Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Nghệ An năm 2024-2025

Bài viết cập nhật đề thi HSG Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Nghệ An năm 2024-2025 giúp học sinh lớp 12 ôn tập và đạt kết quả cao trong bài thi học sinh giỏi Toán 12.

Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Nghệ An năm 2024-2025

Xem thử

Chỉ từ 300k mua trọn bộ Đề thi học sinh giỏi Toán 12 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết, dễ dàng chỉnh sửa:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

Câu 1. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD, điểm P thuộc cạnh SA. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(SAD\right)$ và $\left(PMN\right)$ là

A. PD

B.  đường thẳng qua P và song song song với MC.

C.  đường thẳng qua P và song song song với AC.

D.  đường thẳng qua P và song song song với BC.

Câu 2. Nếu $D_0$ là chênh lệch nhiệt độ ban đầu giữa một vật M và các vật xung quanh, và nếu các vật xung quanh có nhiệt độ $T_S$, thì nhiệt độ của vật M tại thời điểm t được mô hình hóa bởi hàm số: $T\left(t\right)=T_S+D_0\cdot e^{-kt}\left(1\right)$ (trong đó k là hằng số dương phụ thuộc vào vật M). Một con gà tây nướng được lấy từ lò nướng khi nhiệt độ của nó đã đạt đến ${195}^{°}F$ và được đặt trên một bàn trong một căn phòng có nhiệt độ là ${65}^{°}F$. Biết rằng sau nửa giờ nhiệt độ của gà tây là ${150}^{°}F$. Hỏi nhiệt độ của gà tây sau 60 phút gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. ${123}^{°}F$

B. ${121}^{°}F$

C. ${120}^{°}F$

D. ${124}^{°}F$

Câu 3. Một thùng đựng 25 viên bi được đánh số từ 1 đến 25 mỗi bi mang một số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi, xác suất để các số ghi trên bi tạo thành cấp số cộng là

A. $\frac{9}{1265}$

B. $\frac{91}{12650}$

C. $\frac{4}{575}$

D. $\frac{2}{275}$

Câu 4. Có hai chiếc cọc cao 10m và 30m lần lượt đặt tại hai vị trí A, B Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng 24m. Người ta chọn một cái chốt ở vị trí M trên mặt đất nằm giữa hai chân cột để giang dây nối đến hai đỉnh C và D của cọc (như hình vẽ). Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào đề tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất?

A. $AM=4m,BM=20m$

B. $AM=6m,BM=18m$

C. $AM=12m,BM=12m$

D. $AM=7m,BM=17m$

Câu 5. Một căn nhà có dạng là một hình lăng trụ ngũ giác đứng với các kích thước như hình vẽ. Hãy tính thể tích căn nhà.

A. $\mathrm{254,4}\left(m^3\right)$

B. $\mathrm{151,2}\left(m^3\right)$

C. $\mathrm{254,3}\left(m^3\right)$

D. $\mathrm{302,4}\left(m^3\right)$

Câu 6. Một vật dao động xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình $x=\mathrm{1,5}\cos \left(\frac{t\pi }{4}\right)$; trong đó t là thời gian được tính bằng giây và quãng đường $h=\left|x\right|$ được tính bằng mét là khoảng cách theo phương ngang của chất điểm đối với vị trí cân bằng. Trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 giây thì vật đi qua vị trí cân bằng mấy lần?

A. 6

B. 3

C. 4

D. 5

Câu 7. Khảo sát thời gian sử dụng điện thoại trong một ngày của học sinh lớp $11A_{01}$ thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là

A. $\left[0;20\right)$

B. $\left[20;40\right)$

C. $\left[40;60\right)$

D. $\left[60;80\right)$

Câu 8. Lớp $12A_1$ có 45 học sinh gồm 23 bạn nữ và 22 bạn nam, trong đó bạn Việt (nam) làm lớp trưởng. Sắp xếp học sinh để chụp ảnh kỉ yếu trong đó có 21 bạn đứng hàng trước trong đó có bạn Việt đứng ở chính giữa và 24 bạn đứng hàng sau. Số cách sắp xếp là

