Công thức áp suất chất khí theo mô hình động học phân tử lớp 12 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức áp suất chất khí theo mô hình động học phân tử lớp 12 trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức áp suất chất khí theo mô hình động học phân tử từ đó học tốt môn Vật Lí 12.

Công thức áp suất chất khí theo mô hình động học phân tử lớp 12 (hay, chi tiết)

1. Công thức áp suất chất khí theo mô hình động học phân tử

$p=\frac{1}{3}\mu m\overline{v^2}=\frac{2}{3}\mu \overline{E_d}$

Trong đó:

μ là mật độ phân tử khí ($\mu =\frac{N}{V}$);

$\overline{v_2}$ là trung bình của các bình phương tốc độ phân tử;

$\overline{E_d}=\frac{3}{2}kT$ là động năng trung bình của phân tử và nhiệt độ

$k=\frac{R}{N_A}=\frac{8,31}{6,{02.10}^{23}}=1,{38.10}^{-23}J/K$ được gọi là hằng số Boltzmann

2. Ví dụ minh họa công thức áp suất chất khí theo mô hình động học phân tử

Ví dụ 1: Bình có dung tích 2 lít chứa 10 g khí ở áp suất 680 mmHg. Tính tốc độ căn quân phương của phân tử.

Hướng dẫn:

Cách 1: $\text{pV}=\frac{1}{3}\text{Nm}\overline{{\text{v}}^2}$

N là số phân tử khí trung bình, xét N = 1

$\Rightarrow \text{pV}=\frac{1}{3}{\text{mv}}^{\text{2}}$$\Rightarrow {\text{v}}_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{3\text{pV}}{\text{m}}}$$=\sqrt{\frac{3\cdot \frac{680}{760}\cdot 1,013\cdot {10}^5\cdot 2\cdot {10}^{-3}}{10\cdot {10}^{-3}}}=233( \text{m}/\text{s})$

Cách 2: Ta có: $\text{p}=\frac{1}{3}{\text{n}}_0 {\text{m}}_0\overline{{\text{v}}^2}$$\Rightarrow \overline{{\text{v}}^2}=\frac{3\text{p}}{{\text{n}}_0 {\text{m}}_0}$ ()

Với ${\text{n}}_0=\frac{\text{N}}{\text{V}}$ và ${\text{m}}_0=\frac{\text{m}}{\text{N}}$ (n₀ là mật độ phân tử khí, m₀ là khối lượng của một phân tử khí, N là số phân tử khí trung bình)

Thay vào (1) ta được: $\overline{v^2}=\frac{3p}{\frac{N}{V}\cdot \frac{m}{N}}=\frac{3pV}{m}$$\Rightarrow v_{rms}=\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3pV}{m}}$

$\Rightarrow \overline{v}=\sqrt{\frac{3\cdot \frac{680}{760}\cdot 1,013\cdot {10}^5\cdot 2\cdot {10}^{-3}}{10\cdot {10}^{-3}}}=233 \text{m}/\text{s}$

Ví dụ 2: Tính tốc độ căn quân phương của khí có khối lượng riêng 2 kg/m ở áp suất 760 mmHg.

Hướng dẫn:

Công thức liên hệ giữa áp suất và tốc độ căn quân phương của khí:

$\text{p}=\frac{1}{3}{\text{n}}_0 {\text{m}}_0\overline{{\text{v}}^2}$$\Rightarrow \overline{{\text{v}}^2}=\frac{3\text{p}}{{\text{n}}_0 {\text{m}}_0}$

(n₀ là mật độ phân tử khí và m₀ là khối lượng của một phân tử khí)

Gọi $\varrho$ là khối lượng riêng của khí trong bình, ta có: $\text{Q}={\text{n}}_0 {\text{m}}_0$

Thay vào ta được: $\overline{v^2}=\frac{3\text{p}}{\text{e}}$ với $\text{p}=760\text{mmHg}=1,{013.10}^5 \text{N}/{\text{m}}^2$

Suy ra $v_{\text{rms}}=\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3\text{p}}{\varrho }}=\sqrt{\frac{3\cdot 1,013\cdot {10}^5}{2}}$$=390 \text{m}/\text{s}$

Ví dụ 3: Tính động năng trung bình và tốc độ căn quân phương của phân tử khí helium ở nhiệt độ 0 °C.

