40 Bài tập trắc nghiệm Toán lớp 9 Chương 4 Đại số nâng cao có đáp án - Toán lớp 9

Lời giải:

Đường thẳng (d) qua I với hệ số góc a có dạng: y = ax + 1

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x² = ax + 1 ⇔ x² − ax – 1 = 0 (1)

Vì ∆ = a² + 4 > 0 với mọi a, (1) luôn có hai nghiệm phân biệt nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M (x₁; y₁), N (x₂; y₂) hay M (x₁; ax₁ + 1), N (x₂; ax₂ + 1)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = 2x + 1; y = −2x + 1

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải:

Đường thẳng (d): y = kx – 2

Xét phương trình

Ta có: ∆ = k² + 4 > 0 với mọi k; suy ra (1) có hai nghiệm phân biệt

Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Giả sử (1) có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

Suy ra A (x₁; y₁), B (x₂; y₂) thì H (x₁; 0), K (x₂; 0)

Khi đó IH² = x₁² + 4, IK² = x₂² + 4, HK² = (x₁ – x₂)²

Theo định lý Vi-ét thì x₁x₂ = −4 nên IH² + IK² = x₁² + x₂² + 8 = KH²

Vậy tam giác IHK vuông tại I

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x² = mx + 4 ⇔ x² − mx − 4 = 0. Ta có ∆ = m² + 16 > 0, với mọi m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt, suy ra đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Dấu “=” xảy ra khi m² + 8 = 2m + 7 ⇔ (m – 1)² = 0 ⇔ m = 1

Suy ra giá trị lớn nhất của Q là 1 khi m = 1

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Ta có (d): 2x – y – a² = 0 ⇔ y = 2x − a²

Xét phương trình ax² = 2x – a²  ax² – 2x + a² = 0 (1) ⇔  ∆' > 0 ⇔ a < 1

Kết hợp với điều kiện a > 0 ta có 0 < a < 1 khi đó (1) có hai nghiệm x_A; x_B (x_A; x_B là  hoành độ của A và B) thỏa mãn  (hệ thức Vi-ét) suy ra x_A; x_B dương nên A, B nằm ở bên phải trục Oy.

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Theo câu trước ta có x_A; x_B là  hai nghiệm của phương trình ax² – 2x + a² = 0

Theo định lý Vi-ét ta có:

Ta có: , với a > 0 theo bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có:

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và Parabol là:

x² = mx + 1 ⇔ x² – mx – 1 = 0 (1)

∆ = m² + 4 > 0 với mọi m nên 91) có hai nghiệm phân biệt, suy ra (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A (x₁; y₁) và B (x₂; y₂) với x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình (1).

Theo định lý Vi-ét, ta có: x₁ + x₂ = m; x₁.x₂ = −1

Vì A; B  ∈(P) ⇒ y₁ = x₁²; y₂ = x₂²

Ta có

M = (y₁ − 1)(y₂ − 1) = (x₁²− 1) (x₂²  − 1) = x₁². x₂² – (x₁² + x₂²) + 1

= x₁². x₂²  + x₁². x₂²  − (x₁ + x₂)² + 1 = 1 – 2 − m² + 1 = −m² ≤ 0

Vậy MaxM = 0 khi m = 0

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) ta có:

Ta thấy phương trình (1) có hệ số a và c trái dấu nên luôn có hai nghiệm phân biệt mọi m nên (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m

Vì f(x) = x³ + (m + 1)x² – x nên ta có:

f(x_1­) −  f(x_2­) = x₁³ – x₂³ + (m + 1)(x₁² – x₂²) − x₁ + x₂

⇒ 2(f(x_1­) −  f(x_2­)) = 2x₁³ – 2x₂³ − 3(x₁ + x₂)(x₁² – x₂²) − 2x₁ + 2x₂

= −x₁³ + x₂³ + 3x₁.x₂ (x₂ – x₁) – 2(x₁ − x₂) = −x₁³ + x₂³ + (x₁ − x₂) – 2(x₁ − x₂)

