Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Hậu Lộc 2 (Thanh Hóa) năm 2024-2025

Bài viết cập nhật đề thi HSG Toán 12 trường THPT Hậu Lộc 2, Thanh Hóa năm 2024-2025 giúp học sinh lớp 12 ôn tập và đạt kết quả cao trong bài thi học sinh giỏi Toán 12.

Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Hậu Lộc 2 (Thanh Hóa) năm 2024-2025

Xem thử

Chỉ từ 300k mua trọn bộ Đề thi học sinh giỏi Toán 12 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết, dễ dàng chỉnh sửa:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2

KÌ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2024 – 2025 Môn: TOÁN – Lớp 12 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Biểu đồ dưới đây mô tả kết quả điều tra về mức lương khởi điểm (đơn vị: triệu đồng) của một số công nhân ở hai khu vực A và B.

So sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm về mức lương khởi điểm của công nhân khu vực A và công nhân khu vực B thì

A. Lương khởi điểm của công nhân khu vực A đồng đều hơn của công nhân khu vực B.

B. Lương khởi điểm của công nhân khu vực B đồng đều hơn của công nhân khu vực A.

C. Lương khởi điểm của công nhân khu vực A, B đồng đều nhau.

D. Lương khởi điểm của công nhân khu vực A, B quá chênh lệch.

Câu 2. Đặt $a={\log }_{27}5, b={\log }_{8}7, c={\log }_{2}3$. Khi đó ${\log }_{12}35$ bằng

A. $\frac{3ac+3b}{c+1}$

B. $\frac{2ac+3b}{c+3}$

C. $\frac{3ac+3b}{c+2}$

D. $\frac{2ac+3b}{c+2}$

Câu 3. Một cấp số nhân có 4 số hạng, số hạng đầu là 3 và số hạng thứ tư là 192. Gọi S là tổng các số hạng của cấp số nhân đó thì giá trị của S bằng bao nhiêu?

A. $S=390$

B. $S=255$

C. $S=-256$

D. $S=256$

Câu 4. Cho hộp A có 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Hộp B có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi, tính xác suất để hai viên bi được lấy ra có cùng màu.

A. $\frac{91}{135}$

B. $\frac{44}{135}$

C. $\frac{88}{135}$

D. $\frac{45}{88}$

Câu 5. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên $ℝ$ và có bảng xét dấu của $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)$ như sau:

Biết rằng $S=\left(a;b\right)$ là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số $g\left(x\right)=f\left(-\left|3x^2-12x+9\right|+m-3\right)$ có nhiều điểm cực trị nhất. Tính $T=4a-7b$.

A. -25

B. 25

C. -14

D. 73

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $A(4;1;5),B(3;2;1),C(-3;4;2)$. Điểm $M(a;b;0)$ sao cho $S=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}$ nhỏ nhất. Giá trị $3a+b$ bằng:

A. $\frac{19}{3}$

B. $\frac{28}{3}$

C. $\frac{11}{3}$

D. $\frac{20}{3}$

Câu 7. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$, biết đồ thị $y=f\text{'}\left(x\right)$ như hình vẽ

Cho các mệnh đề

(I) Hàm số $y=f\left(x\right)$ có 1 điểm cực đại

(II) $f\left(1\right)>f\left(2\right)>f\left(4\right)$

(III) $\underset{\left[-1;4\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(1\right)$

Số các mệnh đề đúng:

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Câu 8. Cho hàm số bậc ba $y=f\left(x\right)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình $f\left(f\left(x\right)\right)=1$ là

A. 9

B. 3

C. 6

D. 7

Câu 9. Một cửa hàng trang sức khảo sát một số khách hàng xem họ dự định mua trang sức với mức giá nào (đơn vị: triệu đồng). Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:

Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng phần trăm).

A. 9,98

B. 15

C. 4,43

D. 14,41

Câu 10. Biết n là số nguyên dương thỏa mãn $A_n^3+2A_n^2=100$. Hệ số của $x^5$ trong khai triển ${\left(1-3x\right)}^{2n}$ bằng:

A. $-3^5.C_{10}^5$

B. $-3^5.C_{12}^5$

C. $3^5.C_{10}^5$

D. $6^5.C_{10}^5$

Câu 11. Cho $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{x}{\sqrt[7]{x+1}.\sqrt{x+4}-2}\right)=\frac{a}{b}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính tổng $L=a+b$.

A. $L=43$

B. $L=23$

C. $L=13$

D. $L=53$

Câu 12. Hai máy bay SU 24 và SU 30 xuất phát cùng một lúc tại một sân bay M. Lúc t giờ, chiếc SU 24 đến vị trí N cách sân bay 200km về phía nam và 100 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 50km; chiếc SU 30 đến vị trí P cách sân bay 100km về phía bắc và 150km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 80km. Góc giữa hai đường thẳng MN và MP gần nhất với kết quả nào sau đây?

A. $\mathrm{133,31}°$

B. $\mathrm{56,68}°$

C. $\mathrm{46,69}°$

D. $\mathrm{50,52}°$

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm $A(7;2;3), B(1;4;3),C(1;2;6),D(1;2;3)$ và điểm M tùy ý. Tính độ dài đoạn OM khi biểu thức $P=MA+MB+MC+\sqrt{3}MD$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. $OM=\frac{3\sqrt{21}}{4}$

B. $OM=\sqrt{26}$

C. $OM=\sqrt{14}$

D. $OM=\frac{5\sqrt{17}}{4}$

Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho trước, (đơn vị đo: km), Rada phát hiện một máy bay chiến đấu Su-35 của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(300; 150; 7) đến điểm N(800; 550; 13) trong 20 phút. Tính tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo nếu máy bay giữ nguyên vận tốc và hướng bay.

A. $\left(925;650;\frac{29}{2}\right)$

B. $\left(500;400;6\right)$

C. $\left(425;250;\frac{17}{2}\right)$

D. $\left(625;750;\frac{25}{2}\right)$

Câu 15. Cho phương trình $\sin x+\sin 5x=2{\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}-x\right)-2{\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}+2x\right)$. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là ?

A. 1

B. 2

C. 4

D. 6

Câu 16. Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật có thể tích bằng 100m³. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Đáy trên bể người ta để 20% diện tích để làm nắp bể. Hãy xác định chiều rộng của đáy bể để tiết kiệm vật liệu xây bể nhất (làm tròn đến hai chữ số thập phân)?

