Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Bắc Giang năm 2024-2025

Bài viết cập nhật đề thi HSG Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Bắc Giang năm 2024-2025 giúp học sinh lớp 12 ôn tập và đạt kết quả cao trong bài thi học sinh giỏi Toán 12.

Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Bắc Giang năm 2024-2025

Xem thử

Chỉ từ 300k mua trọn bộ Đề thi học sinh giỏi Toán 12 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết, dễ dàng chỉnh sửa:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG   ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2024-2025   Môn: TOÁN Đề thi có: 01 trang Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10/9/2024

Câu 1 (4 điểm). Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=\mathrm{2,}{u}_2=3\\ u_{n+1}=\frac{u_n.u_{n-1}}{u_{n-1}-1},\forall n\ge 2\end{array}\right.$.

a) Tính giới hạn $\underset{u\to +\infty }{lim}\frac{u_n}{u_{n+1}}$

b) Xét dãy số $\left(v_n\right)$ cho bởi $v_n=\frac{u_n^a}{n}$. Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số $\left(v_n\right)$ có giới hạn hữu hạn khác 0.

Câu 2 (4 điểm). Tìm tất cả các hàm số $f:ℝ\to ℝ$ thỏa mãn

              $f\left(x\right)f\left(y\right)+f(x+y)=f\left(xy\right)+f\left(x\right)+f\left(y\right)+2xy$ với mọi $x,y\in ℝ$.

Câu 3 (4 điểm). Cho tam giác ABC không cân. Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của IB, IC với DE, DF; S, T lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC.

a. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, S, T thẳng hàng.

b. Gọi J là giao điểm của MN và IA. Chứng minh rằng đường tròn tâm J bán kính JA tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN.

Câu 4 (4 điểm). Cho a, b, n là các số nguyên dương $\left(n\ge 2\right)$. Biết $\left(an-a+1\right)⋮bn$. Đặt $x=\frac{a}{b}$.

a. Chứng minh rằng: $\left[x\right]$ không chia hết cho n.

b. Kí hiệu $\left\{x\right\}=x-\left[x\right]$. Tính $S=\sum _{i=1}^{n-1}\left\{\frac{\left[ix\right]}{n}\right\}$

Câu 5 (4 điểm). Cho số nguyên dương n. Cho $a_1;a_2;a_3;\mathrm{...};a_{2n}$ là một hoán vị của các số $1;2;3;\mathrm{...};2n$ sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn:

i) $a_1<a_3<a_5<\mathrm{...}<a_{2n-1};$

ii) $a_2>a_4>a_6>\mathrm{...}>a_{2n}$

a) Có bao nhiêu hoán vị thỏa mãn các tính chất trên?

b) Xác định tất cả các giá trị mà tổng $S=\left|a_1-a_2\right|+\left|a_3-a_4\right|+\mathrm{...}+\left|a_{2n-1}-a_{2n}\right|$ có thể nhận.

………………………HẾT………………………

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KS HSG LẦN 2 - TRƯỜNG THPT LÊ XOAY NĂM HỌC 2024 – 2025 Môn: Toán 12

ĐỀ BÀI

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM CHỌN ĐÁP ÁN: Trong mỗi câu hỏi, hãy chọn 1 đáp án.

Câu 1. Một xưởng in có 15 máy in được cài đặt tự động và giám sát bởi một kỹ sư, mỗi máy in có thể in được 30 ấn phẩm trong 1 giờ, chi phí cài đặt và bảo dưỡng cho mỗi máy in cho 1 đợt hàng là 48 000 đồng, chi phí trả cho kỹ sư giám sát là 24 000 đồng/giờ. Đợt hàng này xưởng in nhận 6000 ấn phẩm thì số máy in cần sử dụng để chi phí in ít nhất là

A. 12 máy.

B. 9 máy.

C. 10 máy.

D. 11 máy.

Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB là x - y - 2 = 0 phương trình cạnh AC là $x+2y-5=0$. Biết trọng tâm của tam giác là điểm $G\left(3;2\right)$ và phương trình đường thẳng BC có dạng $x+my+n=0.$ Tìm m + n

A. 5

B. 3

C. 4

D. 2

Câu 3. Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học lớp mình. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút được ghi số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn 3 nút liên tiếp khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng dần và có tổng là 10. Học sinh  B chỉ nhớ được là dãy tăng. Tính xác suất để B mở được cửa phòng học đó biết rằng nếu bấm sai 3 lần liên tiếp cửa sẽ tự động khóa lại.

A. $\frac{531}{3375}$

B. $\frac{630}{3375}$

C. $\frac{631}{3375}$

D. $\frac{530}{3375}$

Câu 4. Cho biết $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{a{x}^2+1}-bx-2}{x^3-3x+2}\left(a,b\in ℝ\right)$ có kết quả là một số thực. Giá trị của biểu thức $a^2+b^2$ bằng?

A. $87-48\sqrt{3}$

B. $\frac{9}{4}$

C. $6+5\sqrt{3}$

D. $\frac{45}{16}$

Câu 5. Đồ thị sau là của hàm số nào dưới đây?

A. $y=\frac{2x^2-9x+10}{x+2}$

B. $y=\frac{x^2-5x+7}{-x+2}$

C. $y=\frac{2x^2-9x+10}{-x+2}$

D. $y=\frac{x^2-5x+7}{x+2}$

Câu 6. Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC. Ta xây dựng dãy các tam giác $A_1{B}_1{C}_1,A_2{B}_2{C}_2,A_3{B}_3{C}_3\mathrm{,...}$ sao cho $A_1{B}_1{C}_1$ là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương $n\ge 2$, tam giác $A_n{B}_n{C}_n$ là tam giác trung bình của tam giác $A_{n-1}{B}_{n-1}{C}_{n-1}$. Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu $S_n$ tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác $A_n{B}_n{C}_n$. Tính tổng $S=S_1+S_2+\mathrm{...}+S_n+\mathrm{...}$?

A. $S=\frac{15\pi }{4}$

B. $S=5\pi$

C. $S=4\pi$

D. $S=\frac{9\pi }{2}$

Câu 7. Cho đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(2;+\infty )$

B. $(0;2)$

C. $(-2;2)$

D. $(-\infty ;0)$

Câu 8. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, mỗi lớp thi gồm 24 thí sinh được sắp xếp vào 24 bàn khác nhau. Bạn Nam là một thí sinh dự thi, bạn đăng ký 4 môn thi và cả 4 lần thi đều thi tại một phòng duy nhất. Giả sử giám thị xếp thí sinh vào vị trí một cách ngẫu nhiên, tính xác xuất đề trong 4 lần thi thì bạn Nam có đúng 2 lần ngồi cùng vào một vị trí.

