17 Bài tập Góc với đường tròn nâng cao (có đáp án)

Lời giải:

Các góc  là các góc nội tiếp cùng chắn cung AC nên

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Xét ∆CAN và ∆BCM có:

+) AC = BC (vì C là điểm chính giữa của cung AB)

+)  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CM)

+) Theo giả thiết ta có AN = BM

Do đó ∆ACN và ∆BCM (c.g.c). Hai tam giác bằng nhau nên diện tích bằng nhau. Do đó S₁ = S₂

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Xét ∆CAN và ∆BCM có:

+) AC = BC (vì C là điểm chính giữa của cung AB)

+)  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CM)

+) Theo giả thiết ta có AN = BM

Do đó ∆ACN và ∆BCM (c.g.c). Do đó CN = CM

Vì vậy ∆CMN là tam giác cân tại C   (1)

+)  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CM)

Từ (1) và (2) suy ra CMN vuông cân tại C

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Do DE là đường kính của (O; R) nên  = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Do đó CD ⊥ CE. Mặt khác, theo giả thiết có CD ⊥ AB. Do đó AB // CE

Mặt khác các dây CE, AB là hai dây song song của (O) chắn hai cung AC và BE nên cung AC bằng cung BE hay cung AE bằng cung BC suy ra EA = BC

Mặt khác  = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Do đó MA²  + MB² + MC² + MD² = (MA²  + MD²) + (MB² + MC²) = AD² + BC²

= DE² = 4R² = 4

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho MA², MB² ta có:

MA²  + MB² ≥ 2MA.MB ⇒ 2(MA² + MB²) ≥ 2MA²  + 2MB² ≥ MA² + MB² + 2MA.MB = (MA + MB)²

Tương tự

2(MC² + MD²) ≥ (MC + MD)²

Bằng cách tương tự trên ta chứng minh được:

2[(MA + MB)² + (MC + MD)²] ≥ (MA + MB + MC + MD)²

Từ đó suy ra:

4(MA²  + MB² + MC² + MD²) ≥ (MA + MB + MC + MD)².

Vì vậy (MA + MB + MC + MD)² ≤ 4.4 = 4² ⇒ MA + MB + MC + MD ≤ 4

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi MA = MB = MC = MD. Khi đó M ≡ O

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Theo giả thiết ta có:

Theo tính chất góc có đỉnh nằm bên ngoài của đường tròn và áp dụng (1) ta có:

Ta cũng có  là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn (có hai cạnh đều là tiếp tuyến của đường tròn) nên

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Vẽ đường kính CE của đường tròn (O)

Ta có (góc nội tiếp chắn đường kính EC)

Từ đó ta có AE ⊥ AC. Mặt khác theo giả thiết AC ⊥ BD

Kéo theo AE // BD. Vậy AEDB là hình thang

Do hình thang AEDB nội tiếp (O) nên nó phải là hình thang cân

Kéo theo AB = DE (các cạnh bên hình thang cân)

Từ đó ta có AB² + CD² = DE² + DC² = EC² = (2a)² = 4a² (do ∆EDC vuông tại D)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho cặp số (AB² + BD²), ta có:

AB² + BD² ≥ 2AB. CD ⇒ 2(AB² + CD²) ≥ AB² + BD² + 2. AB. CD

= (AB + CD)²

Kéo theo (AB + CD)² ≤ 2.(4a²) = 8a² ⇒ AB + CD ≤ 2a√2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = CD

Xét tam giác ∆ABI, ∆DCI có AB = CD,  (góc nội tiếp cùng chắn cung AD),  (góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

Do đó ∆ABI = ∆DCI (g.c.g)

Kéo theo AI = ID, IB = IC. Suy ra AC = AI + IC = ID + IB = BD

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của AC. Do E là điểm chính giữa cung AC nên EM ⊥ AC.

Do đó EM đi qua tâm của đường tròn (O). Giả sử rằng G = DF ∩ (O).