A. 3,4

B. 3,5

C. 4,39

D. 4,40

Câu 17. Số nghiệm của phương trình ${\left(2^{\left|\cos \text{x}\right|}+x^2\right)}^{\frac{x+1}{x}}=\sqrt{2^{\left|\cos x\right|}+x^2}$ có nghiệm là

A. 1

B. 2

C. 0

D. Vô số nghiệm

Câu 18. Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 cầu trắng, 7 quả cầu đỏ và 15 quả cầu xanh. Hộp thứ hai chứa 10 cầu trắng, 6 quả cầu đỏ và 9 quả cầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để hai quả lấy ra có màu giống nhau.

A. $\frac{137}{625}$

B. $\frac{42}{625}$

C. $\frac{32}{125}$

D. $\frac{207}{625}$

Câu 19. Cho hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = 1, cạnh bên AA' = 3. Gọi M là một điểm trên đoạn CC' sao cho CM = 2MC'. Tính độ dài của véc tơ $\overrightarrow{BM}$.

A. $\sqrt{6}$

B. $\sqrt{5}$

C. $\sqrt{11}$

D. 6

Câu 20. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B. Hình chiếu của S lên (ABCD) trùng với trung điểm H của AB, mặt phẳng (SCD) tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60⁰, $AB=BC=a,AD=2a$. Tính độ dài SH.

A. $\frac{3a\sqrt{6}}{4}$

B. $\frac{a\sqrt{2}}{4}$

C. $\frac{3a\sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hàm số $y=\frac{x^2+mx}{1-x}$.

a) Khi m = 1 thì đạo hàm của hàm số là $y\text{'}=\frac{x^2-2x-1}{{\left(1-x\right)}^2}$.

b) Khi m = 1 thì hàm số có 2 điểm cực trị $x_1,x_2$ và $\left|x_1-x_2\right|=2$.

c) Khi m = 1 thì góc giữa tiệm cận đứng và tiệm cận xiên bằng 45⁰

d) Khi m = 4 khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10.

Câu 2. Cho hình hộp $ABCD\cdot A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$, biết điểm $A\left(5;-2;0\right),B\left(4;5;-2\right),C\left(0;3;2\right),A^{\text{'}}\left(9;0;5\right)$. Gọi M là trung điểm AA'.

a) Tọa độ $D\left(1;-4;4\right)$.

b) Giá trị $\text{cos}\left(\overrightarrow{MB};\overrightarrow{MD}\right)=\frac{3\sqrt{609}}{609}$.

c) $\left|\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}\right|=3\sqrt{29}$.

d) Điểm K di chuyển trên trục Ox. Đặt $Q=2\left|\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}\left|+3\right|\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}\right|$. Giá trị nhỏ nhất của Q bằng $6\sqrt{37}$.

Câu 3. Cho phương trình: $\frac{\cos 2x-m\cos x+1}{2\cos x+1}=0$

a) Điều kiện xác định của phương trình là $x\ne \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

b) Khi m = 0, phương trình có nghiệm $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$

c) Khi m = -1, tổng các nghiệm của phương trình trên $\left(-\frac{2\pi }{3};\frac{2\pi }{3}\right)$ bằng 0.

d) Phương trình đã cho có 4 nghiệm trên $\left(0;\frac{3\pi }{2}\right]$ khi và chỉ khi $m\in \left(-2;-1\right)$.

Câu 4. Bảng dưới đây biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình các tháng năm 2021 tại Hà Nội và Huế (đơn vị: độ C).

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên số liệu ở Hà Nội là: 8,75

b) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên số liệu ở Hà Nội (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là: 3,56

c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên số liệu ở Huế là: 7,75

d) Huế có nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều hơn Hà Nội vì độ lệch chuẩn nhỏ hơn.

Câu 5. Cho hình chóp đều SABC có cạnh đáy bằng a. Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC, $SO=2a$.Trên đường cao AH của tam giác ABC lấy điểm M không trùng với A và H, mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với AH. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) SO song song với mặt phẳng (P)

b) Cạnh bên của hình chóp đã cho bằng $\frac{a\sqrt{39}}{3}$

c) Gọi $\alpha$ là góc giữa mặt bên và mặt đáy có giá trị $\tan \alpha$ bằng $4\sqrt{3}$.

d) Giá trị lớn nhất của diện tích thiết diện của hình chóp SABC cắt bởi mặt phẳng (P) bằng $\frac{3a^2}{4}$

Câu 6. Một hộp đựng 50 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 50.

a) Số cách chọn được hai thẻ chẵn là 1225

b) Xác suất chọn được hai thẻ mà tích các số ghi trên hai thẻ là số chẵn bằng $\frac{37}{49}$.

c) Số cách chọn được ba thẻ mà các số ghi trên ba thẻ lập thành cấp số cộng là 780.

d) Xác suất để chọn được hai thẻ mà hiệu bình phương số ghi trên hai thẻ là số chia hết cho 3 bẳng 0.65(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.

Câu 1. Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx-\mathrm{3,}a,b$ là các tham số thực thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}a+b-2>0\\ 24+3\left(3a+b\right)<0\end{array}\right.$

Hỏi phương trình $2.f\left(x\right).f\text{'}\text{'}\left(x\right)={\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^2$ có bao nhiêu nghiệm?

Câu 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho bốn điểm $A\left(1;2;-3\right),B\left(4;0;5\right),C\left(2;0;1\right)$ và $D(6;-2;11)$. Gọi M(x, y, z) là điểm sao cho hai biểu thức $P=2M{A}^2-3M{B}^2-M{C}^2+M{D}^4$ và $Q=x+2y+2z-24$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $x+3y+z$

Câu 3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là chữ nhật, tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD), SA = a; $SC=a\sqrt{3}$ và số đo $\alpha$ của góc nhị diện $\text{[}S,AD,B\text{]}$ thỏa mãn $\tan \alpha =\frac{4\sqrt{15}}{5}$. Gọi I là điểm thỏa mãn $3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IC}+4\overrightarrow{IS}=\overrightarrow{0}$. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua AI và lần lượt cắt các tia SB, SC, SD tại ba điểm phân biệt M, N, P. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.MNP(làm tròn đến hàng đơn vị và lấy a = 15).