A. $\frac{26}{35}$

B. $\frac{4}{7}$

C. $\frac{253}{1152}$

D. $\frac{899}{1152}$

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho $A(3;2;1),B(-2;3;6)$. Điểm $M\left(x_M;y_M;z_M\right)$ thay đồi thuộc mặt phẳng $\left(Oxy\right)$. Tìm giá trị của biểu thức $T=x_M+y_M+z_M$ khi $\left|\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\right|$ nhỏ nhất.

A. $-\frac{7}{2}$

B. $\frac{7}{2}$

C. 2

D. -2

Câu 10. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như sau.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $2f\left(x\right)+3m+3=0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt.

A. $-\frac{5}{3}<m<1$

B. $-1<m<\frac{5}{3}$

C. $-\frac{5}{3}\le m\le 1$

D. $-1\le m\le \frac{5}{3}$

Câu 11. Cho hàm số $y=f\left(x\right).$ Biết hàm số $f\text{'}\left(x\right)$ có đồ thị như hình bên dưới. Hàm số $y=f(3-x^2)$ đồng biến trên khoảng

A. $\left(-1;0\right)$

B. $\left(0;1\right)$

C. $\left(2;3\right)$

D. $\left(-2;-1\right)$

Câu 12. Ông A dự định dùng hết 6,5 m² kính để làm một bể cá có hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng ( các mối ghép có không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiều ( kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

A. $\mathrm{1,33}{m}^3$

B. $\mathrm{2,26}{m}^3$

C. $\mathrm{1,50}{m}^3$

D. $\mathrm{1,61}{m}^3$

Câu 13. Trong không gian Oxyz cho hai điểm $A(\mathrm{2,}-\mathrm{4,3})$ và $B\left(\mathrm{2,2,7}\right)$. Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là

A. $(4;-2;10)$

B. $(2;6;4)$

C. $(2;-1;5)$

D. $(1;3;2)$

Câu 14. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số $y=x^3-3mx+2$ cắt đường tròn (C) có tâm I(1; 1), bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích của tam giác IAB đạt giá trị lớn  nhất?

A. $m=\frac{2\pm \sqrt{3}}{2}$

B. $m=\frac{2\pm \sqrt{3}}{3}$

C. $m=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}$

D. $m=\frac{2\pm \sqrt{5}}{2}$

Câu 15. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A. 1

B. 4

C. 2

D. 3

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI: Trong mỗi ý ở mỗi câu, hãy chọn đúng hay sai

Câu 1. Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với $AC=a\sqrt{3}$. Biết BC' hợp với mặt phẳng $\left(AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)$ một góc ${30}^0$ và hợp với mặt phẳng đáy góc $\alpha$ sao cho $\sin \alpha =\frac{\sqrt{6}}{4}$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh $B{B}^{\text{'}},A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$.

a) Góc giữa MN và $\left(AB{C}^{\text{'}}\right)$ bằng ${60}^0$.

b) Thể tích  khối chóp $C^{\text{'}}.AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}$ bằng $\frac{3\sqrt{2}{a}^3}{2}$.

c) Khoảng cách giữa MN và AC' bằng $\frac{a\sqrt{6}}{4}$.

d) Độ dài đường cao của lăng trụ bằng $a\sqrt{3}$.

Câu 2. Cho hình lập phương $ABC\text{D}.A\text{'}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có cạnh bằng a. Trên các cạnh CD và BB' ta lần lượt lấy điểm M và N sao cho $DM=BN=x$ với $0\le x\le a$. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

b) Gọi K là trung điểm AD khi đó $\overrightarrow{C^{\text{'}}K}=\overrightarrow{C^{\text{'}}C}+\overrightarrow{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{C^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$.

c) Góc giữa vectơ $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$ và $\overrightarrow{MN}$ bằng $60°$.

d) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=a^2$.

Câu 3. Một công ty muốn xây một đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ biển đến một điểm B trên một hòn đảo (như hình vẽ).

Giá để xây đường ống trên bờ là 5000 USD mỗi km và 130000 USD để xây mỗi km dưới nước. Gọi C là điểm trên bờ biển sao cho BC vuông góc với bờ biển, BC = 6km, AC = 9km. Gọi M là vị trí trên đoạn AC sao cho khi làm ống dẫn theo đường gấp khúc AMB thì chi phí ít nhất.

a) Nếu công ty lắp đường ống theo đường ACB thì chi phí hết số tiền 1 230 000USD.

b) Chi phí thấp nhất để hoàn thành việc xây dựng đường ống dẫn là 1 170 000USD.

c) Nếu công ty lắp đường ống theo đường gấp khúc AMB thì khi M là trung điểm của AC chi phí hết số tiền 1200000 USD.

d) Nếu công ty lắp đường ống thẳng theo đường trên biển từ A đến B thì chi phí hết số tiền nhỏ hơn 1400000 USD.

Câu 4. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau

a) Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ${\log }_5^{2}x-\left(m-1\right){\log }_{5}x+4-m=0$ có 2 nghiệm phân biệt thuộc $\left[1;25\right]$ là $\left(a;b\right]$. Khi đó $a+b=\frac{20}{3}$.

b) Cho phương trình $3^x+m={\log }_3\left(x-m\right)$, với m là tham số. Số giá trị nguyên của $m\in \left(-15;15\right)$ để phương trình đã cho có nghiệm là 13.

c) Cho hàm số $f\left(x\right)=\left|x^3-3m{x}^2+3\left(2m-1\right)x-m\right|$. Số giá trị nguyên của tham số $m\in \left[-2022;2022\right]$ để hàm số $f\left(x\right)$ có đúng 5 điểm cực trị nằm về phía bên phải trục Oy bằng .

d) Cho hàm số $y=\left|x^3-3x^2-9x+m\right|$ với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số trên $\left[-2;3\right]$ bằng $M<50$. Tổng các phần tử của S bằng 735.

Câu 5. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $ℝ$ và hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số $y=f\left(x\right)$ có hai điểm cực trị.

b) Hàm số $g\left(x\right)=f\left(x\right)-\frac{1}{2}{x}^2+x+2024$ đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{5}{2};-\frac{3}{2}\right)$.

c) $f^{\text{'}}\left(2\right)=4$.

d) Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;-2\right)$.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN:Trong mỗi câu, hãy viết phần trả lời ngắn không quá 4 ký tự (phải là số) và để ngoài MathType

Câu 1. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD song song BC, $BC=2a,AB=AD=DC=a\left(a>0\right)$. Mặt bên $SBC$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi O là giao điểm AC và BD. Biết SD vuông góc với AC, M là điểm thuộc đoạn OD, $MD=x\left(x>0\right)$, M khác O và D. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ qua M và song song hai đường thẳng SD và AC cắt khối chóp $S.ABCD$ theo một thiết diện. Diện tích thiết diện lớn nhất khi $x=\frac{a\sqrt{m}}{4}$. Tìm m

Câu 2. Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^4}{4}-m{x}^3+\frac{3}{2}\left(m^2-1\right)x^2+\left(1-m^2\right)x+2019$, m là tham số thực. Biết rằng hàm số $y=f\left(\left|x\right|\right)$ có số điểm cực trị lớn hơn 5 khi $a<m^2<b+2\sqrt{c}\left(a,b,c\in ℝ\right)$. Giá trị $T=a+b+c$ bằng ?