A. $A_{45}^{20}.24!$

B. $C_{45}^{21}.24!$

C. $C_{45}^{20}.24!$

D. $A_{44}^{20}.24!$

Câu 9. Aladin nhặt được cây bút thần. Bút thần cho chàng 3 điều ước. Aladin ước 2 điều đầu tiên tùy thích, nhưng điều ước thứ 3 của chàng là: "Ước gì ngày mai tôi lại nhặt được bút thần và bút thần cho tôi số điều ước gấp đôi số điều ước ngày hôm nay". Bút thần chấp thuận và mỗi ngày Aladin đều thực hiện theo quy tắc như trên: ước hết các điều đầu tiên và luôn chừa lại điều ước cuối cùng để kéo dài thỏa thuận với bút thần cho ngày hôm sau (biết rằng mỗi ngày sau khi Aladin thực hiện xong các điều ước thì bút thần sẽ biến mất và trừ điều ước cuối cùng thì các điều ước còn lại của Aladin ở mỗi ngày là khác nhau). Sau 5 ngày gặp bút thần, tổng số điều ước khác nhau của Aladin là

A. 93

B. 88

C. 15

D. 89

Câu 10. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên $ℝ$, biết hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số $y=f\left(x^2\right)$đồng biến trên khoảng

A. $\left(-2;-1\right)$

B. $\left(0;2\right)$

C. $\left(-\frac{1}{2};0\right)$

D. $\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$

Câu 11. Tìm m để $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\text{ khi }x>0\\ 2x^2+3m+1\text{ khi }x\le 0\end{array}\right.$ liên tục trên $ℝ$.

A. $m=1$

B. $m=2$

C. $m=0$

D. $m=-\frac{1}{6}$

Câu 12. Trong hình dưới đây, chiếc laptop được mở gợi nên hình ảnh của một góc nhị diện. Ta gọi số đo góc nhị diện đó là độ mở của laptop, tính độ mở của laptop

A. ${\mathrm{53,53}}^0$

B. ${\mathrm{106,47}}^0$

C. ${\mathrm{126,47}}^0$

D. ${\mathrm{2,21}}^0$

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai, gồm 4 câu, tổng 4,0 điểm. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a) b) c) d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Một mô hình kim tự tháp có dạng hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng 12cm và chiều cao bằng 16cm. Hãy cho biết tính đúng, sai của các mệnh đề sau

a) $AB\text{//}\left(SCD\right)$.

b)  Gọi M là điểm nằm trên cạnh SD sao cho $SM=2MD$. Mặt phẳng $\left(ABM\right)$ cắt SC tại N. Thể tích của khối chóp $S.ABNM$ bằng $\mathrm{426,67}c{m}^2$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

c)  Góc nhị diện $\left[S,BC,D\right]$ có độ lớn bằng $69°26\text{'}$ (kết quả làm tròn đến phút).

d)  Khoảng cách giữa AD và mặt phẳng $\left(SBC\right)$ bằng $\mathrm{11,23}cm$. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 2. Trong một chương trình tư vấn tuyển sinh có 7 khách mời tham gia tư vấn, gồm 4 nam là M, N, P, Q và 3 nữ là X, Y, Z. Kết thúc chương trình, các khách mời đã giải đáp 7 câu hỏi. Thông tin được ghi nhận trong chương trình là:

- Mỗi người giải đáp tối đa hai câu và không có người nào giải đáp hai câu liên tiếp.

- Câu đầu tiên và câu cuối cùng được giải đáp bởi hai khách mời nữ.

- Q giải đáp hai câu và Y giải đáp sau khi Q đã giải đáp xong.

- Nếu N giải đáp ít nhất một câu thì M cũng giải đáp ít nhất một câu.

- P hoặc không giải đáp câu nào hoặc giải đáp hai câu.