= −(x₁³ − x₂³ − 3x₁.x₂ (x₁ – x₂)) = [(x₁ − x₂)( x₁² + x₂² − 2 x₁.x₂)] = (x₁ − x₂)³

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

⇔ x² – 2hx – 1 = 0 (*). Nhận thấy a = 1; c = −1 trái dấu nhau nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt hay đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B với mọi k

Gọi A(x_A; y_A); B(x_B; y_B) thì x_A; x_B là hai nghiệm của phương trình (*) và

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Hoành độ của A và B là nghiệm của phương trình

Dễ thấy hai điểm A, B cùng nằm về một phía so với trục tung (do cùng có hoành độ dương).

Lấy điểm A’ (− 4; 4) đối xứng với A qua trục tung

Khi đó CA + CB = CA’ + CB ≥ A’B, nên CA + CB đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi A’, C, B thẳng hàng, tức là khi C là giao điểm của đường thẳng A’B với trục tung.

Phương trình đường thẳng d’ đi qua A’ và B có dạng y = ax + b

Suy ra giao điểm (d’) với trục tung có hoành độ

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải:

Vậy 2 giao điểm A (6; 9), B (−4; 4)

Gọi là điểm cần tìm.

Tam giác ABC vuông tại C khi và chỉ khi AB² = AC² + BC²

Vậy C (2; 1) là điểm thỏa mãn đề bài

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Gọi vận tốc xe máy là x (km/h). Điều kiện: x > 0

Gọi vận tốc ô tô là y (km/h). Điều kiện: y > 0

Quãng đường xe máy đi được kể từ khi gặp ô tô cho đến khi đến B là: 4x (km)

Quãng đường ô tô đi được kể từ khi gặp xe máy cho đến khi đến A là:  (km)

Vậy vận tốc xe máy là 30 km/h. Vận tốc ô tô là 40 km/h

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải:

Gọi x (giờ) là thời gian máy cày 1 làm một mình xong khu đất.

Gọi y (giờ) là thời gian máy cày 2 làm một mình xong khu đất.

Điều kiện: x, y > 12

Mỗi giờ máy 1 và máy 2 làm được tương ứng là  khu đất

Do 2 máy cùng cày trong 12 giờ được 1/10 khu đất nên ta có phương trình:

Nếu máy 1 làm một mình 42 giờ và máy 2 làm một mình 22 giờ thì làm được 25% = 1/4 khu đất nên ta có phương trình

Suy ra

Vậy máy 1 làm một mình trong 300 giờ thì xong khu đất.

Máy 2 làm một mình trong 200 giờ thì xong khu đất.

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Gọi vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước lần lượt là x, y (km/h; x > y > 0)

Suy ra vận tốc xuôi dòng của ca nô là x + y(km/h); vận tốc ngược dòng là x – y (km/h)

Ca nô chạy trên sông trong 8h xuôi dòng được 81 km và ngược dòng 105 km nên ta có phương trình:

Ca nô chạy trên sông trong 4h xuôi dòng được 54km và ngược dòng 42km nên ta có phương trình:

Vậy vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước lần lượt là 24 km/h và 3 km/h

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Gọi vận tốc ô tô thứ nhất và thứ hai lần lượt là x và y (km/h; x, y > 0)

Ô tô thứ nhất mỗi giờ đi nhanh hơn ô tô thứ hai 10km nên ta có phương trình: x – y = 10 (1)

Ô tô thứ nhất đến sớm hơn ô tô thứ hai 1h nên ta có:

Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất và ô tô thứ hai lần lượt là 60 km/h và 50 km/h.