Câu 3. Anh Bình gửi 200 triệu vào ngân hàng VB với kì hạn có định 12 tháng và hưởng lãi suất 0.65%/tháng. Tuy nhiên sau khi gửi được tròn 8 tháng anh phải dùng đến 200 triệu trên. Anh đến ngân hàng định rút tiền thì được nhân viên ngân hàng tư vấn: "Nếu rút tiền trước kì hạn, toàn bộ số tiền anh gửi chỉ có lãi suất không kỳ hạn là 0,02%/tháng. Anh nên thế chấp sổ tiết kiệm đó tại ngân hàng để vay ngân hàng 200 triệu với lãi suất 0,7%/tháng. Khi sổ của anh đến kì hạn, anh có thể rút tiền để trả nợ ngân hàng". Nếu làm theo tư vấn của nhân viên ngân hàng thì anh Bình sẽ đỡ thiệt hại bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng phần chục)? Biết ngân hàng tính lãi theo thể thức lãi kép.

Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên lớn hơn 2 của y sao cho với mỗi y tồn tại đúng 3 số nguyên dương x thỏa mãn $3^x-y\le 2{\log }_2\left(3^x-2\right)$

Câu 5. Một tấm bạt hình vuông cạnh 20m như hình vẽ dưới đây

Người ta dự tính cắt phần tô đậm của tấm bạt rồi gập và may lại (các đường may không đáng kể), nhằm mục đích phủ lên tháp đèn trang trí (cả phần xung quanh và đáy của hình tháp dạng hình chóp tứ giác đều) để tránh hư hại tháp khi trời mưa. Biết khối chóp hình thành sau khi gập và may lại cần thể tích lớn nhất thì mới phủ kín tháp đèn. Hỏi phần diện tích tấm bạt bị cắt là bao nhiêu để đảm bảo yêu cầu trên (đơn vị $m^2$)

Câu 6. Một cửa hàng trung bình bán được 100 cái Tivi mỗi tháng với giá 14 triệu đồng một cái. Chủ cửa hàng nhận thấy rằng, nếu giảm giá bán mỗi cái 500 ngàn đồng thì số lượng tivi bán ra sẽ tăng thêm 10 cái mỗi tháng. Hỏi cửa hàng nên bán với giá bao nhiêu để doanh thu cửa hàng là lớn nhất?

Câu 7. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kiogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, một kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi x, y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm x + y để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn

Câu 8. Cho phương trình $\cos 2x-\sin x+\frac{m}{3}-1=0$ với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có 5 nghiệm trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{2}\right)$.

Câu 9. Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc $60°$.

Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết rằng các lực căng ${\overrightarrow{F}}_1, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}, \overrightarrow{F_4}$ đều có cường độ là $5000\sqrt{3}\left(\text{ N}\right)$ và trọng lượng của khung sắt là $3000\left(\text{N}\right)$. Trọng lượng của chiếc xe ô tô bằng 100x. Tìm x?

Câu 10. Ở một số vùng quê ở Việt Nam, trước mỗi nhà thường có một khoảng sân rộng để phơi lúa vào mùa gặt và cũng là nơi để tổ chức một số sự kiện: đám cưới, đám hỏi, thôi nôi,... Bác An tính xây một sân trước cửa nhà hình chữ nhật ABCD có độ dài các cạnh lần lượt là AB = 5m và AD = 12m. Để tiện cho việc thoát nước khi trời mưa và khi rửa sân nên bác An xây vị trí B thấp hơn vị trí A là 5 cm , vị trí D thấp hơn vị trí A là 8 cm .

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ để xác định xem vị trí C thấp hơn vị trí A bao nhiêu cm (làm tròn đến hàng đơn vị ).

SỞ GD&ĐT HẢI PHÒNG HSG  2024-2025

KỲ THI CHỌN HSG THÀNH PHỐ CẤP THPT 2025 MÔN THI: TOÁN 12 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

Đề thi gồm có ba phần: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (12 Câu). Câu trắc nghiệm đúng sai (04 Câu). Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (6 Câu).

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án

Câu 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật $AB=a, AD=2a$. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC) bằng

A. $\frac{\sqrt{57}a}{19}$

B. $\frac{\sqrt{57}a}{19}$

C. $\frac{\sqrt{3}a}{4}$

D. $\frac{\sqrt{3}a}{2}$

Câu 2: Tổng các nghiệm thuộc đoạn $\left[0;2\pi \right]$ của phương trình  $\sin 2x-\cos x=0$ bằng

A. $\frac{5\pi }{2}$

B. $2\pi$

C. $3\pi$

D. $5\pi$

Câu 3: Bảng dưới đây biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian chạy cự li 100m của 20 vận động viên trong một buổi luyện tập (đơn vị: giây)

Số trung bình của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. 10,6

B. 10,3

C. 10,4

D. 10,8

Câu 4: Cho một cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có $u_1=1$ và tổng 100 số hạng đầu bằng 10 000.

                 Tổng $S=\frac{1}{u_1{u}_2}+\frac{1}{u_2{u}_3}+\mathrm{...}+\frac{1}{u_{99}{u}_{100}}$ bằng

A. $\frac{200}{201}$

B. $\frac{198}{199}$

C. $\frac{100}{201}$

D. $\frac{99}{199}$

Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn $\left(C\right):{(x-1)}^2+{(y-2)}^2=4$. Đường thẳng $d_1:mx+y-m-1=0$ cắt đường tròn (C) tại M, N và đường thẳng $d_2:x-my+m-1=0$ cắt đường tròn (C) tại P, Q. Diện tích lớn nhất của tứ giác có 4 đỉnh M, N, P, Q bằng

A. 7

B. 8

C. 14

D. 2

Câu 6: Một nhóm gồm 6 bạn nam trong đó có Hùng và 4 bạn nữ xếp hàng để chụp hình lưu niệm. Mọi người đứng thành 2 hàng, mỗi hàng 5 người. Xác suất để Hùng đứng liền giữa hai bạn nam đồng thời trong mỗi hàng hai bạn nữ bất kỳ không đứng cạnh nhau bằng

A. $\frac{2}{105}$

B. $\frac{4}{105}$

C. $\frac{1}{21}$

D. $\frac{1}{105}$

Câu 7: Cho hàm số $y=\frac{a{x}^2+bx+1}{cx+2}$ (với $a,b,c\in ℝ,a.c\ne 0$) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Giá trị biểu thức $T=2a+3b-c$ là

A. T = 11

B. T = 8

C. T = 9

D. T = 10

Câu 8: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2-x+3}{x^2+5}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $g\left(x\right)=f\left(x^2-2x-m\right)$ có đúng 3 điểm cực trị?