       Hãy cho biết tính đúng, sai của các mệnh đề sau

a)  Danh sách giải đáp của các khách mời, theo thứ tự từ đầu đến cuối có thể là X, P, N, Q, P, Q, Y.

b)  Nếu N giải đáp hai câu thì P giải đáp câu thứ hai.

c)  Nếu người giải đáp câu thứ tư cũng là người giải đáp câu thứ sáu thì Z không giải đáp câu thứ bảy.

d)  Hai khách mời N và P có ít nhất một người không giải đáp câu nào.

Câu 3. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $ℝ$. Hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ có đồ thị như hình bên dưới.

Các khẳng định dưới đây đúng hay sai ?

a)  Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(0;1\right)$.

b)  Hàm số $y=f\left(x\right)$ có ba điểm cực trị.

c)  Hàm số $y=f\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ dương.

d)  Hàm số $g\left(x\right)=f\left(x-1\right)-x$ đồng biến trên khoảng $\left(-1;0\right)$.

Câu 4. Một công ty chuyên về mua bán xe ô tô đã qua sử dụng, sau khi khảo sát thị trường trong thời gian 6 tháng đã đưa ra công thức chung về giá trị còn lại của ô tô 4 chỗ kể từ khi đưa vào sử dụng (các loại xe 4 chỗ không sử dụng mục đích kinh doanh) là $P\left(t\right)=A.{\left(\frac{3}{4}\right)}^{\frac{t}{4}}$. Trong đó A là giá tiền ban đầu mua xe (triệu đồng), t là số năm kể từ khi đưa xe vào sử dụng. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a)  Theo cách tính của công ty trên, sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc xe giảm đi 8% so với giá trị ban đầu của xe.

b)  Anh Bình mua chiếc xe 4 chỗ chưa qua sử dụng với giá 700 triệu, anh sử dụng được 30 tháng rồi bán với giá 584 triệu. Còn anh Cường mua chiếc xe 4 chỗ chưa qua sử dụng với giá 630 triệu, anh sử dụng được 2 năm rồi bán với giá 530 triệu. Anh Bình bán xe được giá hơn anh Cường.

c)  Công ty mua một chiếc xe đã được sử dụng 4 năm với giá  500 triệu đồng. Vậy giá trị của chiếc xe lúc xuất xưởng là 705 triệu đồng.

d)  Anh An mua chiếc xe 4 chỗ chưa qua sử dụng với giá 520 triệu, anh sử dụng được một năm thì bán với giá 485 triệu. Theo cách tính của công ty trên anh An đã bán lỗ.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn, gồm 2 câu, tổng 1,0 điểm (mỗi câu 0,5 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2.

Câu 1. Tính tổng các giá trị của m để hàm số $y=4x^3+m{x}^2-3x+1$ có hai điểm cực trị $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1=-2x_2$.

Câu 2. Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định dựng bốn chiếc cột cao 28m và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn. Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm $M\left(90;0;28\right),N\left(90;120;28\right),P\left(0;120;28\right)$ và $Q\left(0;0;28\right)$ (xem hình minh họa). Giả sử $K_0$là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 26 và $K_{0}M=K_0 N=K_{0}P=K_{0}Q$. Để theo dõi quả bóng đến vị trí A, camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm ${\text{K}}_1$ có cao độ bằng 18.

Tính tổng các tọa độ của ${\text{K}}_1$.

-------- HẾT--------

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  THANH HÓA KHỐI THPT TRIỆU SƠN - THPT LÊ LỢI (ĐỀ CHÍNH THỨC) MÃ ĐỀ: 121.

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LIÊN TRƯỜNG LẦN 2 NĂM HỌC 2024 – 2025 MÔN: TOÁN. Thời gian làm bài: 90 phút Ngày khảo sát: 22/11/2024 (Đề gồm 06 trang)

PHẦN I. (8,0 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $ℝ$ và có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x+1\right)}^2{\left(x-1\right)}^3\left(2-x\right)$. Hàm số $y=f\left(\frac{x}{2}+1\right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left(-1;1\right)$