Do , hay GE là đường kính của (O). Suy ra G, M, E thẳng hàng

Do , hay GE là đường kính của (O). Suy ra G, M, E thẳng hàng

Kéo theo tứ giác BDMG là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính GD

Vì vậy  (1) (cùng chắn cung DM)

Lại có tứ giác BFEG là tứ giác nội tiếp nên  (2) (cùng chắn cung FE)

Từ (1) và (2) ta suy ra . Do đó BF và BM đối xứng nhau qua BD

Vì vậy M ≡ N hay N là trung điểm của AC nên AN = NƯỚC

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Quan sát hình vẽ, ta cần tính phần diện tích giới hạn bởi hai đường tròn

Đường kính của giếng là 2 (m) nên bán kính của giếng là 1 (m)

Bán kính đường tròn ngoài là 1 + 0,4 = 1,4 (m). Gọi S₁, S₂ lần lượt là diện tích của hình tròn nhỏ và lớn.

Khi đó ta có:

S₁ = π. 1² = π (m²), S₂ = π.(1,4)² = 1,96π  (m²).

Diện tích của thành giếng là S₂ – S₁ = 1,96π  − π = 0,96π  (m²)

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Đặt α = . Giả sử rằng R là bán kính của hình tròn. Khi đó ta có:

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Do M, N là trung điểm của các cạnh hình chữ nhật nên MN ⊥ AB.

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Xét ∆QAB vuông ở A ta có AD ⊥ QB. Suy ra QB. DB = AB² = 4R² và

QB.QD = AG²

Cộng từng vế của (3) và (4) ta nhận được:

1QB + DB + QD > 4R + 2AQ ⇒ 3QB – 2AQ > 4R

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Do CM, DM là các tiếp tuyến nên ta có MD = BD, CM = CA

Từ đó CA + BD = CM + MD = CD

Từ C hạ đường cao CH xuống BD

Khi đó ∆HCD vuông tại H, có CD là cạnh huyền và CH là cạnh góc vuông nên CD ≥ CH. Mặt khác CH // BA và CA ⊥ CH, BH ⊥ CH nên CHBA là hình chữ nhật.

Do đó CH = BA. Vì vậy CD ≥ AB

Do đó CA + BD nhỏ nhất khi và chỉ khi CA + BD = AB ⇔ CD = AB

⇔ CD = CH ⇔ CD // AB. Khi đó ta có ABDC là hình chữ nhật và do đó AC = BD. Mặt khác O là trung điểm AB nên M là trung điểm CD. Kéo theo CA = CM = MD = BD = R

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Gọi S₁, S₂, S₃ lần lượt là diện tích của hình quạt AO₂B, AO₁B và của tứ giác AO₁BO₂.

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông AHO₂ ta nhận được:

Ta có thể kiểm tra được các tam giác ∆AHO₂, ∆BHO₂, ∆AHO₁ là các tam giác bằng nhau. Do đó diện tích của tứ giác AO₂BO₁ bằng 4 lần diện tích tam giác AHO₂.

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

Ta lại có  là hai góc kề bù nên  = 180^o   (2)

Nên tam giác MON là tam giác vuông tại O có OP ⊥ MN (OP là tiếp tuyến)

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông MON ta có:

OP² = PN. PM

Ta lại có OP = R; AM = PM; BN = N (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Do đó AM. BN = R² hay PN.PM = R²

Ta có  là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên  = 90^o      (4)

Từ (4); (5) và  = 90^o suy ra hai tam giác vuông APB và MON đồng dạng với nhau

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Giả sử rằng tia FD cắt AB tại M, cắt (O) tại N. Theo giả thiết DF // BC, và AH là trục đối xứng của BC và của đường tròn (O) nên F, D theo thứ tự là điểm đối xứng với N, M qua AH

Xét ∆NDA, ∆CDF có  (hai góc đối đỉnh)

 là hai góc nội tiếp chắn cung AF nên

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Kẻ AH ⊥ BC, OI ⊥ BC, đường kính AD

Ta chứng minh được ∆AHC ~ ∆ABD (g – g)

Do AH =  là giá trị không đổi nên S_ABC lớn nhất khi BC lớn nhất ⇔ OI nhỏ nhất ⇔ OI = ⇔ BC ⊥ OA ⇒ ∆ABC cân tại A.

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải:

Vậy giá trị nhỏ nhất của EF là 4R đạt được khi CD ⊥ AB

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Ta có: AD là đường cao của ABC đều nên nó cũng là trung tuyến ⇒ BD = DC)

Tứ giác OBHC có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi

Đáp án cần chọn là: C