Câu 4. Cho hàm số đa thức $y=f\left(x\right)$ với $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ là hàm số bậc ba có hai cực trị -1; 1 và $f\text{'}(-2)=2f\text{'}\left(0\right), f\text{'}\text{'}\left(2\right)=-9$. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên $m\in (-10;10)$ để hàm số $g\left(x\right)=f\left(2x-3\right)-\ln \left(1+x^2\right)-2mx$ đồng biến trên $\left(\frac{1}{2};2\right)$ ?

Câu 5. Một khu đất trống bằng phẳng hình chữ nhật ABCD, bên cạnh là một bờ hồ hình bán nguyệt có đường kính AB như hình vẽ bên dưới. Từ vị trí A, anh Quang chèo một chiếc thuyền với vận tốc 6km/h đến điểm Q trên bờ hồ. Sau đó, anh Quang chạy bộ dọc theo thành hồ đến vị trí B với vận tốc 8 km/h, rồi chạy bộ theo đường gấp khúc BEFA để quay về vị trí A, trong đó vận tốc chạy bộ của anh Quang trên đoạn BE và FA là 6 km/h, vận tốc chạy bộ của anh Quang trên đoạn EF là 10 km/h (E, F là hai vị trí bất kỳ trên đoạn CD mà anh Quang lựa chọn). Thời gian ngắn nhất mà anh Quang di chuyển từ A rồi quay về A là bao nhiêu, biết $AD=3\text{ (km)},AB=4\text{ (km}), \widehat{QAB}=\frac{\pi }{3}$ (thời gian tính bằng phút và làm tròn đến hàng đơn vị)?

Câu 6. Có hai hộp đựng bi, các viên bi được đánh các số tự nhiên. Hộp I có 7 viên bi được đánh số 1; 2;...;7. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một viên bi. Biết rằng xác suất để lấy được viên bi mang số lẻ ở hộp II là $\frac{6}{11}$. Xác suất để lấy được cả hai viên bi lấy ra đều mang số lẻ là $\frac{a}{b}$, biết $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, $a,b\in {\mathbb{N}}^{*}$. Tính $b-a$.

----HẾT---

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU   ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12, NĂM HỌC 2024 – 2025 Môn thi: Toán học Thời gian làm bài: 120 phút, (không tính thời gian phát đề)

ĐỀ GỐC 1

Phần I (6 điểm). Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ được chọn một phương án.

Câu 1. Thời gian tập thể dục mỗi ngày của bạn Nam được thống kê lại ở bảng sau

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là

A. 23,75.        

B. 27,5.          

C. 31,85.        

D. 8,125.

Câu 2. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số lẻ bằng

A. $\frac{11}{25}$

B. $\frac{14}{25}$

C. $\frac{13}{25}$

D. $\frac{12}{25}$

Câu 3. Số nghiệm của phương trình $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=0$ trên đoạn $\left[0;10\pi \right]$ là

A. 18

B. 19

C. 20

D. 21

Câu 4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $AB=a, AD=a\sqrt{3}$và SA vuông góc với đáy, $SA=a\sqrt{3}$. Giá trị tang của góc nhị diện $\left[S,BD,A\right]$ bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. 2

C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

D. $\sqrt{3}$

Câu 5: Cho hàm số $y=\frac{x^2-2x+3}{x+2}$ có đồ thị (C). Phương trình đường tiệm cận xiên của (C) là $y=ax+b.$ Giá trị $T=4a-b$ bằng

A. 9.                                                

B. 10.                                              

C. 8.                                                

D. 11.

Câu 6. Một chất điểm chuyển động theo phương trình $S\left(t\right)=t^3-6t^2+15t+\mathrm{9,}$ trong đó t tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m). Tại thời điểm $t_0$(giây) bằng bao nhiêu thì vận tốc nhỏ nhất?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Câu 7. Cho hàm số $y=\frac{a{x}^2+2x+c}{x+b},$(với $a\ne 0$) có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị của biểu thức $P=a^2+b+c$ bằng

A. -1

B. 3

C. -2

D. 5

Câu 8. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có $AB=\mathrm{1,}AD=\mathrm{2,}AA\text{'}=3$. Điểm M thuộc cạnh CC' sao cho $MC\text{'}=2MC, N$ thuộc cạnh DD' sao cho $ND=2ND\text{'}$.  Giá trị $\cos (\overrightarrow{AM},\overrightarrow{CN})$ bằng

A. $\frac{2}{\sqrt{5}}.$

B. $\frac{-1}{\sqrt{30}}.$

C. $\frac{1}{\sqrt{30}}.$

D. $\frac{-2}{\sqrt{5}}.$

Câu 9. Cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có cạnh bằng 8. Điểm M nằm trên mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB' và A'M bằng

A. $4\sqrt{2}$

B. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

C. $3\sqrt{2}$

D. $2\sqrt{2}$

Câu 10. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có $A(0;1;2),B(2;1;4),C(-1;2;2)$. Gọi $H(x;y;z)$ là trực tâm tam giác ABC. Giá trị của biểu thức $T=x+y+z$ bằng

A. 1

B. $\frac{2}{3}.$

C. 3

D. $\frac{1}{3}.$

Câu 11. Ông An dự định sử dụng hết 8 m² kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, đáy là hình nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu mét khối ? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

A. 2,75

B. 3,25

C. 2,05

D. 2,15

Câu 12. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn ${\log }_3\frac{1-xy}{x+2y}=3xy+x+2y-4$. Giá trị nhỏ nhất  của $P=x+y$ bằng

A. $\frac{2\sqrt{11}-3}{3}.$

B. $\frac{9\sqrt{11}-19}{9}.$

C. $\frac{18\sqrt{11}-29}{21}.$

D. $\frac{9\sqrt{11}+19}{9}.$

Phần II (6 điểm). Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 3. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Mỗi tuần, một cửa hàng bán điện thoại di động trung bình bán được 1000 điện thoại A với giá 14 triệu đồng một cái. Biết rằng, nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng/1 cái, số lượng điện thoại A bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 cái mỗi tuần. Biết rằng nếu bán x cái điện thoại A thì giá mỗi cái là p(x) (triệu đồng) và hàm chi phí hàng tuần $C\left(x\right)=12000-3x$ (triệu đồng).

a) $p\left(1000\right)=14$ và $p\left(100\right)=\mathrm{13,5}$.

b) $p\left(x\right)=-\frac{1}{200}x+19.$

c) Cửa hàng đạt lợi nhuận cao nhất khi bán ra 1200 cái điện thoại A.

d) Để lợi nhuận là lớn nhất, cửa hàng nên bán mỗi cái điện thoại A là 8,5 triệu đồng.