A. 4

B. 5

C. 3

D. 6

Câu 9: Người ta dự định làm một hầm rượu có dạng hình chóp cụt đều có hai cạnh đáy là 7m và 5m; mặt bên và đáy nhỏ tạo thành góc nhị diện có số đo bằng 120⁰ (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của hầm rượu trên bằng bao nhiêu mét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

A. 62,93

B. 60,82

C. 64,24

D. 58,94

Câu 10: Cho một đa giác đều $\left(H\right)$ có 15 đỉnh. Số tam giác cân nhưng không là tam giác đều có ba đỉnh là đỉnh của $\left(H\right)$ là

A. 90

B. 105

C. 95

D. 115

Câu 11: Từ các chữ số thuộc tập $S=\left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\right\}$, viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để viết được số có đúng một chữ số chẵn là

A. $\frac{20}{63}$

B. $\frac{10}{63}$

C. $\frac{5}{126}$

D. $\frac{5}{63}$

Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left(-2;3;1\right), B\left(2;1;0\right), C\left(-3;-1;1\right)$. Điểm $D\left(x_D;y_D;z_D\right)$ thỏa mãn ABCD là hình thang với hai đáy AD, BC và diện tích hình thang ABCD gấp 3 lần diện tích tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $z_D=4$

B. $z_D=-1$

C. $z_D=3$

D. $z_D=-2$

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)

Câu 1: Cho hàm đa thức $y=f\left(x\right)$ có đồ thị của hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ là đường cong trong hình vẽ bên.

a) Phương trình $f^{\text{'}}\left(\cos x\right)=3$ có đúng 4 nghiệm thuộc $\left[0;\frac{5\pi }{2}\right]$.

b) $\underset{ℝ}{\min }f\left(x\right)=f\left(-1\right)$.

c) Hàm số $f\left(x\right)$ nghịch biến trên khoảng $\left(0;2\right)$.

d) Hàm số $g\left(x\right)=f\left(x-2024\right)-2023x+2022$ có đúng 2 điểm cực trị.

Câu 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, $AB=4a$ và $\widehat{BAD}=120°$. Gọi H là trung điểm của AO. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và $SH=a\sqrt{3}$.

a) Gọi $\alpha$ là số đo góc phẳng nhị diện $\left[S,CD,A\right]$, khi đó $\tan \alpha =\frac{2}{3}$.

b) Góc tạo bởi đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng góc $\widehat{BSH}$.

c) Thể tích khối chóp SABCD bằng $8a^3$

d) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của ba cạnh CD, BC và SA. Khoảng cách giữa hai đường thẳng PN và SM bằng $\frac{2a\sqrt{39}}{13}$.

Câu 3: Cho hàm số $f\left(x\right)=3^{\sqrt{x^2+1}+x}-3^{\sqrt{x^2+1}-x}$

a) Tập nghiệm của bất phương trình $f^{\text{'}}\left(x\right)>0$ là $\left(0;+\infty \right)$.

b) Bất phương trình $f\left(x\right)-{80.3}^{\sqrt{x^2+1}-2}\le 0$ có đúng hai nghiệm nguyên dương.

c) Phương trình $f\left(x\right)=0$ có hai nghiệm phân biệt.

d) Số giá trị nguyên của m thuộc đoạn $\left[-2024;2025\right]$ để bất phương trình $f\left(x^2+1\right)+f\left(-\frac{mx}{2}\right)>0$ nghiệm đúng $\forall x\in \left(-\infty ;0\right)$ là 2029.

Câu 4: Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm I và II từ ba nguyên liệu A, B và C. Để sản xuất 1kg sản phẩm I nhà máy phải sử dụng 2kg nguyên liệu A và 2kg nguyên liệu C. Để sản xuất 1kg sản phẩm II nhà máy phải sử dụng 2kg nguyên liệu A, 2kg nguyên liệu B và 4kg nguyên liệu C. Biết rằng nhà máy có 10 tấn nguyên liệu A, 4 tấn nguyên liệu B và 12 tấn nguyên liệu C. Giả sử sản phẩm sản xuất ra đều được bán hết và tiền lãi khi bán mỗi tấn sản phẩm I là 3 triệu đồng, mỗi tấn sản phẩm II là 5 triệu đồng. Gọi x và y lần lượt là số tấn sản phẩm I và II nhà máy cần sản xuất $(x\ge \mathrm{0,}y\ge 0).$

a) Khi nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất thì phải sử dụng 10 tấn nguyên liệu A.

b) Nguyên liệu của nhà máy đủ để sản xuất 3 tấn sản phẩm I và 1,5 tấn sản phẩm II.

c) Bất phương trình mô tả điều kiện về sử dụng nguyên liệu C của nhà máy là $x+2y\le 6.$

d) Tiền lãi thu được khi sản xuất 2 tấn sản phẩm I và 2 tấn sản phẩm II là 14 triệu đồng.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1: Trong rừng, có hai điểm du lịch ở vị trí X và Y đều cách bờ biển một khoảng bằng 3km (coi đường bờ biển là một đường thẳng). Khoảng cách giữa hai vị trí X và Y là 18 km. Người ta dự định đặt hai điểm nghỉ chân tại vị trí M, N trên bờ biển sao cho XM = YN và làm đường từ X lần lượt qua M, N đến Y. Biết chi phí làm đường trong rừng là 1300 triệu/km và đường trên bờ biển là 500 triệu/km. Khoảng cách giữa hai vị trí M và N là bao nhiêu kilômét để tổng chi phí làm đường nêu trên ít nhất?

Câu 2: Gọi $x_1,x_2\left(x_1<x_2\right)$ là hai nghiệm của phương trình ${\log }_7\left(\frac{4x^2-4x+1}{2x}\right)+4x^2+1=6x$. Biết $x_1+2x_2=\frac{1}{4}\left(a+\sqrt{b}\right)$, trong đó a, b là các số nguyên dương. Tính tổng a + b.