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Gọi x, y lần lượt là số sản phẩm phân xưởng A và B phải làm theo kế hoạch (sản phẩm) (x, y ∈ N*; x > 200)

Theo kế hoạch, phân xưởng A phải sản xuất nhiều hơn phân xưởng B là 200 sản phẩm nên ta có phương trình: x – y = 200               (1)

Thực tế, phân xưởng A vượt mức kế hoạch 20%, đội B vượt kế hoạch 15%, nên phân xưởng A sản xuất hơn phân xưởng B là 350 sản phẩm suy ra ta có:

x + 20%x – (y + 15%y) = 350 ⇔ 1,2x – 1,15y = 350                (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy theo kế hoạch, phân xưởng A phải sản xuất 2400 sản phẩm, phân xưởng B phải sản xuất 2200 sản phẩm

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Gọi khối lượng axit trong dung dịch A là x; khối lượng nước trong dung dịch A là y (kg; x, y > 0)

Người ta cho thêm 1kg nước vào dung dịch A thì được dung dịch B có nồng độ axit là 20% nên ta có:

Lại cho thêm 1kg axit vào dung dịch B thì được dung dịch C có nồng độ axit là % nên ta có:

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Gọi thời gian người thứ nhất làm riêng để xong nửa công việc là x; thời gian người thứ hai làm riêng để xong nửa công việc là y (giờ; x, y > 0)

Nếu làm riêng, mỗi người nửa việc thì tổng thời gian 2 người làm là 12,5 giờ nên ta có phương trình: x + y = 12,5 (1)

Thời gian người thứ nhất làm riêng để xong cả công việc là 2x, của người thứ 2 là 2y. Mà 2 người cùng làm thì trong 6 giờ xong việc nên ta có phương trình:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy nếu làm riêng thì một người làm trong 2.7,5 = 15 giờ, còn người kia làm trong 2.5 = 10 giờ

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x (phút), thời gian vòi 2 chảy mình đầy bể là y (phút), thời gian vòi 3 chảy mình đầy bể là z (phút), (x, y, z > 0)

Vậy thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là 168 (phút), thời gian vòi 2 chảy mình đầy bể là 126 (phút), thời gian vòi 3 chảy mình đầy bể là  (phút).

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Gọi số dãy ghế trong hội trường là x (x nguyên dương)

Vì lúc sau mỗi dãy ghế lúc sau phải thêm 3 ghế nên ta có phương trình:

Vậy số ghế mỗi dãy là 10 ghế

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Gọi khối lượng đồng trong hợp kim là x (0 < x < 124)

Ta có khối lượng kẽm trong hợp kim là 124 – x

Vì 89g đồng thì có thể tích là 10cm³ nên x (g) đồng có thể tích là

7g kẽm thì có thể tích là 1cm³ nên 124 – x (g) kẽm có thể tích là

Vì thể tích của hợp kim ban đầu là 15cm³ nên ta có phương trình:

Vậy khối lượng đồng và kẽm trong hợp kim lần lượt là 89g và 35g

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Giả sử tam giác vuông ABC có đường cao AH chia cạnh BC thành 2 đoạn thẳng BH và CH

Gọi độ dài cạnh BH là x (cm) (x > 0)

Khi đó độ dài cạnh CH là x + 12 (cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:

Suy ra BH = 4cm và CH = 16cm

Vậy cạnh huyền BC = 20cm

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Nửa chu vi tấm sắt là 96 : 2 = 48 (cm)

Gọi chiều dài của tấm sắt là x (cm) (x > 20)

Chiều rộng của tấm sắt sẽ là 48 – x (cm)

Diện tích của tấm sắt ban đầu là x (48 – x) (cm²)

Người ta cắt ở mỗi góc tấm sắt một hình vuông cạnh là 4cm nên diện tích phần cắt đi là: 4.4.4 = 64 (cm²)

Diện tích còn lại của tấm sắt là 448cm² nên ta có phương trình:

Vậy chiều dài và chiều rộng của tấm sắt lần lượt là 32cm và 16cm

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Gọi năng suất làm việc theo dự kiến của xí nghiệp là x(sản phẩm/ngày), (x > 4)

+) Theo dự kiến: Mỗi ngày phân xưởng sản xuất x sản phẩm, tổng sản phẩm là 200 sản phẩm và thời gian sản xuất là  ngày

