trình (*) và

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Hoành độ của A và B là nghiệm của phương trình

Dễ thấy hai điểm A, B cùng nằm về một phía so với trục tung (do cùng có hoành độ dương).

Lấy điểm A’ (− 4; 4) đối xứng với A qua trục tung

Khi đó CA + CB = CA’ + CB ≥ A’B, nên CA + CB đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi A’, C, B thẳng hàng, tức là khi C là giao điểm của đường thẳng A’B với trục tung.

Phương trình đường thẳng d’ đi qua A’ và B có dạng y = ax + b

Suy ra giao điểm (d’) với trục tung có hoành độ

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải:

Vậy 2 giao điểm A (6; 9), B (−4; 4)

Gọi là điểm cần tìm.

Tam giác ABC vuông tại C khi và chỉ khi AB² = AC² + BC²

Vậy C (2; 1) là điểm thỏa mãn đề bài

Đáp án cần chọn là: A