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn ngoại tiếp. Tính giá trị $O{I}^2$ biết $A\left(2;2;-2\right),B\left(6;-4;2\right),C\left(8;-2;0\right)$

Câu 4: Mạng lưới giao thông trong một thành phố được bố trí dạng lưới hình chữ nhật kích thước 10x12 như hình vẽ dưới đây. Lần đầu đến thành phố, anh Nam muốn đi từ điểm A đến điểm B. Biết rằng tại các điểm giao nhau, anh Nam luôn chọn ngẫu nhiên một trong các hướng đi để quãng đường đi từ A đến B là ngắn nhất. Xác suất để anh Nam không đi qua điểm giao ở vị trí C là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Câu 5: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}.$ Khoảng cách từ C đến BB' là $\sqrt{5},$ khoảng cách từ A đến BB' và CC' lần lượt là 1; 2. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt phẳng $\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$ là trung điểm M của cạnh $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}, A^{\text{'}}M=\frac{\sqrt{15}}{3}.$ Tính thể tích của khối lăng trụ $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 6: Cho bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê doanh thu bán hàng (đơn vị: triệu đồng) trong 20 ngày của một cửa hàng như sau:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

-------------- Hết --------------

SỞ GD & ĐT NINH BÌNH TRƯỜNG THPT NHO QUAN A

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2024-2025 LẦN 1 Môn thi: Toán Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn, gồm 12 câu, tổng 3,0 điểm. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.(Mỗi câu đúng 0,25 điểm)

Câu 1. Khi đó các phương trình $\left(2\right),\left(3\right),\left(4\right)$ có nghiệm duy nhất và g'(x) đổi dấu qua các nghiệm đó. Vậy hàm số g(x) có 3 điểm cực trị. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên R sao cho $\underset{\left[-1;2\right]}{\text{max}}f\left(x\right)=3$. Xét $g\left(x\right)=f\left(3x-1\right)+2025$. Giá trị lớn nhất của hàm số $y=g\left(x\right)$ trên đoạn $\left[0;1\right]$ bằng

A. 2031

B. 2022

C. 2028

D. 2024

Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình ${\left(2-\sqrt{3}\right)}^x>\left(7-4\sqrt{3}\right){\left(2+\sqrt{3}\right)}^{x+1}$ là

A. $\left(\frac{1}{2}; 2\right)$

B. $\left(\frac{1}{2}; +\infty \right)$

C. $\left(-2; \frac{1}{2}\right)$

D. $\left(-\infty ; \frac{1}{2}\right)$

Câu 3. Chuồng gà thứ nhất có 9 con mái và 1 con trống. Chuồng gà thứ hai có 1 con mái và 5 con trống. Từ mỗi chuồng ta bắt ngẫu nhiên ra một con đem bán. Các con gà còn lại được dồn vào một chuồng thứ ba. Nếu ta lại bắt ngẫu nhiên một con gà nữa từ chuồng này ra thì xác suất bắt được con gà trống là bao nhiêu?

A. $\frac{38}{105}$

B. $\frac{19}{105}$

C. $\frac{37}{420}$

D. $\frac{37}{210}$

Câu 4. Một vật dao động xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình $x=\mathrm{1,5}\cos \left(\frac{t\pi }{4}\right)$; trong đó t là thời gian được tính bằng giây và quãng đường $h=\left|x\right|$ được tính bằng mét là khoảng cách theo phương ngang của chất điểm đối với vị trí cân bằng. Trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 giây thì vật đi qua vị trí cân bằng mấy lần?

A. 6

B. 3

C. 4

D. 5

Câu 5. Cho tam giác MNP biết $M\left(-6 ; 3\right)$ và N, P là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng ${\Delta }_1:x-y+9=0, {\Delta }_2:2x+y+1=0$. Gọi $Q\left(2 ; -1\right)$ là điểm thỏa $\overrightarrow{NQ}=3\overrightarrow{NP}$. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP?

A. ${\left(x+4\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=4$

B. ${\left(x+4\right)}^2+{\left(y-\frac{11}{3}\right)}^2=\frac{10}{9}$

C. ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=2$

D. ${\left(x+6\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=\frac{5}{2}$

Câu 6. Lớp $12A_1$ có 45 học sinh gồm 23 bạn nữ và 22 bạn nam, trong đó bạn Việt (nam) làm lớp trưởng. Sắp xếp học sinh để chụp ảnh kỉ yếu trong đó có 21 bạn đứng hàng trước trong đó có bạn Việt đứng ở chính giữa và 24 bạn đứng hàng sau. Số cách sắp xếp là

A. $A_{45}^{20}.24!$

B. $C_{45}^{21}.24!$

C. $C_{45}^{20}.24!$

D. $A_{44}^{20}.24!$

Câu 7. Đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên đoạn $\left[-3; 5\right]$ như hình vẽ dưới đây(phần cong của đồ thị là một phần của Parabol  $y=a{x}^2+bx+c$). Tính $I=\underset{-2}{\overset{3}{}}f\left(x\right)\text{d}x$

A. $I=\frac{53}{3}$

B. $I=\frac{97}{6}$

C. $I=\frac{43}{2}$

D. $I=\frac{95}{6}$

Câu 8. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên $ℝ$, biết hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số $y=f\left(x^2\right)$ đồng biến trên khoảng

A. $\left(-2;-1\right)$

B. $\left(0;2\right)$

C. $\left(-\frac{1}{2};0\right)$

D. $\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$

Câu 9. Một quả bóng cao su từ độ cao 15(m) so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng hai phần năm độ cao lần rơi ngay trước đó. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng quãng đường quả bóng đã bay (từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa) khoảng:

A. 35(m)

B. 50(m)

C. 30(m)

D. 25(m)

Câu 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, $AB=AD=2a, CD=a$. Gọi I là trung điểm của cạnh AD, biết hai mặt phẳng $\left(SBI\right),\left(SCI\right)$ cùng vuông góc với đáy và $SI=\frac{3\sqrt{15}a}{5}$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left(SBC\right),\left(ABCD\right)$.

A. 60⁰

B. 30⁰

C. 36⁰

D. 45⁰

Câu 11. Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Hàm số $g\left(x\right)=f\left(e^x-\frac{x^2+2x}{2}\right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3

B. 7

C. 6

D. 4

Câu 12. Phương trình $\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\text{cos}\left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=0$ có điểm biểu diễn các nghiệm thuộc khoảng $\left(0;2\pi \right)$ trên đường tròn lượng giác là một đa giác. Tính diện tích đa giác đó.