B. $\left(0;1\right)$

C. $\left(-\infty ;-1\right)$

D. $\left(2;+\infty \right)$

Câu 2: Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào

A. $y=\frac{2x-1}{x+1}$

B. $y=\frac{2x-3}{x+1}$

C. $y=\frac{2x+3}{x+1}$

D. $y=\frac{2x+1}{x+1}$

Câu 3: Cho hàm số $f\left(x\right)=a{x}^5+b{x}^3+cx\left(a>\mathrm{0,}b>0\right)$ thỏa mãn $f\left(3\right)=-\frac{7}{3};f\left(9\right)=81$. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho $\underset{\left[-1;5\right]}{\max }\left|g\left(x\right)\right|+\underset{\left[-1;5\right]}{\min }\left|g\left(x\right)\right|=86$ với $g\left(x\right)=f\left(1-2x\right)+2f\left(x+4\right)+m$. Tổng các phần tử của S là

A. -74

B. 11

C. 5

D. -75

Câu 4: Cho một cấp số nhân với công sai $q=3, u_5=12$. Tìm tổng của số hạng thứ tư và số hạng thứ tám của cấp số nhân đó.

A. 324

B. 332

C. 328

D. 976

Câu 5: Giá trị của tham số m sao cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}\text{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}khi\hspace{0.33em}}x>0\\ \frac{m(8-5x)}{4}\text{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}khi\hspace{0.33em}}x\le 0\end{array}\right.$ liên tục tại $x=0$ là

A. 3

B. $\frac{4}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{8}$

Câu 6: Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$. Đặt $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AC}$. Gọi G' là trọng tâm của tam giác A'B'C'. Véc tơ $\overrightarrow{A{G}^{\text{'}}}$ bằng

A. $\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$

B. $\frac{1}{3}\left(3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$

C. $\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{3c}\right)$

D. $\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$

Câu 7: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ có $AB=AE=2, AD=3$ và đặt $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AD},\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AE}$. Lấy điểm M thỏa $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AD}$ và điểm N thỏa $\overrightarrow{EN}=\frac{2}{5}\overrightarrow{EC}$, độ dài đoạn $MN=\frac{\sqrt{a}}{b}$ với $a\in \mathbb{N},b\in {\mathbb{Z}}^{+}$. Tính a + b

A. 64

B. 65

C. 66

D. 68

Câu 8: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A_1{B}_1{C}_1$ có cạnh đáy bằng x và chiều cao bằng y. Để Góc $\left(A{C}_1,C{B}_1\right)>60°$ thì $\frac{y}{x}$ thuộc khoảng nào

A. $\left(0;\sqrt{2}\right)$

B. $\left(\sqrt{2};\frac{3}{2}\right)$

C. $\left(\frac{3}{2};2\right)$

D. $\left(2;2\sqrt{3}\right)$

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{OM}=\left(1;5;2\right), \overrightarrow{ON}=\left(3;7;-4\right), K\left(-1;3;1\right)$. Gọi P là điểm đối xứng với M qua N. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{KP}$.

A. $\overrightarrow{KP}=\left(6;6;-11\right)$

B. $\overrightarrow{KP}=\left(8;6;-11\right)$

C. $\overrightarrow{KP}=\left(6;6;-4\right)$

D. $\overrightarrow{KP}=\left(3;3;-2\right)$

Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left(-3;0;0\right), B\left(0;-4;0\right)$. Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác OAB. Độ dài đoạn thẳng $IJ=\frac{\sqrt{a}}{b}$ với $a\in \mathbb{N},b\in {\mathbb{Z}}^{+}$. Tính 2a + b

A. 8

B. 9

C. 10

D. 12

Câu 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(-2;3;1\right), B\left(2;1;0\right), C\left(-3;-1;1\right)$. Biết tọa độ điểm $D\left(x;y;z\right)$ sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và $S_{ABCD}=3S_{\Delta ABC}$.Tính x + y + z

A. 8

B. -9

C. -10

D. 12

Câu 12: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của AB, hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CI, góc giữa SA và mặt đáy bằng 45⁰. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CG bằng $\frac{a\sqrt{m}}{n}(m,n\in \mathbb{Z},m<100)$.Tính m + n?