Câu 2. Cho hàm số $y=\frac{x^2}{x-1}$ có đồ thị (C).

a) Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left(0;1\right)$ và $\left(1;2\right).$

b) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của (C) bằng $\sqrt{5}.$

c) Đường tiệm cận xiên của đồ thị (C) tạo với trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng $\frac{3}{2}$.

d) Tổng khoảng cách từ một điểm trên (C) đến hai đường tiệm cận của (C) có giá trị nhỏ nhất bằng 1.

Câu 3. Trong không gian Oxyz cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và $A(0;0;0),B(4;0;0),D(0;3;0),S(0;0;6)$. Gọi E là trung điểm của CD.

a) $C\left(4;3;0\right).$

b) Điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MS}=\overrightarrow{0}$ có tọa độ là $(-2;3;9)$.

c) Góc tạo bởi hai đường thẳng SE và BC có số đo nhỏ hơn 60⁰

d) Điểm I thuộc mặt phẳng $\left(Oyz\right)$ thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}+3\overrightarrow{IS}|$ bằng 4

Phần III (8 điểm). Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 8.

Câu 1. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với đây và SA = 3. Biết rằng khoảng cách giữa giữa hai đường thẳng AB và SD bằng $\frac{12}{5}$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng bao nhiêu?

Câu 2. Cho hàm số $y=\frac{x^2-mx-m+1}{x-1}$ có đồ thị (C) và điểm $M\left(3;7\right).$ Gọi S là tập hợp giá trị tham số m để (C) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác MAB vuông tại M. Tích tất cả các phần tử của S bằng bao nhiêu?

Câu 3. Xếp ngẫu nhiên một nhóm học sinh gồm 3 nữ và 17 nam thành một hàng ngang. Xác suất để không có học sinh nam nào mà hai bạn bên cạnh đều là nữ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 4. Một hộ sản xuất kinh doanh hạt điều sấy mỗi ngày sản xuất được x kg $\left(5\le x\le 20\right)$. Tổng chi phí sản xuất x kg được cho bởi hàm chi phí $C\left(x\right)=x^3-3x^2+19x+300$ (đơn vị: nghìn đồng). Giả sử hộ sản xuất này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 316 nghìn đồng/kg. Hỏi hộ sản xuất này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu kilôgam hạt điều để thu được lợi nhuận lớn nhất?

Câu 5. Từ một tấm bìa lục giác đều cạnh 20, bạn Hoa muốn làm một hình chóp lục giác đều bằng cách cắt bỏ phần tô đậm và dán các mép lại với nhau (các mối ghép nối có kích thước không đáng kể, tham khảo hình bên). Để thể tích hình lục giác đều tạo thành lớn nhất thì phần diện tích bạn Hoa cắt đi là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Câu 6. Trong không gian Oxyz cho ba điểm $A\left(1;4;2\right), B\left(2;-6;0\right) và C\left(-4;4;4\right)$. Điểm M thuộc mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ sao cho MB vuông góc với BC. Độ dài đoạn thẳng AM lớn nhất bằng bao nhiêu? (kết quả được làm tròn một chữ số thập phân).

Câu 7. Trên một hồ nước có hai đảo. Đảo thứ nhất có hình dạng là một parabol và đảo thứ hai có hình dạng là một hình tròn với kích thước được mô hình hóa trong hình bên. Người ta muốn xây dựng một cái cầu nối hai đảo với nhau. Hỏi chiều dài ngắn nhất có thể của cây cầu là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên $y\le 2024$ để ứng với mỗi y tồn tại hai số thực x thỏa mãn bất phương trình $e^{x^2}+\left(y+\ln x\right).e^{y+\ln x}\le \left(x^3+x\right)e^y$?

--------------- Hết --------------

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2024-2025 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 29/10/2024 Thời gian làm bài: 180 phút, không tính thời gian phát đề (Đề thi có 02 trang, 05 câu)

Câu I. (2,0 điểm)

1. Cho hàm số $y=\frac{x^2-2x-2}{x+1}$ có đồ thị (C) và điểm $M\left(1;-3\right)$. Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị (C). Tính diện tích của tam giác MAB.

2. Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng A cung cấp cho B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là x tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $p\left(x\right)=90-\mathrm{0,01}{x}^2$(triệu đồng). Chi phí để A sản xuất x tấn sản phẩm trong một tháng là $C\left(x\right)=100+15x$(triệu đồng) (gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 15 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Hỏi A bán cho B bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận cao nhất?

Câu II. (2,0 điểm)

1. Doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) được mô hình hoá bằng hàm số $f\left(t\right)=\frac{24000}{1+6e^{-t}}$ với $t\ge 0$, trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f^{\text{'}}\left(t\right)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Tốc độ bán hàng lớn nhất đạt được khi $t=lna$. Tìm a.

2. Có bao nhiêu số nguyên y để với mỗi y có đúng 2 số thực x thỏa mãn bất phương trình: $\frac{2e^x}{\sqrt{16.e^x-y}}+ln\left(16.e^x-y\right)\le 2x+2$.

Câu III. (2,0 điểm)

1. Trong trận thi đấu bóng bàn đơn nam giữa vận động viên Nguyễn Đức Tuân (người từng đoạt huy chương vàng đơn nam môn bóng bàn tại Seagames 31) với một vận động viên nước ngoài, trận đấu gồm tối đa 5 set (séc), người nào thắng trước 3 set sẽ giành chiến thắng chung cuộc. Xác suất để vận động viên Tuân thắng mỗi set là 0,6. Tính xác suất để vận động viên Tuân giành chiến thắng trong trận đấu.

2. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{y}{x}=\frac{2\sqrt{x}}{y}+2\\ y\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)=\sqrt{3x^2+3}\end{array}\right.$

Câu IV. (3,0 điểm)

1. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều có cạnh bằng 1 và $SA\perp \left(ABC\right)$. Gọi M, N lần lượt thuộc các cạnh SB, SC sao cho $SM=3MB,NC=2NS$. Tính độ dài đoạn SA và côsin của góc giữa hai đường thẳng MN và AC, biết rằng AN vuông góc CM.

2. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với $AC=a$. Biết rằng đường thẳng BC' hợp với mặt phẳng $\left(ACC\text{'}A\text{'}\right)$ một góc 30⁰ và đường thẳng BC' hợp với mặt phẳng đáy một góc $\alpha$ sao cho $\sin \alpha =\frac{\sqrt{6}}{3}$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB' và A'C'.

a) Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và AN.