A. $\frac{3+2\sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{2+\sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{2+\sqrt{3}}{8}$

D. $\frac{3+2\sqrt{3}}{8}$

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai, gồm 4 câu, tổng 4,0 điểm. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a) b) c) d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Một mô hình kim tự tháp có dạng hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng 12cm và chiều cao bằng 16cm. Hãy cho biết tính đúng, sai của các mệnh đề sau

a) $AB\text{//}\left(SCD\right)$.

b) Gọi M là điểm nằm trên cạnh SD sao cho $SM=2MD$. Mặt phẳng $\left(ABM\right)$ cắt SC tại N. Thể tích của khối chóp $S.ABNM$ bằng $\mathrm{426,67}c{m}^2$(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

c) Góc nhị diện $\left[S,BC,D\right]$ có độ lớn bằng $69°26\text{'}$(kết quả làm tròn đến phút).

d) Khoảng cách giữa AD và mặt phẳng (SBC) bằng $\mathrm{11,23}cm$. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 2. Cho hàm số $f\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2\left(a{x}^2+4ax-a+b-2\right)$, với $a, b\in ℝ$. Biết trên khoảng $\left(-\frac{4}{3};0\right)$ hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=-1$.

a) Đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ bằng $f\text{'}\left(x\right)=2\left(x-1\right)\left(2a{x}^2+5ax-3a+b-2\right).$

b) Điểm $x=-1$ là một điểm cực tiểu của hàm số.

c) Phương trình $f\text{'}\left(x\right)=0$ có hai nghiệm phân biệt.

d) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=-\frac{3}{2}$ trên đoạn $\left[-2;-\frac{5}{4}\right]$.

Câu 2. Trong các mệnh đề sau, chỉ ra mệnh đề đúng, mệnh đề sai.

a) $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(3x^2-2{\text{e}}^x\right)\text{d}x=6-2{\text{e}}^2$

b) Nước chảy từ đáy của một bồn chứa với tốc độ $k\left(t\right)=250-6t$(lít/phút), trong đó $0\le t\le 45$. Lượng nước chảy ra khỏi bồn chứa trong 10 phút đầu tiên bằng 2200 (lít).

c) $\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left({\tan }^{2}x-{\cot }^{2}x\right)\text{d}x=a-\frac{b}{c}\sqrt{3}$ với $a,b,c\in \mathbb{N},c\ne 0$ và $\frac{b}{c}$ tối giản thì $a+b+c=9$.

d) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\left|{\cos }^{2}x-\sin x\cos x\right|\text{d}x=a+b\pi -c\sqrt{3}$ với $a,b,c\in \mathbb{Q}$ thì $a-c+b=\frac{5}{6}$.

Câu 3. Trong một công ty có 40 nhân viên, trong đó có 27 người thích chơi bóng bàn, 25 người thích chơi cầu lông. Chọn ngẫu nhiên một nhân viên trong công ty đó. Trrong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) Xác suất để người đó thích chơi ít nhất một trong hai môn bóng bàn và cầu lông không vượt quá 100%.

b) Xác suất để người đó thích chơi cả hai môn cầu lông và bóng bàn ít nhất là 25%.

c) Xác suất để người đó không thích chơi bóng bàn và không thích chơi cầu lông ít nhất là 2,5%.

d) Xác suất để người đó không thích chơi bóng bàn và không thích chơi cầu lông nhiều nhất là 25%.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn, gồm 6 câu, tổng 3,0 điểm (mỗi câu 0,5 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Có hai chiếc hộp, hộp I có 5 viên bi màu trắng và 5 viên bi màu đen; hộp II có 6 viên bi màu trắng và  4 viên bi màu đen. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II. Sau đó lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II. Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi, giả sử viên bi được lấy ra là viên bi màu trắng. Tính xác suất viên bi màu trắng đó thuộc hộp I (làm tròn 2 chữ số thập phân).

Câu 2. Một công ty, trong một tháng cần sản xuất ít nhất 12 viên kim cương to và 9 viên kim cương nhỏ. Từ một tấn các bon loại 1 (giá 100 triệu đồng) có thể chiết xuất được 5 viên kim cương to và 3 viên kim cương nhỏ, từ một tấn Cacbon loại 2 (giá 40 triệu đồng) có thể chiết xuất được 2 viên kim cương to và 3 viên kim cương nhỏ. Mỗi viên kim cương to giá 20 triệu đồng, mỗi viên kim cương to giá 10 triệu đồng. Hỏi mỗi tháng công ty lãi được nhiều nhất bao nhiêu triệu đồng? Biết mỗi tháng chỉ sử dụng tối đa 4 tấn Cacbon mỗi loại và tổng số tiền mua Cacbon không vượt quá 500 triệu đồng.

Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${∆}_1:\frac{x + 1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{1}; {∆}_2:\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}$. Đường thẳng d song song với mặt phẳng $\left(P\right): x+y-2z+5=0$ và cắt hai đường thẳng ${∆}_1,{∆}_2$ lần lượt tại A, B sao cho AB là ngắn nhất. Khi đó độ dài đoạn thẳng AB² bằng bao nhiêu ?

Câu 4. Một khách sạn có 60 phòng. Chủ khách sạn nhận thấy nếu cho thuê mỗi phòng với giá 500.000 đồng/ ngày thì tất cả các phòng đều được thuê hết và cứ tăng giá thêm 50.000 đồng một phòng thì có thêm 2 phòng trống. Hỏi chủ khách sạn nên cho thuê mỗi phòng với giá bao nhiêu tiền một ngày để tổng doanh thu một ngày là lớn nhất?

Câu 5. Để trang trí một bảng gỗ hình chữ nhật có chiều dài 9dm và chiều rộng 5dm, người ta thiết kế một logo hình con cá. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong hình vẽ dưới đây (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét), sau đó logo được sơn màu xanh với chi phí 20 000đồng/dm²; phần còn lại sơn màu trắng với chi phí 10 000đồng/dm².

Số tiền cần dùng để trang trí bảng gỗ trên là bao nhiêu nghìn đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng nghìn đồng)

Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right): 2x-y+2z-14=0$ và mặt cầu $\left(S\right): x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0$. Lấy $M\left(a;b;c\right)$ thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. Giá trị của biểu thức $K=a+b+c$ là

-------- HẾT--------

SỞ GD&ĐT THANH HÓA   2024-2025

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2024 - 2025 MÔN THI: TOÁN 12 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

Đề thi gồm có ba phần: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (20 Câu). Câu trắc nghiệm đúng sai (06 Câu). Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (06 Câu).

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PHẦN I. Câu trắc  nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+x+9}{x+1}$ bằng:

A. $4\sqrt{5}$

B. $6\sqrt{5}$

C. $3\sqrt{2}$

D. $2\sqrt{2}$

Câu 2. Gieo đồng thời hai con xúc xắc I và II cân đối, đồng chất một lần. Ta gọi biến cố A: “Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”. Khi đó xác suất $P\left(A\right)$ của biến cố A là:

A. $P\left(A\right)=\frac{11}{36}$

B. $P\left(A\right)=\frac{1}{36}$

C. $P\left(A\right)=\frac{25}{36}$

D. $P\left(A\right)=\frac{15}{36}$

Câu 3. Nghiệm của phương trình $2\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-\sqrt{2}=0$ là

A. $\left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $\left[\begin{array}{l}x=k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

C. $\left[\begin{array}{l}x=k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $\left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=-\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 4. Biết $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{4x^2-3x+1}-\left(ax+b\right)\right)=0$ với $a,b\in ℝ$. Tính giá trị $a+8b$.

