17 Bài tập Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn nâng cao (có đáp án)

Lời giải:

Từ phương trình (1) ta có x = 2y + 5. Thay x = 2y + 5 vào phương trình (2) ta được: m(2y + 5) – y = 4 ⇔ (2m – 1).y = 4 – 5m    (3)

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với

Do đó:  (thỏa mãn điều kiện)

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Từ phương trình (2) ta có y = 3m – 1 – mx. Thay vào phương trình (1) ta được:

x + m(3m – 1 – mx) = m + 1 ⇔ (m² – 1)x = 3m² – 2m – 1        (3)

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất, tức là

Do đó m + 1 chỉ có thể là −2; −1; 1; 2. Vậy m ∈ {−3; −2; 0} hoặc m = 1 (loại)

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Ta được hai nghiệm (−1; −1) và (−1; 2)

Ta được hai nghiệm

Vậy hệ có bốn nghiệm (−1; −1); (−1; 2);

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Với x = y, thay vào (2) ta được:

x⁴ – 4x³ + 7x² − 6x + 2 = 0 ⇔ (x – 1)² (x² – 2x + 2) = 0 ⇔ x = 1

Khi đó: y = 1 (TM). Vậy nghiệm của hệ là (1; 1)

Nên x. y = 1

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải:

Đặt  điều kiện S² ≥ 4P hệ phương trình đã cho trở thành

Vậy hệ có hai nghiệm

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Đặt hệ phương trình đã cho trở thành

Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm (x; y) = (8; 64), (64; 8)

Suy ra x₁ + x₂ = 72

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Đặt hệ phương trình đã cho trở thành:

Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (3; 3)

Suy ra x + 2y = 9

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Thay x = y vào ta được

2x + 2|x| = 16 ⇔ x + |x| = 8 ⇒ x = 4 ⇒ y = x = 4

Vậy hệ có một cặp nghiệm duy nhất (x; y) = (4; 4)

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Hệ tương đương với

Đặt xy (x + y) = a; xy + x + y = b. Ta thu được hệ:

Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (1; 2), (2; 1),

Suy ra có một cặp nghiệm thỏa mãn đề bài là

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Điều kiện x, y ≥ 0. Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta thu được

Vì nên phương trình đã cho tương đương với x = y

Thay x = y vào phương trình ta được:

Vậy hệ có 3 cặp nghiệm

Suy ra có hai cặp nghiệm thỏa mãn đề bài.

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Hệ đã cho

Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ ta được:

2xy(y – x) +7 (x – y) + (x – y) (x + y) = 0

Mặt khác khi cộng hai phương trình của hệ đã cho ta được:

x² + y² – 5x – 5y + 12 = 0 ⇔ 4x² – 20x + 25 + 4y² – 20y + 25 – 2 = 0

⇔ (2x – 5)² + (2y – 5)² = 2 ⇔ (2x – 5)² + (2y – 5)² = 2

Đặt a = 2x – 5; b = 2y – 5

Trường hợp 1:  (x; y) = (3; 2), (2; 3)

Trường hợp 2:  vô nghiệm

Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y) ∈ {(2; 2); (3; 3); (2; 3); (3; 2)}

Suy ra có một cặp nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là (x; y) = (3; 2)

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Điều kiện xyz ≠ 0. Nhận thấy nếu một trong ba số x, y, z có một số âm, chẳng hạn x < 0 thì phương trình thứ 3 vô nghiệm. Nếu hai trong số ba số x, y, z là số âm chẳng hạn x, y < 0 thì phương trình thứ 2 vô nghiệm. Vậy ba số x, y, z cùng dấu

* Trường hợp 1: x, y, z > 0

Nếu x ≥ y chia hai vế của phương trình thứ hai cho hai vế của phương trình thứ ba của hệ ta được

Với x ≥ z chia hai vế phương trình chứ nhất cho phương trình thứ hai:

Với z ≤ y chia phương trình thứ nhất cho phương trình thứ ba:

Suy ra x = y = z thay vào hệ đã cho ta tìm được

* Trường hợp 2: x, y, z < 0 ta làm tương tự tìm được thêm nghiệm:

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Thử lại x = y không thỏa mãn phương trình đầu của hệ.

Vậy hệ vô nghiệm

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Cộng vế với vế của từng phương trình với nhau ta được:

(x³ + 3x² + x – 5) + (y³ + 3y² + y – 5) + (z³ + 3z² + z – 5) = 0

⇔ (x – 1)(x² + 4x + 5) + (y – 1)(y² + 4y + 5) + (z – 1)(z² + 4z + 5) = 0        (1)

Nếu x > 1 ⇒ z³ + 3z² + z – 5 > 1 ⇒ (z – 1)(z² + 4z + 5) > 0 ⇒ z > 1

Tương tự với z > 1 ⇒ y > 1

Suy ra VT (1) > 0 (phương trình vô nghiệm)

Chứng minh tương tự với x < 1 ta cũng được phương trình (1) vô nghiệm

Suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = y = z = 1

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Nhận thấy x = y = z = 0 là một nghiệm của hệ phương trình

Xét x > 0; y > 0; z > 0 áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm ta có:

Chứng minh tương tự, ta được

Suy ra giá trị nhỏ nhất của A = x + y + z = 0 (khi x = y = z = 0)

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Nếu a < −1 ta có –x – 1 + ax + 1 = 0 ⇒ (a – 1)x = 0        (2)

Nếu a = 1 thì (2) là 0x = 0 đúng với mọi x < −1 nên (2) có vô số nghiệm hay hệ đã cho có vô số nghiệm (loại)

Nếu a ≠ 1 thì (2) có nghiệm duy nhất x = 0 (loại so x < −1). Do đó (2) vô nghiệm khi a ≠ 1

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì có 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Phương trình (1) vô nghiệm và phương trình (2) có nghiệm duy nhất

Trường hợp này không xảy ra vì (2) chỉ có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm

Trường hợp 2: Phương trình (1) có nghiệm duy nhất và phương trình (2) vô nghiệm

Đáp án cần chọn là: B