Câu V. (1,0 điểm)

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn $0\le a\le b\le c\le 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\left(a^2-b^2\right)\left(b-c\right)+c^2\left(1-c\right)$

 - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - -

SỞ GD&ĐT TỈNH NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT NGUYỄN BÍNH (Đề thi gồm có 07 trang)

KỲ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LẦN 2  NĂM HỌC 2024 - 2025 MÔN THI: TOÁN 12 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM CHỌN ĐÁP ÁN: Trong mỗi câu hỏi, hãy chọn 1 đáp án.

Câu 1. [HSG&VDC MĐ2] Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

A. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{a\sqrt{5}}{5}$

C. $\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$

Câu 2. [HSG&VDC MĐ2] Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BD = a. Cạnh SA vuông góc với mặt đáy và $SA=\frac{a\sqrt{6}}{2}.$ Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và $\left(SCD\right).$

A. 60⁰

B. 120⁰

C. 45⁰

D. 90⁰

Câu 3. [HSG&VDC MĐ2] Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và có đạo hàm trên $ℝ$ thỏa mãn $f^2\left(1+2x\right)+f^3\left(1-x\right)=x$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm có hoành độ bằng 1.

A. $y=\frac{1}{7}x-\frac{6}{7}$

B. $y=\frac{-1}{7}x+\frac{6}{7}$

C. $y=\frac{1}{7}x-\frac{5}{7}$

D. $y=-\frac{1}{7}x-\frac{6}{7}$

Câu 4. [HSG&VDC MĐ2] Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 0 và 1.

A. $\frac{7}{125}$

B. $\frac{7}{150}$

C. $\frac{189}{1250}$

D. $\frac{7}{375}$

Câu 5. [HSG&VDC MĐ1] Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x-4}{2-x}$ có phương trình là

A. $y=-2$

B. $x=2$

C. $y=-1$

D. $x=4$

Câu 6. [HSG&VDC MĐ1] Hàm số $y=x^4-4x^3$ đồng biến trên khoảng

A. $\left(-\infty ;+\infty \right)$

B. $\left(3;+\infty \right)$

C. $\left(-1;+\infty \right)$

D. $\left(-\infty ;0\right)$

Câu 7. [HSG&VDC MĐ2] Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có chiều cao bằng $a\sqrt{3}$ và hai đường thẳng $A{B}^{\text{'}},B{C}^{\text{'}}$ vuông góc với nhau. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$.

A. $6a^3$

B. $\frac{5}{2}{a}^3$

C. $a^3$

D. $\frac{9}{2}{a}^3$

Câu 8. [HSG&VDC MĐ1] Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{9x^2-4}+2x^2+1}{x^2-3x}$ là 

A. 2

B. 4

C. 1

D. 3

Câu 9. [HSG&VDC MĐ1] Biết rằng đồ thị hàm số $y=\frac{\left(m-2\right)x+m+2024}{x-n-2}$ nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó giá trị của m + n bằng.

A. 2

B. 0

C. 4

D. -2

Câu 10. [HSG&VDC MĐ2] Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=x^3{(x-1)}^2(x+2),x\in ℝ$. Khoảng nghịch biến của hàm số là

A. $(-2;0)$

B. $(-\infty ;-2);(0;1)$

C. $(-\infty ;-2);(0;+\infty )$

D. $(-\mathrm{2,0});(1;+\infty )$

Câu 11. [HSG&VDC MĐ2] Cho tứ diện ABCD. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{c}$. Gọi G là trọng tâm tam giác BDC. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$

B. $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$

C. $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$

D. $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$

Câu 12. [HSG&VDC MĐ2] Cho hinh hộp $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ tâm O. Gọi I là tâm của hình bình hành ABCD. Đặt $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{C{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{v},\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{x};\overrightarrow{D{B}^{\text{'}}}=\overrightarrow{y}$. Khi đó

A. $2\overrightarrow{OI}=-\frac{1}{4}(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})$

B. $2\overrightarrow{OI}=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})$

C. $2\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})$

D. $2\overrightarrow{OI}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})$

Câu 13. [HSG&VDC MĐ2] Cho hàm số $y=-x^3-m{x}^2+\left(4m-9\right)x+15$ với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$

A. 4

B. 6

C. 7

D. 5

Câu 14. [HSG&VDC MĐ2] Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{d}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b}\right)$

B. $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d}\right)$

C. $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}\right)$

D. $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)$

Câu 15. [HSG&VDC MĐ2] Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như sau

                 Hàm số $g\left(x\right)=f\left(2x+7\right)$ nghịch biến trong khoảng nào dưới đây

A. $\left(-5;-4\right)$

B. $\left(-3;0\right)$

C. $\left(-4;-3\right)$

D. $\left(-\infty ;-5\right)$

Câu 16. [HSG&VDC MĐ1] Hàm số $y=\frac{2x+5}{x+1}$ có bao nhiêu cực trị?

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. 3

B. 0

C. 2

D. 1

Câu 17. [HSG&VDC MĐ2] Moment lực là một đại lượng vật lý, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểmhoặc một trục của một vật thể. Trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P một lực $\overrightarrow{F}$ để vặn con ốc ở vị trí O (H,5,6) thì moment lực $\overrightarrow{M}$ được tính bởi công thức $\overrightarrow{M}=\left(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{F}\right)$. Cho $\overrightarrow{OP}=\left(x;y;z\right),\overrightarrow{F}=\left(a;b;c\right)$. Nếu giữ nguyên lực tác động $\overrightarrow{F}$ trong khi thay vị trí đặt lực P sang P' sao cho $\overrightarrow{OP\text{'}}=2\overrightarrow{OP}$ moment lực là $\overrightarrow{M\text{'}}$. Khi đó $\overrightarrow{M\text{'}}=k.\overrightarrow{M}$. Tính k

A. $k=-2$

B. $k=2$

C. $k=-\frac{1}{2}$

D. $k=\frac{1}{2}$

Câu 18. [HSG&VDC MĐ2] Cho hình chóp SABC có $BC=a\sqrt{2}$, các cạnh còn lại đều bằng a. Góc giữa hai vecto $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng ?