A. 35

B. 22

C. 99

D. 28

Câu 13: Cho mẫu số liệu về chiều cao (cm) của các học sinh nữ trong khối 11 của một trường như sau:

Giá trị đại diện của nhóm $\left[155;160\right)$ là

A. 157,5

B. 155

C. 157

D. 160

Câu 14: Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một chi nhánh của doanh nghiệp được ghi lại dưới bảng sau ( đơn vị: triệu đồng):

Hãy tính tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

A. 7,86

B. 7,68

C. 7,81

D. 7,56

Câu 15:   Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=4{\cos }^{2}x+\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$. Tính giá trị biểu thức $T=M^2+m^2$.

A. $T=14$

B. $T=15$

C. $T=12$

D. $T=17$

Câu 16: Cho phương trình $\sin x+\sin 5x=2{\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}-x\right)-2{\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}+2x\right)$. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là ?

A. 1

B. 2

C. 4

D. 6

Câu 17: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{9^x}{3+9^x},x\in R$. Nếu $a+b=3$ thì $f\left(a\right)+f\left(b-2\right)$ có giá trị bằng

A. 1

B. 2

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{3}{4}$

Câu 18: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng $\left(-9;9\right)$ của tham số m để bất phương trình $3\log x\le 2\log \left(m\sqrt{x-x^2}-\left(1-x\right)\sqrt{1-x}\right)$ có nghiệm thực?

A. 6

B. 7

C. 10

D. 11

Câu 19: Một hộp đựng 26 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 26. Bạn Hải rút ngẫu nhiên cùng một lúc bốn tấm thẻ trong hộp . Hỏi có bao nhiêu cách rút bốn tấm thẻ sao cho bất kỳ hai trong bốn tấm thẻ lấy ra đó có hai số tương ứng trên hai tấm thẻ luôn hơn kém nhau ít nhất 2 đơn vị?

A. 2024

B. 8855

C. 7315

D. 10626

Câu 20: Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có tám chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A, tính xác suất để số tự nhiên được chọn chia hết cho 7?(Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

A. 0,17

B. 0,14

C. 0,21

D. 0,12

PHẦN II. (7,2 điểm) Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x^2+x-5}{x+3}$.

a) Hàm số nghịch biến trên $\left(-7;-3\right)$.

b) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2.

c) Có 15 giá trị nguyên của tham số p thuộc khoảng (0; 20) để đồ thị hàm số số $y=\frac{2024}{f\left(x\right)+p}$ có đúng ba đường tiệm cận.

d) Có 2022 giá trị nguyên của tham số m thuộc $\left[-2024;2025\right]$ để hàm số $g\left(x\right)=f\left(x^2-2x-m\right)$ có 5 điểm cực trị.

Câu 2:     Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left(0;0;-1\right),B\left(-1;1;0\right),C\left(1;0;1\right)$.

a) Điểm $I(\frac{-1}{2};\frac{1}{2};\frac{-1}{2})$ là trung điểm của đoạn thẳng AB.

b) Khi tứ giác ABCD là hình bình hành thì $O\text{D}=\sqrt{6}$.

c) Điểm $H(a;b;c)$ là chân đường cao kẻ từ A xuống cạnh BC của tam giác ABC. Khi đó $a+b+c=\frac{5}{3}$.

d) Biết điểm $M(x;y;z)$ để biểu thức $3M{A}^2+2M{B}^2-M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó $4x\text{\hspace{0.17em}-\hspace{0.17em}2y\hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}z\hspace{0.33em}}=2024$.

Câu 3:     Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}, C{C}^{\text{'}}, AD$. Biết rằng BM và NP vuông góc với nhau.

a) Góc giữa hai đường thẳng AC và MP bằng 90⁰.