+ Thực tế: 5 ngày đầu phân xưởng sản xuất x – 4 (sản phẩm/ngày), số sản phẩm sản xuất được là 5 (x – 4). Những ngày sau mỗi ngày phân xưởng sản xuất x + 10 (sản phẩm/ngày), số sản phẩm sản xuất được là 220 – 5x với thời gian sản xuất là  (ngày)

*) Vì thực tế xí nghiệp đã hoàn thành công việc sớm hơn 1 ngày so với dự định nên ta có phương trình:  

Vậy theo dự kiến mỗi ngày phân xưởng sản xuất 20 sản phẩm

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Gọi x (sản phẩm) là năng suất lúc đầu của công nhân đó (x > 0)

+) Nếu năng suất là x sản phẩm thì thời gian làm là  h

+) Nếu năng suất là x + 5 sản phẩm thì thời gian làm là  h

Vì thời gian chênh lệch nếu vẫn giữ nguyên năng suất và tăng tăng suất là 1 giờ nên ta có phương trình:

Vậy năng suất lúc đầu của người công nhân đó là 10 sản phẩm

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Gọi vận tốc dự định đi của người đó là x (km/h) (x > 0)

Thời gian dự định đi của người đó là  (h)

Thời gian người đó đi nửa quãng đường đầu là  (h)

Nửa quãng đường sau người đó đi với vận tốc là x + 2 (km/h) và thời gian người đó đi là  (h)

Vì nghỉ lại 30 phút nên thời gian đi từ lúc xuất phát đến khi tới B là

Do người đó đến B chậm hơn dự kiến 12 phút nên ta có phương trình:

Vậy vận tốc của người đi xe đạp trên đoạn đường cuối của đoạn AB là 12 km/h

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Gọi vận tốc của ô tô là x (km/h) (x > 0)

Vì hai xe cùng xuất phát nên khi hai xe gặp nhau thì thời gian đi của hai xe là bằng nhau và khi đó ô tô đi được 75 km còn xe máy đi được 45 km

Thời gian ô tô và xe máy đi cho đến khi gặp nhau là  (h)

Vận tốc của xe máy là:  (km/h)

Nếu xe máy đi trước ô tô 48 phút  thì quãng đường đi được của 2 xe bằng nhau và bằng 60km

Thời gian đi quãng đường 60km của ô tô là:  

Thời gian đi quãng đường 60km của xe máy là:  

Theo bài ra ta có phương trình:

Vậy vận tốc của ô tô là 50 km/h, vận tốc của xe máy là 30 km/h

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải:

Ta có: x⁴ – 2mx² – x + m² – m = 0 ⇔  m² – (2x² + 1)m + x⁴ – x = 0

Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn m và có:

∆_m = (2x² + 1)² – 4(x⁴ – x) = 4x² + 4x + 1 = (2x + 1)² ≥ 0

Do đó f(x) = (m − x² – x – 1)(m − x² + x)

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Ta có: x² – 4x = 2|x – 2| − m – 5 ⇔ (x² – 4x + 4) – 2|x – 2| = −m – 1

⇔ (x – 2)² – 2|x – 2| = −m – 1 (1)

Đặt t = |x −2| ≥ 0. Khi đó (1) thành: t² – 2t + 1 + m = 0    (2)

Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt dương, tức là phải có:

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Trước hết phương trình phải có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ khác 0 nên:

Thay vào (*) ta thấy m = −1 không thỏa mãn

Vậy m = 1; m = 5 là giá trị cần tìm

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Vì độ dài cạnh của tam giác vuông là số dương nên x₁; x₂ > 0

Theo định lý Vi-ét ta có  

Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

∆ = m² – 4(m² – m – 3) ≥ 0 ⇔ 3m²– 4m – 12 ≤ 0  (2)

Từ giả thiết suy ra x₁² + x₂² = 4 ⇔ (x₁ + x₂)² – 2x₁.x₂ = 4. Do đó

m² – 2(m² – m – 3) = 4 ⇔ m² – 2m – 2 = 0 ⇔ m = 1    

Thay m = 1 ± √3  vào (1) và (2) ta thấy chỉ có m = 1 + √3 thỏa mãn.