A. 60⁰

B. 120⁰

C. 30⁰

D. 90⁰

Câu 19. [HSG&VDC MĐ2] Một chất điểm chuyển động theo quy luật $S\left(t\right)=3t^2-t^3$, trong đó t là thời gian tính bằng giây và S(t) là quãng đường tính bằng mét. Thời điểm t tại đó vận tốc $v\left(m/s\right)$ của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:

A. $t=3$

B. $t=2$

C. $t=5$

D. $t=1$

Câu 20. [HSG&VDC MĐ3] Cho parabol $\left(P_1\right):y=-x^2+6$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B và đường thẳng $d:y=a\left(0<a<6\right)$. Xét parabol $\left(P_2\right)$ đi qua 2 điểm A, B và có đỉnh thuộc đường thẳng $d:y=a$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left(P_1\right)$ và d, $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left(P_2\right)$ và trục hoành (tham khảo hình vẽ)

                 Biết $S_1=S_2$. Tính $a^3-12a^2+108a$

A. T = 218

B. T = 219

C. T = 216

D. T = 217

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI: Trong mỗi ý ở mỗi câu, hãy chọn đúng hay sai

Câu 1. [HSG&VDC MĐ2] Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\left(0\right);\left(+\infty \right)$ thỏa mãn $f\left(0\right)=1,f\left(x\right)>\mathrm{0,}\forall x\in \left(0\right);\left(+\infty \right)$ và $\frac{1}{f\left(x\right)}+\frac{1}{2f^{\text{'}}\left(x\right)+1}=\mathrm{1,}\forall x\in \left(0\right);\left(+\infty \right)$.

a) $f\left(4\right)=3$.

b) $f\left(x\right)=\sqrt{x}+2$.

c) $\int f\left(x\right)\text{d}x=\frac{1}{3}x\sqrt{x}+x+C$.

d) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=\frac{5}{3}$.

Câu 2. [MĐ2]. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và $OA=\mathrm{1,}OB=\mathrm{2,}OC=3$. Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$.

b) Tích vô hướng của hai véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{OG}$ bằng 3.

c) Độ dài véc-tơ $\overrightarrow{OG}$ bằng $\frac{\sqrt{14}}{3}$.

d) Khi điểm M thay đổi, biểu thức $Q=M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+3M{O}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất khi điểm M là trung điểm của đoạn OG

Câu 3. [HSG&VDC MĐ2] Một phần lát cắt của dãy núi có độ cao tính bằng mét được mô tả bởi hàm số $y=f\left(x\right)=-\frac{1}{1320000}{x}^3+\frac{9}{3520}{x}^2-\frac{81}{44}x+840$ với $0\le x\le 2000.$ Khi đó, xét tính đúng, sai của các khẳng định sau

a) Độ cao thấp nhất của dãy núi là 460m.

b) Độ cao  nhất của dãy núi là 1392 m.

c) Trong khoảng (a; b) (b - a lớn nhất) độ cao của dãy núi tăng dần khi đó kết quả $5a-b=450.$

d)Trong khoảng (0; c) (c lớn nhất) độ cao của dãy núi giảm dần khi đó diện tích toàn phần của khối lập phương cạnh c là $S=810000.$

Câu 4. [HSG&VDC MĐ3] Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x+3\right)}^2\left(x^2-x\right)$ với $\forall x\in R$

a) Hàm số $y=f\left(x\right)$ có 3 điểm cực trị. 

b) Hàm số $y=f\left(x\right)$ có 1 điểm cực đại.

c) Hàm số $y=f\left(x^2-6x+10\right)$ có 2 điểm cực trị.

d) Có 8 giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y=f\left(x^2-6x+m\right)$ có 5 điểm cực trị.

Câu 5. [HSG&VDC MĐ3] Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có đáy là hình thang cân, $AB=BC=CD=a,AD=2a$, O là trung điểm của cạnh AD. Biết rằng góc giữa đường thẳng $A^{\text{'}}C$ và mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ bằng 45⁰.

 Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Góc giữa đường thẳng $A^{\text{'}}C$ và mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ là $\widehat{C{A}^{\text{'}}A}$.

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B'C bằng khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng $\left(B^{\text{'}}CO\right)$.

c) Thể tích của hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ bằng $\frac{9a^3}{4}$

 d) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với đường thẳng A'C'. Biết (P) chia khối lăng trụ$ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$  thành hai khối đa diện. Thể tích của khối đa diện chứa đỉnh A bằng $\frac{15a^3}{8}$.

Câu 6. [HSG&VDC ] Cho hàm số $y=\frac{mx+3}{x+m+2}$, với m là tham số.

a. Tập xác định của hàm số là $D=ℝ\backslash \text{{}m+2\}$.

b. Với m = 2 thì hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

c. Với m = 0 thì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

d. Có 10 giá trị nguyên của tham số $m\in \text{[}-10;10]$ để hàm số $y=\left(\frac{mx+3}{x+m+2}\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN:

Câu 1. [HSG&VDC MĐ2] Cho hàm số $y=x^4-2x^2-3$. Tìm số điểm cực trị của hàm số $y=\left(x^4-2x^2-3\right)$

Câu 2. [HSG&VDC MĐ3] Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Tính $\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{DE}\right)$

Câu 3. [HSG&VDC MĐ3] Cho hàm số $f\left(x\right)=x^5+4x^3+m+2024$. Số giá trị nguyên âm của tham số m để bất phương trình $f\left(\sqrt[3]{f\left(x\right)+m}\right)\ge x^3-m$ có nghiệm thuộc đoạn $\left(0;3\right)$ là

Câu 4. [HSG&VDC MĐ3] Hình vẽ dưới đây mô tả một ngọn núi có dạng hình nón có độ dài đường sinh bằng 20m, bán kính đáy bằng 20m. Nhà đầu tư du lịch dự định xây dựng một con đường nhằm phục vụ việc chuyên chở khách du lịch thăm quan ngắm cảnh vòng quanh ngọn núi bắt đầu từ vị trí A và dừng ở vị trí B sao cho đoạn AB = 10m. Biết rằng người ta đã chọn xây dựng đường đi ngắn nhất vòng quanh núi từ A đến B, đoạn đường đầu là phần lên dốc từ A và đoạn sau sẽ xuống dốc đến B. Khi đó quãng đường xuống dốc đi từ A đến B bằng $\frac{a}{\sqrt{b}}$với $a,b\in {\mathbb{N}}^{*}$. Tính tổng $T=a+b$.

Câu 5. [HSG&VDC MĐ2] Gọi (C) là đồ thị hàm số $y=\frac{\left(m+1\right)x^2+\left(2m+1\right)x+m+2}{x+1}$ (với $m\ne -1$). Giá trị của m để tiệm cận xiên của (C)đi qua điểm $A\left(2;8\right)$.