Hướng dẫn:

Động năng trung bình của phân tử khí: $\overline{E_{\text{d}}}=\frac{3}{2}{\text{k}}_{\text{B}}\text{T}=\frac{3}{2}\cdot 1,38\cdot {10}^{-23}\cdot 273$$=5,65\cdot {10}^{-21} \text{J}$

Tốc độ căn quân phương của khí: ${\text{v}}_{\text{mms}}=\sqrt{\frac{3\text{RT}}{\mu }}=\sqrt{\frac{3.8,31.273}{{4.10}^{-3}}}=1304 \text{m}/\text{s}$

3. Bài tập tự luyện công thức áp suất chất khí theo mô hình động học phân tử

Câu 1. Công thức nào sau đây là công thức tính áp suất chất khí theo mô hình động học phân tử chất khí?

A. $p=\frac{1}{3}Nm\overline{v^2}.$

B. $pV=\frac{1}{3}\mu m\overline{v^2}.$

C. $p=\frac{1}{3}\frac{Nm\overline{v^2}}{V}.$

D. $p=\frac{1}{3}\frac{\rho \overline{v^2}}{V}.$

Trong đó: p là áp suất chất khí, V là thể tích khí, N là số phân tử khí, m là khối lượng phân tử khí, p là khối lượng riêng của chất khí, $\overline{v^2}$ là giá trị trung bình của bình phương tốc độ phân tử khí.

Hướng dẫn:

Đáp án đúng là C

Áp suất khí lí tưởng: $p=\frac{1}{3}\frac{Nm\overline{v^2}}{V}=\frac{1}{3}\rho \overline{v^2}$

Câu 2. Động năng tịnh tiến trung bình của phân tử khí lí tưởng ở 25 °C có giá trị

A. 5,2.10^-22 J.                 

B. 6,2.10^-21 J.                 

C. 6,2.10²³ J.                  

D. 3,2.10²⁵ J.

Hướng dẫn:

Đáp án đúng là B

$\overline{W_d}=\frac{3}{2}kT=\frac{3}{2}.1,{38.10}^{-23}.\left(25+273\right)$$=6,{2.10}^{-21}J.$

Câu 3: Khi tốc độ chuyển động nhiệt trung bình của phân tử khí tăng 4 lần và thể tích khối khí giảm còn một nửa thì áp suất của khối khí tác dụng lên thành bình sẽ

A. giảm 4 lần.                

B. tăng 8 lần.                  

C. tăng 16 lần.                

D. tăng 32 lần.

Hướng dẫn:

Đáp án đúng là D

Áp dụng: $p=\frac{1}{3}\mu m\overline{v^2}$

Ta có: v tăng 4 lần, thể tích giảm $\frac{1}{2}$ thì $\mu$ tăng 2 lần. Suy ra: p tăng 32 lần.

Câu 4: Một bình chứa nitrogen ở nhiệt độ 27 °C. Cho hằng số Boltzmann là k = 1,38.10^-23 J/K. Động năng tịnh tiến trung bình của một phân tử nitrogen là

A. 6,21.10^-21 J.               

B. 2.1.10^-21 J.                 

C. 5,59.10^-22 J.               

D. 6,21.10^-20 J.

Hướng dẫn:

Đáp án đúng là A

Ta có: $W_d=\frac{3}{2}kT=\frac{3}{2}\cdot 1,38\cdot {10}^{-23}\cdot (27+273)$$=6,21\cdot {10}^{-21} \text{J}.$

Câu 5: Một khối khí helium có động năng tịnh tiến trung bình của mỗi phân tử là 0,1 eV. Nhiệt độ của khối khí khi đó là

A. 500 °C.                      

B. 500 K.                       

C. 737 K.                       

D. 773 °C.

Hướng dẫn:

Đáp án đúng là A

Ta có: $W_d=\frac{3}{2}kT$$\Rightarrow T=\frac{2W_{?}}{3k}=\frac{2\cdot 0,1\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}}{3\cdot 1,38\cdot {10}^{-23}}\approx 773 \text{K}.$

Câu 6: Một hộp hình lập phương có cạnh 10 cm chứa khí lí tưởng đơn nguyên tử ở nhiệt độ 20 °C và áp suất 1,2.10⁶ Pa. Cho số Avogadro N_A = 6,02.10²³ mol^-1. Số phân tử khí chuyển động đập vào một mặt hộp là