Vậy giá trị cần tìm là m = 1 + √3

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Khi m = −2, ta có phương trình x⁴ + 2x³ − x² – 2x + 1 = 0

Kiểm tra ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình

Chia hai vế của phương trình cho x²+ ta được:

Đặt . Thay vào phương trình nêu trên ta được:

t² + 2t – 1 = 0 ⇔ t = −1

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì

Vậy  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Với  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

Vậy  thỏa mãn điều kiện bài toán

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

+) Xét với mọi m ∈ R

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m

+) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là x₁; x₂

Vì phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu nên x₁x₂ ≠ 0, do đó A được xác định với mọi x₁; x₂

Do x₁; x₂ trái dấu nên , suy ra A < 0

Khi đó  mang giá trị âm và A đạt giá trị lớn nhất khi –A có giá trị nhỏ nhất.

Ta có (BĐT Cô-si), suy ra A ≤ −2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là −2

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Ta có ∆ = m² – 4(m – 1) = (m – 2)² ≥ 0, với mọi m

Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

Theo hệ thức Vi-ét, ta có x₁ + x₂ = m và x₁.x₂ = m – 1

Thay m = x₁ + x₂ vào x₁.x₂ = m – 1, ta được x₁.x₂ = x₁ + x₂ – 1

Vậy hệ thức liên hệ giữa x₁; x₂ không phụ thuộc vào m là x₁.x₂ = x₁ + x₂ – 1

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Ta có ∆' =(m – 1)² – (2m² – 3m + 1) = −m² + m = m(1 – m). Để phương trình có hai nghiệm

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Ta có ∆ = (2m + 1)² – 4(m² + 1) = 4m – 3. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt . Theo định lý Vi-ét ta có:

x₁ + x₂ = 2m + 1 và x₁.x₂ = m² + 1.

Để P ∈ Z thì ta phải có (2m + 1) là ước của 5, suy ra 2m + 1 = 5 ⇔ m = 2

Thử lại với m = 2, ta được P = 1 (thỏa mãn)

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải:

Ta có ∆' = (m + 1)² – (m² + 2) = 2m – 1

Để phương trình có hai nghiệm . Theo định lý Vi-ét ta có:

x₁ + x₂ = 2m + 2 và x₁.x₂ = m² + 2. Ta có:

P = x₁.x₂ – 2(x₁ + x₂) – 6 = m² + 2 – 2(2m + 2) – 6 = m² – 4m – 8

= (m – 2)² – 12 ≥ −12

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m = 2 thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy với m = 2 thì biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất −12

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Ta có ∆ =(3a – 1)² + 16 > 0 ⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 24

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Vì phương trình bậc hai có 2 nghiệm nên a ≠ 0. Biểu thức Q có dạng đẳng cấp bậc hai ta chia cả tử và mẫu của Q cho a² thì  

Gọi x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình, theo Vi-ét ta có

Ta đánh giá (x₁ + x₂)² qua x₁x₂ với điều kiện x₁; x₂ ∈ [0; 3]

Vậy giá trị lớn nhất của Q là 3

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Phương trình x² – (m + 1)x – 3 = 0  (1)

+ Nhận xét ∆ = (m + 1)² + 12 > 0, ∀ m ∈ R. Suy ra (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

+ Nếu B ≠ 3 thì (*) là phương trình bậc 2 ẩn m. Phương trình (*) có nghiệm m khi và chỉ khi ∆' ≥ 0

Hay (B – 5)² – (B – 3)(3B – 20) ≥ 0 ⇔ 2B² – 19B + 35 ≤ 0

⇔ (2B – 5)(B – 7) ≤ 0

Đáp án cần chọn là: A