Câu 6. [HSG&VDC MĐ4] Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm O, M là điểm thay đổi trên SO. Tỉ số $\frac{SM}{SO}=\frac{a}{b}$ sao cho $P=M{S}^2+M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2$ nhỏ nhất là bao nhiêu. Tính a + b.

Câu 7. Cho một tấm nhôm hình lục giác đều cạnh 90 (cm). Người ta cắt ở mỗi đỉnh của tâm nhôm hai hình tam giác vuông bằng nhau, biết cạnh góc vuông nhỏ bằng x(cm) (cắt phần tô đậm của tâm nhôm) rồi gập tâm nhôm như hình vẽ để được một hình lăng trụ lục giác đều không có nắp. Tính x để thể tích khối lăng trụ lục giác đều trên là lớn nhất.

Câu 8.[HSG&VDC MĐ2] Cho hàm số bậc ba $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Hỏi đồ thị hàm số $y=\frac{\left(x^2+4x+3\right)\sqrt{x^2+x}}{x\left[f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)\right]}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Câu 9: Một máy bay đang cất cánh từ phi trường. Với hệ tọa độ Oxyz được thiết lập như hình vẽ, Cho biết M là vị trí của máy bay, $OM=14, HOB={30}^o, MOC={60}^O$. Điểm $M(a,b,c)$. Tính $P=abc$?

Câu 10: Người ta muốn làm một sàn nổi hình vuông nối liền một sân khấu nổi trên mặt hồ có bờ là một nhánh đồ thị của hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}\left(C\right)$ với đất liền là nửa mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng $d:y=-x+1$. Tính diện tích S của mặt sàn nổi, biết hình vuông có 2 đỉnh nằm trên (C), 2 đỉnh còn lại nằm trên d.

----------- HẾT ----------

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI – NĂM HỌC 2024 – 2025

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG

ĐỀ THI THAM KHẢO - Môn: Toán 12

Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Trên khoảng $\left(\frac{\pi }{2};2\pi \right)$, phương trình $\cos \left(\frac{\pi }{6}-2x\right)=\sin x$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 2.

Câu 2. Với x là số nguyên dương, ba số 2x, 3x + 3, 5x + 5 theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Số hạng tiếp theo của cấp số nhân đó là

A. $\frac{250}{3}$

B. $\frac{250}{3}$

C. 250

D. -250.

Câu 3. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của $BC,B\text{'}C\text{'}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $(A\text{'}MN)\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}(ACC\text{'})$

B. $(A\text{'}BN)\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}(AC\text{'}M)$

C. $C\text{'}M\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}(A\text{'}B\text{'}B)$

D. $BN\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}(ACC\text{'}A\text{'})$

Câu 4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với (ABCD). Giả sử SA = 4; AB = 2. Xét hệ tọa độ Oxyz với gốc O trùng với đỉnh A và các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng các tia AB, AD, AS. Gọi M là trung điểm của SC (tham khảo hình dưới). Giá trị $\text{cos}\left(\overrightarrow{SB},\overrightarrow{DM}\right)$ bằng

A. $-\frac{\sqrt{30}}{10}$

B. $\frac{\sqrt{30}}{10}$

C. $\frac{3}{8}$

D. $-\frac{3}{8}$

Câu 5. Thời gian (phút) di chuyển đến trường của nhóm học sinh trường THPT X được tổng hợp dưới bảng sau:

Tứ phân vị thứ nhất của số liệu ở bảng tần số ghép nhóm trên bằng

A. 25,25

B. 28,14

C. 33,5

D. 27,25

Câu 6. Có 4 hành khách bước lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, một toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai.

A. $\frac{5}{16}$

B. $\frac{7}{16}$

C. $\frac{1}{8}$

D. $\frac{3}{16}$

Câu 7. Hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

Hàm số $g\left(x\right)=2f\left(x\right)-4x+7$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. $(1;2)$

B. $(-\infty ;1)$

C. $(2;3)$

D. $\left(\frac{5}{2};+\infty \right)$

Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình $3^{x^2-9}+\left(x^2-9\right)\cdot 5^{x+1}<1$ là khoảng $(a;b)$. Tính b - a

A. 6

B. 3

C. 8

D. 4.

Câu 9. Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng $\Delta :x-y=0$. Đường tròn (C) có bán kính $R=\sqrt{10}$, cắt $\Delta$ tại hai điểm A, B sao cho $AB=4\sqrt{2}$. Các tiếp tuyến của (C) tại hai điểm A, B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tâm đường tròn (C) bằng

A. $\sqrt{41}$

B. 5

C. $\sqrt{45}$

D. $\sqrt{34}$

Câu 10. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ biết tam giác ABC vuông tại $A,AB=3AC$.Trên cạnh CC' lấy điểm E sao cho $2EC\text{'}=3EC$. Khoảng cách từ điểm C' đến mặt phẳng $\left(A\text{'}BE\right)$ bằng 6cm. Gọi $d=\left(A\text{'}BE\right)\cap \left(ABC\right)$, số đo của góc nhị diện $\left(A^{\text{'}},d,A\right)$ bằng $30°$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ bằng bao nhiêu $c{m}^3$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

A. 3264

B. 9792

C. 294

D. 816

Câu 11. Một đoàn tình nguyện đến một trường tiểu học miền núi để trao tặng 20 suất quà cho 10 em học sinh nghèo học giỏi. Trong 20 suất quà đó gồm 7 chiếc áo mùa đông, 9 thùng sữa tươi và 4 chiếc cặp sách. Tất cả các suất quà đều có giá trị tương đương nhau. Biết rằng mỗi em nhận 2 suất quà khác loại (ví dụ một chiếc áo và một thùng sữa tươi). Trong số các em nhận quà có hai em An và Bình. Xác suất để hai em đó nhận được suất quà giống nhau bằng.

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{2}{5}$

C. $\frac{1}{15}$

D. $\frac{3}{5}$

Câu 12. Có hai học sinh lớp A ba học sinh lớp B và bốn học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh nào lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy?