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BP và MC' bằng $a\sqrt{2}$.

c) Nếu $\phi$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left(MNP\right)$ và $\left(ABCD\right)$ thì $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{3}$

d) Thể tích khối tứ diện AMNP bằng $\frac{1}{16}{a}^3$

Câu 4: Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Ký hiệu $X=\left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\right\}$. Xét phép thử: “Rút ngẫu nhiên n tấm thẻ từ hộp đã cho”.

a) Mỗi tập con gồm 3 thẻ được lấy từ hộp là số tổ hợp chập 3 của 9.

b) Mỗi số có 3 chữ số đôi một khác nhau lập từ X là một chỉnh hợp chập 3 của 9.

c) Số tập con của tập X là 256.

d) Gọi A là biến cố: “Có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 3”. Số lần rút tấm thẻ để xác suất của biến cố A bằng $\frac{83}{84}$ là 6.

Câu 5: Mức lương theo tháng (đơn vị: triệu đồng) của nhân viên ở hai công ty A, B như sau:

a) Mức lương trung bình theo tháng của nhân viên ở công ty A là 20,67 triệu đồng (làm tròn đến hàng phần trăm).

b) Đối với công ty A, nhân viên có mức lương tối đa khoàng 18 triệu đồng.

c) Đối với công ty B, 25% số nhân viên có mức lương từ 26,11 triệu đồng trở lên (làm tròn đến hàng phần trăm).

d) Công ty A có mức lương đồng đều hơn công ty B?

Câu 6: Cho phương trình $\frac{\cos x.\cos 2x-m.\cos x+\cos 2x-m}{\sin x}=0$ với m là tham số.

a) Điều kiện xác định của phương trình là $x\ne k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

b) Với m = 1, phương trình đã cho có 2 nghiệm thuộc $\left[0;2\pi \right]$

c) Khi $m=\frac{1}{2}$ các nghiệm của phương trình được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là một đa giác. Diện tích đa giác đó bằng $\sqrt{3}$.

d) Có hai giá trị m để 4m nguyên và phương trình có đúng 2 nghiệm $x\in \left[0;\frac{2\pi }{3}\right]$.

PHẦN III. (4,8 điểm) Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1: Một nhà địa chất học đang ở tại điểm A trên sa mạc. Anh ta muốn đến điểm B và cách A một đoạn là 70km. Trong sa mạc thì xe anh ta chỉ có thể di chuyển với vận tốc là 30km/h. Nhà địa chất phải đến được điểm B sau 2 giờ. Vì vậy, nếu anh ta đi từ A đến B sẽ không thể đến đúng giờ được. May mắn thay, có một con đường nhựa song song với đường nối A và B và cách AB một đoạn 10km. Trên đường nhựa đó thì xe nhà địa chất này có thể di chuyển với vận tốc 50km/h. Thời gian ngắn nhất để nhà địa chất di chuyển từ A đến B là bao nhiêu phút.

Câu 2: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên tập R, biết $f\text{'}\left(x\right)=x^{2024}{(x-2)}^{2025}\left(x^2-8x+m^2-3m-4\right),\forall x\in R$. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $y=f\left(\right|x\left|\right)$ có 5 điểm cực trị. Tính tổng tất cả các giá trị của các phần tử của tập hợp S.

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left(2;2;0\right),B\left(2;0;-2\right)$ và điểm $M\left(a,b,c\right)$ với a, b, c là các số thực thay đổi thỏa mãn $a+2b-c-1=0$. Biết $MA=MB$ và góc $\widehat{AMB}$ có số đo lớn nhất. Tính $S=a.b.c$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Câu 4:     Bạn Hoa chọn ngẫu nhiên 3 số phân biệt trong tập hợp $\left\{\mathrm{1,2,3,4,5,6,7,8,9}\right\}$ và sắp xếp chúng theo thứ tự giảm dần để tạo thành một số gồm ba chữ số. Bạn Bình chọn ngẫu nhiên 3 số phân biệt trong tập hợp $\left\{\mathrm{1,2,3,4,5,6,7,8}\right\}$ và sắp xếp chúng theo thứ tự giảm dần để tạo thành một số gồm ba chữ số. Tìm xác suất sao cho số của Hoa lớn hơn số của Bình (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 5: Cho tấm tôn hình lục giác đều cạnh 24cm. Người ta cần làm một hình chóp lục giác đều bằng cách cắt bỏ đi các phần tô đậm là các tam giác cân, sau đó gập và hàn lại (các đường hàn không đáng kể) thành hình chóp lục giác đều (như hình vẽ dưới đây). Thể tích lớn nhất khối chóp tạo thành bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Câu 6: Cho hàm số $f\left(x\right)=4^{-x}-4^x-\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$. Tìm số giá trị nguyên $m\in \left[-2024;2024\right]$ để bất phương trình $f\left(x^2+2mx+\sin x\right)+f\left(4x-\sin x-2m+11\right)\ge 0$ nghiệm đúng $\forall x\in \left[2;6\right]$?