A. -4

B. 2

C. 5

D. -1

Câu 5. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\sin x+2cosx+1}{\sin x+\cos x+2}$ lần lượt là M, m . Khi đó 2M + mbằng.

A. 1

B. 2

C. -1

D. 0

Câu 6. Bạn Chi rất thích nhảy hiện đại. Thời gian tập nhảy mỗi ngày trong thời gian gần đây của bạn Chi được thống kê lại ở bảng sau:

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. $\frac{165}{14}$

B. 27,5

C. 12,2

D. $\frac{155}{13}$

Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có các đỉnh $A\text{'}\left(-1;2;3\right),C\text{'}\left(1;4;5\right),B\left(-3;3;-2\right),D\left(5;3;2\right)$. Tìm tọa độ D'.

A. $D\text{'}\left(-4;3;2\right)$

B. $D\text{'}\left(4;3;6\right)$

C. $D\text{'}\left(2;4;1\right)$

D. $D\text{'}\left(0;2;-1\right)$

Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho $A\left(1;-2;3\right),B\left(0;2;-1\right),C\left(-2;0;1\right)$. Xác định tọa độ vectơ $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$.

A. $\overrightarrow{u}=\left(1;6;-6\right)$

B. $\overrightarrow{u}=\left(1;6;-2\right)$

C. $\overrightarrow{u}=\left(7;2;-2\right)$

D. $\overrightarrow{u}=\left(4;14;-14\right)$

Câu 9. Đặt $a={\log }_{2}3, b={\log }_{5}3$. Nếu biểu diễn ${\log }_{6}45=\frac{a\left(m+nb\right)}{b\left(a+p\right)}$ (với $m,n,p\in \mathbb{Z}$) thì $13m+12n+2024p$ bằng bao nhiêu?

A. 3012

B. 2028

C. 2061

D. 1024

Câu 10. Khảo sát thu nhập theo tháng của người lao động ở một công ty thu được số ghép nhóm sau:

Tính mức thu nhập trung bình của người lao động ở công ty trên (đơn vị: triệu đồng)

A. 10,5

B. 12,5

C. 11,75

D. 11

Câu 11. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên  $ℝ$, hình bên là đồ thị của hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$. Hỏi hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left(1;3\right)$

B. $\left(0;1\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$

C. $\left(0;+\infty \right)$

D. $\left(-\infty ;2\right)$

Câu 12. Trong không gian cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ tạo với nhau góc ${120}^{\text{o}}$ và $\left|\overrightarrow{a}\right|=3, \left|\overrightarrow{b}\right|=5$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

A. 19

B. 7

C. 49

D. $\sqrt{19}$

Câu 13. Một cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có tổng của n số hạng đầu $S_n$ được tính theo công thức $S_n=3n^2+5n, n\in {\mathbb{N}}^{*}.$ Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai d của cấp số cộng đó.

A. $u_1=-8;d=6$

B. $u_1=6;d=8$

C. $u_1=8;d=-6$

D. $u_1=8;d=6$

Câu 14. Cho lăng trụ tam giác $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$. Đặt $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}.$ Gọi I là điểm thuộc đoạn CC' thỏa mãn $IC=3I{C}^{\text{'}},G$ là trọng tâm tứ diện $B{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}.$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow{IG}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}\right)$

B. $\overrightarrow{IG}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{3}{4}\overrightarrow{b}+\frac{1}{4}\overrightarrow{c}$

C. $\overrightarrow{IG}=\frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\frac{3}{4}\overrightarrow{c}$

D. $\overrightarrow{IG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\frac{3}{4}\overrightarrow{c}$

Câu 15. Cho tứ diện ABCD. Trên mỗi cạnh của tứ diện, ta đánh dấu 4 điểm chia đều các cạnh đó thành các phần bằng nhau. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh lấy từ 24 điểm đánh dấu sao cho mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho.

A. 432

B. 288

C. 336

D. 216

Câu 16. Người ta dựng trên mặt đất bằng phẳng một chiếc lều từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài 6m và chiều rộng 5m bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh chiều dài của tấm bạt sao cho hai mép cạnh chiều rộng của tấm bạt sát đất và cách nhau x(m), hai đầu hồi của lều được thiết kế cửa ra, vào và có thể khép kín (tham khảo hình vẽ dưới. Thể tích không gian phía trong lều lớn nhất bằng $\frac{a}{b}\left(m^3\right)$ với $a,b\in {\mathbb{N}}^{*}$ và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính giá trị a + b.

A. 35

B. 27

C. 47

D. 28

Câu 17. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số $y=g\left(x\right)=\frac{2024}{f\left(x\right)-1}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

A. 8.

B. 6.

C. 5.

D. 4.

Câu 18. Trong Không gian Oxyz cho các điểm $A(5;-3;2),B\left(2;1;-2\right).$ Gọi M, N là hai điểm phân biệt thay đổi thỏa mãn $BM=BN=2$ và A, M, N thẳng hàng. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=2.AM+5.AN$ có dạng $7\sqrt{m}-n$ với m, n là các số tự nhiên. Tính giá trị 5m + n

A. 215

B. 211

C. 261

D. 169

Câu 19. Cho a, b là các số thực thỏa mãn $1<a\le b\le a^4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={\left[{\log }_a\left(\frac{a^2}{b}\right)\right]}^3-3{\log }_{\sqrt{a}}\left(\frac{a}{b}\right).$

A. 4

B. -18

C. -26

D. 6

Câu 20. Cho tứ diện OABC có $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=60°;\widehat{AOC}=90°; OA=OB=OC=1$. M là điểm thuộc cạnh OA sao cho $AM=2.MO; N$ là trung điểm của BC. Tính độ dài véc tơ $\overrightarrow{MN}$.

A. $\frac{4}{5}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{5}{6}$

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S).

Câu 1. Cho hàm số $y=\frac{x^2+x-6}{x+1}$ có đồ thị là đường cong (C). Giả sử A, B là hai điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị (C) sao cho AB song song với trục hoành. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Trên đồ thị (C) của hàm số có 8 điểm mà hoành độ và tung độ đều là số nguyên.

b) Có 2 tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng $d:y=7x+18$.

c) Giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng AB bằng $2\sqrt{5}$.

d) Đường tròn $\left(T\right):{\left(x+1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=R^2$ cắt (C) tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi $R^2>12\left(\sqrt{2}-1\right)$.