A. 80640

B. 108864

C. 145152

D. 217728

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1.Bà Lan được tư vấn bổ sung chế độ ăn kiêng đặc biệt bằng cách sử dụng hai loại thực phẩm khác nhau là X và Y. Mỗi gói thực phẩm X chứa 20 đơn vị canxi, 20 đơn vị sắt và 10 đơn vị vitamin B. Mỗi gói thực phẩm Y chứa 20 đơn vị canxi, 10 đơn vị sắt và 20 đơn vị vitamin B. Yêu cầu hằng ngày tối thiểu trong chế độ ăn uống là 240 đơn vị canxi, 160 đơn vị sắt và 140 đơn vị vitamin B. Mỗi ngày không được dùng quá 12 gói mỗi loại. Gọi $x,y\left(x,y\in \mathbb{N}\right)$ lần lượt là số gói thực phẩm X và thực phẩm Y mà bà Lan cần dùng mỗi ngày.

a) Hệ bất phương trình mô tả số gói thực phẩm X và thực phẩm Y mà bà Lan cần dùng mỗi ngày trong chế độ ăn kiêng để đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với canxi, sắt và vitamin B là $\left\{\begin{array}{l}x+y\ge 12\\ 2x+y\ge 16\\ x+2y\ge 14\\ 0\le x\le 12\\ 0\le y\le 12\end{array}\right.$.

b) Miền nghiệm của hệ bất phương trình mô tả số gói thực phẩm X và thực phẩm Y mà bà Lan cần dùng mỗi ngày trong chế độ ăn kiêng để đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với canxi, sắt và vitamin B là một ngũ giác.

c) Biết 1 gói thực phẩm loại X giá 20000 đồng, 1 gói thực phẩm loại Y giá 25000 đồng khi đó bà Lan cần dùng 10 gói thực phẩm X và 2 gói thực phẩm Y trong mỗi ngày để chi phí mua là ít nhất.

d) Điểm (10; 8) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình mô tả số gói thực phẩm X và thực phẩm Y mà bà Lan cần dùng mỗi ngày trong chế độ ăn kiêng để đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với canxi, sắt và vitamin B.

Câu 2.Gọi S là tập nghiệm của phương trình $m{.3}^{x^2-3x+2}+3^{4-x^2}=3^{6-3x}+m$.

a) Khi m = 0 thì tập S có một phần tử.

b) Có vô số giá trị nguyên của m để tập S khác rỗng.

c) Tập S có không quá 3 tập con.

d) Có ít hơn ba giá trị của m để tập S có đúng 3 phần tử.

Câu 3. Cho hàm số đa thức bậc bốn $y=f\left(x\right)$ thỏa mãn $f\left(0\right)=f\left(2\right)=\frac{1}{2}$ và hàm số $f^{\text{'}}\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ

a) Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(2;+\infty \right)$.

b) Hàm số $y=f\left(x\right)$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[1;3\right]$ tại $x=2$.

c) Phương trình $f^{\text{'}}\left(\sin x\right)=0$ có 10 nghiệm thuộc đoạn $\left[0;10\pi \right]$.

d) Hàm số $g\left(x\right)=\left|18f\left(1-\frac{x}{3}\right)-x^2\right|$ có 7 điểm cực trị.

Câu 4. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 3, $SA=SB=SD=\sqrt{6}$ và tam giác ABD đều. Gọi H là trọng tâm tam giác ABD. Giả sử (P) là mặt phẳng thay đổi, luôn đi qua B và vuông góc với mặt phẳng (SCD). Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (P)

a) $SH\perp \left(ABCD\right)$

b)Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{3}{2}$

c) Khoảng cách từ B đến mặt phẳng $\left(SCD\right)$ bằng $\frac{3\sqrt{6}}{4}$.

d) Giá trị lớn nhất của $\sin \alpha$ bằng $\frac{\sqrt{6}}{4}$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6

Câu 1. Cho hình chóp SABC có ABC, SAB là các tam giác đều và mặt bên $\left(SAB\right)$ vuông góc với mặt đáy. Gọi $\alpha$ là góc phẳng nhị diện $\left[S,BC,A\right]$. Tính ${\cos }^2\alpha$.

Câu 2. Sau khi điều tra về số học sinh trong $\alpha$ lớp học của $\alpha$ trường THPT, người ta có bảng ghép nhóm như sau:

Tính trung vị của mẫu số liệu (làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 3. Cả hai xã A, B cùng ở một bên bờ sông Cấm, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là $AA\text{'}=500 \text{m},BB\text{'}=600 \text{m}$ và người ta đo được $A\text{'}B\text{'}=2200 \text{m}$ (Hinh vẽ). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Cấm cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí M của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn A'B' sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí M là nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó có dạng $a\sqrt{b}(a,b\in ℝ)$. Tính $a-20b$.

Câu 4. Với mức tiêu thụ thức ăn của một trang trại A không đổi như dự định thì lượng thức ăn dự trữ sẽ đủ cho 100 ngày. Nhưng thực tế, mức tiêu thụ thức ăn tăng thêm 4% mỗi ngày ( ngày sau tăng 4% so với ngày trước đó). Hỏi thực tế lượng thức ăn dự trữ đó chỉ đủ dùng cho bao nhiêu ngày?

Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(1;-1;0\right)$ và hai điểm $A\left(-4;7;3\right), B\left(4;4;5\right)$. Giả sử M, N là hai điểm thay đổi trong mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ luôn cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ và $MN=5\sqrt{2}$. Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức $T={\left(AM-BN\right)}^2$.

Câu 6. Bé An có một bảng hình chữ nhật gồm 6 hình vuông đơn vị, cố định không xoay hình vẽ. Bé muốn dùng 3 màu để tô tất cả các cạnh của các hình vuông đơn vị, mỗi cạnh tô một lần sao cho mỗi hình vuông đơn vị được tô bởi đúng 2 màu, trong đó mỗi màu tô đúng 2 cạnh. Biết x là số cách bé An tô màu, tính x - 10000.

----------- HẾT ----------

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 hay khác:

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Thanh Hóa năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Hải Phòng năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Vũng Tàu năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Nguyễn Bính (Nam Định) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Lê Xoay (Vĩnh Phúc) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Hải Phòng năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Bắc Giang năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Hải Dương năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Hải Dương năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Vĩnh Phúc năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Nho Quan A (Ninh Bình) (Lần 1) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Nho Quan A (Ninh Bình) (Lần 2) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Nông Cống 2 và 3 (Thanh Hóa) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Hậu Lộc 3 (Thanh Hóa) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Hậu Lộc 4 (Thanh Hóa) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Thanh Hóa năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Triệu Sơn (Thanh Hóa) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Nghệ An năm 2024-2025

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---