A. 9,89.10²².                  

B. 1,23.10²³.                  

C. 4,95.10²².                  

D. 4,34.10²⁴.

Hướng dẫn:

Đáp án đúng là C

Số phân tử khí chứa trong hộp:

$pV=nRT=\frac{N}{N_{\text{A}}}\cdot RT$$\Rightarrow N=\frac{pV{N}_{\text{A}}}{RT}$$=\frac{1,2\cdot {10}^6\cdot 0,1^3\cdot 6,02\cdot {10}^{23}}{8,31\cdot (20+273)}\approx 2,97\cdot {10}^{23}$

Số phân tử khí đập vào một mặt hộp: $\frac{N}{6}=4,95\cdot {10}^{22}$ phân tử.

Câu 7. Một bình có thể tích 0,20 m³ chứa một loại khí ở nhiệt độ 27 °C, khí trong bình có áp suất 3,0.10⁵ Pa. Xác định:

a) Số phân tử khí chứa trong bình.

b) Động năng tịnh tiến trung bình của phân tử khí trong bình.

Hướng dẫn:

a) $pV=nRT$$\Rightarrow n=\frac{pV}{RT}=\frac{{3.10}^5.0,2}{8,31.(27+273)}\approx 24mol$

Số phân tử khí: $N=n.N_A=24.6,{023.10}^{23}=1,{46.10}^{25}$

b) $E_d=\frac{3}{3}kT=\frac{3}{2}.1,{38.10}^{-23}.(27+273)$$=6,{21.10}^{-21}J$

Câu 8. Các phân tử của một chất khí có động năng tịnh tiến trung bình bằng 5,0.10^-21 J. Tính nhiệt độ của khí theo K và °C.

Hướng dẫn:

$E_d=\frac{3}{2}kT$$\Rightarrow {5.10}^{-21}=\frac{3}{2}.1,{38.10}^{-23}.T$$\Rightarrow T=241,5K$$\Rightarrow t=-31,5°C$

Câu 9. Ở nhiệt độ 20°C và áp suất 1,00 atm, không khí có khối lượng riêng là 1,29 kg/m³.

a) Tính giá trị trung bình của bình phương tốc độ phân tử khí ở điều kiện này.

b) Tìm một giá trị điển hình cho tốc độ của một phân tử khí bằng cách tính $\sqrt{\overline{v^2}}$ và so sánh tốc độ đó với tốc độ âm thanh trong không khí (khoảng 330 m/s).

Hướng dẫn:

a) $p=\frac{1}{3}\rho \overline{v^2}$$\Rightarrow \overline{v^2}=\frac{3p}{\rho }=\frac{\mathrm{3.1.1},{01.10}^5}{1,29}=2,{3.10}^5{m}^2/s^2$

b) $\sqrt{\overline{v^2}}=482 \text{m}/\text{s}$, lớn hơn tốc độ âm thanh trong không khí.

Câu 10. Một bình có thể tích 22,4.10^-3 m³ chứa 1,00 mol khí hydrogen ở điều kiện tiêu chuẩn (nhiệt độ 0,00 °C và áp suất 1,00 atm). Người ta bơm thêm 1,00 mol khí helium cũng ở điều kiện tiêu chuẩn vào bình này. Cho khối lượng riêng ở điều kiện tiêu chuẩn của khí hydrogen và khí helium lần lượt là 9,00.10^-2 kg/m³ và 18,0.10^-2 kg/m³. Xác định:

a) Khối lượng riêng của hỗn hợp khí trong bình.

b) Áp suất của hỗn hợp khí lên thành bình.

c) Giá trị trung bình của bình phương tốc độ phân tử khí trong bình.