Câu 2. Cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có cạnh bằng 6 và O là giao điểm của AC và BD. Trong các mặt phẳng chứa các đường thẳng CD', gọi $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng tạo với mặt phẳng $\left(BD{D}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)$ một góc nhỏ nhất; đường thẳng $\Delta =\left(\alpha \right)\cap \left(BD{D}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)$; điểm $E=\Delta \cap BD$. Kẻ  tại H. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

a) Góc giữa $\left(\alpha \right)$ và $(BDD\text{'}B\text{'})$ là góc $\widehat{OHC}$.

b) $DE=6\sqrt{2}$.

c) Thể tích tứ diện $C\text{'}BCE$ là $V=72$.

d) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ bằng $2\sqrt{6}$.

Câu 3. Một hộp chứa 45 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ 1 đến 45. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Số cách lấy được cả 3 quả cầu đánh số chẵn bằng 1540.
b) Xác suất để tổng 3 số ghi trên 3 quả cầu là số lẻ bằng $\frac{1}{2}$.
c) Xác suất để tổng 3 số ghi trên 3 quả cầu là số chia hết cho 4 bằng $\frac{323}{1290}$.
d) Xác suất để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu là một số chia hết cho 8 bằng $\frac{523}{1290}$.

Câu 4. Tại một trường THPT, để khảo sát năng lực học môn Toán của hai lớp 12E và 12F, giáo viên đã cho học sinh ở hai lớp làm bài kiểm tra khảo sát đầu năm, thống kê điểm của học sinh được cho trong bảng sau:

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Dựa vào điểm trung bình môn Toán ta đánh giá được lớp 12E học tốt môn Toán hơn lớp 12F.

b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu thống kê điểm của lớp 12F nhỏ hơn 2,9.

c) Điểm thi có số học sinh đạt được nhiều nhất ở lớp 12E nhỏ hơn ở lớp 12F.

d) Dựa vào độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê ghép nhóm, ta thấy rằng lớp 12E học đều hơn lớp 12F.

Câu 5. Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mô hình hóa bởi hàm số$P\left(t\right)=115+20\sin \left(180\pi t\right)$ ở đó $P\left(t\right)$ là huyết áp tính theo đơn vị $mmHg$ (milimét thủy ngân) và thời gian t tính theo phút.

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Số lần huyết áp tâm thu xảy ra trong khoảng thời gian một giờ đồng hồ là 5000.

b) Chỉ số huyết áp là $135/95$.

c) Chu kì của hàm $P\left(t\right)$ là 90.

d) Trong một phút, số lần mà tốc độ thay đổi huyết áp bằng $1800\pi$($mmHg$/phút) là 180.

Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có $A(2;-1;2),B(4;3;-2),C(5;-1;6)$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Chu vi tam giác ABC là 20.

b) Tọa độ chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC là $\left(\frac{16}{5};-1;\frac{18}{5}\right).$

c) Độ dài đường cao AH của tam giác ABC là $\frac{10\sqrt{2}}{3}.$

d) Điểm $M(a;b;0)$ thuộc mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ sao cho biểu thức $2A{M}^2-3M{B}^2+4M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất thỏa mãn $a+b=1.$ 

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Cho dãy gồm 2021 số được sắp thứ tự tăng dần như sau: $C_4^4;C_5^4;\mathrm{...};C_{2023}^4;C_{2024}^4.$ Lấy ngẫu nhiên ba số hạng liên tiếp từ dãy số đã cho, biết xác suất để tổng ba số này là một số lẻ bằng $\frac{a}{b},$ với $a,b\in {\mathbb{N}}^{*}$ và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính giá trị a + b

Câu 2. Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài 30cm, chiều rộng 20cm, chiều cao 10cm. Để san bớt nước cho đỡ đầy, người ta đổ nước từ chiếc khay thứ nhất đó sang chiếc khay thứ hai (không có nước) có dạng hình chóp cụt tứ giác đều với đáy khay là hình vuông nhỏ có đường chéo dài x(cm), miệng khay là hình vuông lớn có đường chéo dài 2x(cm). Sau khi đổ, mực nước ở khay thứ hai cao bằng $\frac{2}{3}$ chiều cao của khay đó và lượng nước trong khay thứ nhất giảm đi $\frac{1}{5}$ so với ban đầu. Tính thể tích của chiếc khay thứ hai (đơn vị $c{m}^3$) với kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Câu 3. Cho hai số thực x, y thỏa mãn $x>\frac{y}{3}>0$ và $3x+y+3xy\ge 7$. Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=9x^2+\frac{1}{4}{\left(3x+5y\right)}^2-2\ln \left(1+30xy-5y^2\right)$ bằng $a-\ln b$ với a, b là các số tự nhiên. Tính giá trị a - b

Câu 4. Một mô hình trang trí có dạng là hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$, cạnh bằng 10 dm (như hình vẽ). Người ta cần nối một đường dây điện đi từ điểm E (là trung điểm của CD) đi qua điểm M thuộc cạnh AD, đi tiếp qua điểm N thuộc cạnh AA' rồi tới điểm B'. Độ dài đoạn dây điện ngắn nhất bằng bao nhiêu dm?

Câu 5. Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3+3x^2+4x+3$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên không âm của tham số m để phương trình $f\left(\sqrt[3]{f^3\left(x\right)+f\left(x\right)+m}\right)=-x^3+3x^2-4x+3$ có nghiệm $x\in [-2;1]$?

Câu 6. Có một hòn đảo nằm trong một vịnh biển, giả sử rằng đường bao sát biển của hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ Oxy là một phần bên phải trục tung của đồ thị hàm số bậc ba $y=f\left(x\right)=-x^3+3x^2+1$ và giả sử một con đường trong đất liền chạy trên một đường thẳng có phương trình là $y=-9x+45$ như hình vẽ, với đơn vị hệ trục là 100m Tập đoàn đầu tư du lịch S muốn làm một cây cầu vuợt biển có dạng một đoạn thẳng nối từ con đường trong đất liền ra hòn đảo để khai thác du lịch sinh thái. Tính độ dài ngắn nhất (đơn vị: mét) của cây cầu cần làm với kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

-------------- Hết --------------

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 hay khác:

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Thanh Hóa năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Hải Phòng năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Vũng Tàu năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Nguyễn Bính (Nam Định) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Lê Xoay (Vĩnh Phúc) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Hải Phòng năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Hải Dương năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Hải Dương năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Vĩnh Phúc năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Nho Quan A (Ninh Bình) (Lần 1) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Nho Quan A (Ninh Bình) (Lần 2) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Nông Cống 2 và 3 (Thanh Hóa) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Hậu Lộc 2 (Thanh Hóa) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Hậu Lộc 3 (Thanh Hóa) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Hậu Lộc 4 (Thanh Hóa) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Thanh Hóa năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Triệu Sơn (Thanh Hóa) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Nghệ An năm 2024-2025

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---