…………HẾT………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 GDTX CẤP TỈNH NĂM HỌC 2024-2025 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 29/10/2024 Thời gian làm bài: 180 phút, không tính thời gian phát đề Đề thi có 1 trang

Câu I. (3,0 điểm):

1) Cho hàm số $y=x^3+3x^2-9x-3$ có đồ thị (C).

a) Gọi A, B là hai điểm cực trị của (C). Tính độ dài đoạn AB.

b) Cho $M\left(0;1\right)$. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB.

2) Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được cho bởi công thức $f\left(t\right)=\frac{26t+10}{t+5}$($f\left(t\right)$ được tính bằng nghìn người). Xem $y=f\left(t\right)$ là một hàm số xác định trên $\left[0;+\infty \right)$.

a) Dân số của thị trấn đó vào năm 2025 là bao nhiêu?

b) Dân số của thị trấn đó không thể vượt quá bao nhiêu nghìn người?

Câu II. (2,0 điểm):

1) Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể sau t giờ được cho bởi công thức $C\left(t\right)=\frac{2t}{t^2+1}$(đơn vị là miligam/lít). Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất.

2) Có 6 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ.

Câu III. (2,0 điểm):

1) Giải phương trình: $2\sin x.\cos x-2\sin x+cosx-1=0$.

2) Giải phương trình: $9^{3x+2}={27}^{5-6x}$.

Câu IV. (2,0 điểm):

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, tâm O. Cho $SO\perp \left(ABCD\right)$ và $SA=a\sqrt{3}$.

1) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$

2) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $\left(SCD\right)$.

Câu V. (1,0 điểm):

Cho tam giác ABC có $A\left(2;3\right)$ và hai đường cao kẻ từ B, C lần lượt có phương trình là $\left(d_1\right):3x+2y-3=\mathrm{0,}\left(d_2\right):x-3y+4=0$. Viết phương trình đường thẳng BC.

- - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - -

SỞ GD & ĐT NINH BÌNH TRƯỜNG THPT NHO QUAN A

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2024-2025 LẦN 2 Môn thi: Toán Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn, gồm 12 câu, tổng 3,0 điểm. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.(Mỗi câu đúng 0,25 điểm)

Câu 1. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như Hình 1.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. $\left(0;1\right)$

B. $\left(1;2\right)$

C. $\left(-1;0\right)$

D. $\left(-1;1\right)$

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+4x-2y-8=0$ và điểm $A\left(0;-2;0\right)$ thuộc (S). Mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A có phương trình là

A. $2x+3y+6=0$

B. $y+2=0$

C. $2x-3y-6=0$

D. $2x-3y-4z-6=0$

Câu 3. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ thỏa mãn $f\left(x\right)>0, \forall x\in ℝ$ và hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số $y=e^{2f\left(x\right)+1}-{4.2}^{f\left(x\right)}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3

B. 2

C. 4

D. 5

Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x^2-4x+10}$ trên đoạn $\left[-4;1\right]$.

A. $\sqrt{7}$

B. 0

C. $\sqrt{6}$

D. $\sqrt{10}$

Câu 5. Gọi $x_1, x_2$là các nghiệm của phương trình $2^{x-1}=3^{x^2-x}$. Tính giá trị của biểu thức $M=3^{x_1}+3^{x_2}$.