Hướng dẫn:

a) Khối lượng khí hydrogen trong bình là $\left(\frac{9,{00.10}^{-2} \text{kg}}{1,00 {\text{m}}^3}\right)\left(22,4\cdot {10}^{-3} {\text{m}}^3\right).$

Khối lượng khí helium trong bình là $\left(\frac{18,00\cdot {10}^{-2} \text{kg}}{1,00 {\text{m}}^3}\right)\left(22,{4.10}^{-3} {\text{m}}^3\right).$

Tổng khối lượng khí hydrogen và khí helium trong bình là $\left(\frac{27,{00.10}^{-2} \text{kg}}{1,00 {\text{m}}^3}\right)\left(22,4\cdot {10}^{-3} {\text{m}}^3\right)$

Khối lượng riêng của hỗn hợp khí trong bình là $\rho =\left(\frac{27,{00.10}^{-2} \text{kg}}{1,00 {\text{m}}^3}\right)=0,27 \text{kg}/{\text{m}}^3.$

b) Áp suất khí là tổng áp suất do các phân tử tác dụng lên thành bình nên áp suất hỗn hợp khí tác dụng lên thành bình bằng tổng áp suất do khí hydrogen và do khí helium tác dụng lên thành bình.

p = 2 atm

c) Giá trị trung bình của bình phương tốc độ phân tử khí trong bình là

$\overline{v^2}=\frac{3p}{\rho }=\frac{6\cdot 1,01\cdot {10}^5 \text{N}/{\text{m}}^2}{0,27 \text{kg}/{\text{m}}^3}=2,24\cdot {10}^6 {\text{m}}^2/{\text{s}}^2$

Đáp án: a) $0,27 \text{kg}/{\text{m}}^3$; b) 2 atm; c) $2,24\cdot {10}^6 {\text{m}}^2/{\text{s}}^2.$

Câu 11. Ở nhiệt độ nào các phân tử khí helium có tốc độ trung bình của các phân tử hydrogen ở nhiệt độ 15 °C?

Hướng dẫn:

Với hydrogen: ${\overline{\text{E}}}_1=\frac{3}{2}{\text{kT}}_1=\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2$ (1).

Với helium: ${\overline{\text{E}}}_2=\frac{3}{2}{\text{kT}}_2=\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2$ (2).

Vì $v_1=v_2$ nên từ (1) và (2) suy ra:

$\frac{T_1}{T_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{M_1}{M_2}=\frac{2}{4}$$\Rightarrow \frac{15+273}{T_2}=\frac{1}{2}$$\Rightarrow T_2=576K$$\Rightarrow t_2=303°C.$

Câu 12. Tính tốc độ toàn phương trung bình (gọi tắt là tốc độ trung bình) của không khí ở nhiệt độ 17 °C nếu coi không khí ở nhiệt độ này là một khí đồng nhất có khối lượng mol là 0,029 kg/mol.

Hướng dẫn:

Dựa vào công thức: ${\overline{\text{E}}}_{\text{C}}=\frac{3}{2}\text{kT}=\frac{3}{2}\frac{\text{R}}{{\text{N}}_{\text{A}}}\text{T}$ và ${\overline{\text{E}}}_{\text{C}}=\frac{\text{m}{\overline{\text{v}}}^2}{2}$

Suy ra $\frac{3}{2}\frac{\text{R}}{{\text{N}}_{\text{A}}}\text{T}=\frac{\text{m}{\overline{\text{v}}}^2}{2}$$\Rightarrow {\overline{\text{v}}}^2=\frac{3RT}{N_{A}m}$$\Rightarrow \overline{\text{v}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}=499 \text{m}/\text{s}.$

Câu 13. Không khí gồm các phân tử oxygen có khối lượng mol 32 g/mol và phân từ nitrogen 28 g/mol. Tính động năng trung bình tịnh tiến của phân tử không khí ở 20 °C. Từ đó suy ra tốc độ trung bình của mỗi loại phân tử.

Hướng dẫn:

$\text{E}=\frac{3}{2}kT=\frac{3}{2}.1,{38.10}^{-23}.(20+273)$$=6,1\cdot {10}^{-21} \text{J}$

${\text{v}}_{{\text{O}}_2}=\sqrt{\frac{3RT}{M_{O_2}}}=\sqrt{\frac{3.8,31.(20+293)}{0,032}}=480 \text{m}/\text{s}$

${\text{v}}_{{\text{N}}_2}=\sqrt{\frac{3RT}{M_{N_2}}}=\sqrt{\frac{3.8,31.(20+273)}{0,028}}=510 \text{m}/\text{s}$

Xem thêm các bài viết về công thức Vật Lí 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Công thức phương trình Clapeyron

• Công thức lực từ

• Công thức cảm ứng từ do các dòng điện đặc biệt gây ra

• Công thức từ thông

• Công thức định luật Faraday về suất điện động cảm ứng

• Công thức dòng điện xoay chiều

---