A. $M=6$

B. $M=4$

C. $M=5$

D. $M=12$

Câu 6. Độ sâu h(m) của mực nước ở một cảng biền vào thời điểm t (giờ) sau khi thuỷ triều lên lần đầu tiên trong ngày được tính xấp xì bởi công thức $h\left(t\right)=\mathrm{0,8}\text{cos}\mathrm{0,5}t+4$. Một con tàu cần mực nước sâu tối thiểu 3,6 m đề có thể đi chuyển ra vào cảng an toàn. Hãy cho biết trong vòng 12 tiếng sau khi thuỷ triều lên lần đầu tiên có bao nhiêu thời điềm t để tàu có thể hạ thuỷ.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 7. Một hộp có 6 bi đỏ,5 bi xanh và 4 bi trắng cùng kích thước. Rút ngẫu nhiên lần lượt từng viên bi không trả lại cho đến khi được viên bi đỏ thì dừng. Hãy tìm xác suất để không có viên bi xanh nào được rút ra

A. $\frac{8}{11}$

B. $\frac{2}{11}$

C. $\frac{4}{11}$

D. $\frac{6}{11}$

Câu 8. Số cách chia 12 phần quà cho 3 học sinh sao cho ai cũng có ít nhất hai phần quà là

A. 36

B. 28

C. 66

D. 220

Câu 9. Cho hai điểm $A(0;6);B(8;0)$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$ có phương trình là

A. ${\left(x-8\right)}^2+{\left(y-6\right)}^2=25$

B. ${\left(x+4\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=25$

C. ${\left(x+4\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=100$

D. ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=25$

Câu 10. Cho hình hộp $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có đáy ABCD là hình bình hành. Hình chiếu vuông góc của B' lên đáy (ABCD) trùng với điểm H nằm trên BD sao cho DH = 2BH. Biết $B^{\text{'}}H=2a\sqrt{3},BD=3a, HC=2a,BC=a\sqrt{5}$. Góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left(B^{\text{'}}HC\right)$ và $\left(B^{\text{'}}BC{C}^{\text{'}}\right)$ bằng

A. 60⁰

B. 30⁰

C. 90⁰

D. 45⁰

Câu 11. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $M\left(3;-2;5\right), N\left(-1;6;-3\right)$. Mặt cầu đường kính MN có phương trình là:

A. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=6$

B. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=6$

C. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=36$

D. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=36$

Câu 12. Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô đen như hình vẽ dưới).

Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng

A. $800{\text{\hspace{0.17em}cm}}^{\text{2}}$

B. $\frac{800}{3}{\text{\hspace{0.17em}cm}}^{\text{2}}$

C. $\frac{400}{3}{\text{\hspace{0.17em}cm}}^{\text{2}}$

D. $250{\text{\hspace{0.17em}cm}}^{\text{2}}$

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai, gồm 4 câu, tổng 4,0 điểm. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a) b) c) d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A_1{B}_1{C}_1$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại A, $AB=AC=a$ và cạnh bên $A{A}_1=a\sqrt{2}A{A}_1=a\sqrt{2}$ (tham khảo hình vẽ)

a) Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A_1{B}_1{C}_1$ bằng $\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$

b) Góc giữa hai đường thẳng $B{C}_1$ và AC bằng $60°$.

c) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left(A_{1}B{C}_1\right)$ bằng $\frac{a\sqrt{6}}{6}$.

d) Gọi M, N lần lượt là hai điểm di động trên các đoạn thẳng $A_1{C}_1$ và $B{C}_1$ sao cho $MN=\frac{a}{2}$. Thể tích của khối chóp $A.A_{1}BNM$ có giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{7\sqrt{2}}{48}{a}^3$.

Câu 2. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên $ℝ\backslash \left\{0\right\},$ có bảng biến thiên như sau:

b) Trên đoạn $\left[1;2\right]$, hàm số $y=2+\sqrt{f\left(x\right)-2}$ có giá trị nhỏ nhất bằng 2

c) Hàm số $f\left(x\right)$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;3\right)$

d) Trên khoảng $\left(-3;-1\right)$, hàm số $y=2025+2024f\left(f\left(x\right)-2\right)$ nghịch biến.

Câu 3. Cho parabol $\left(P\right):y=x^2$ và một đường thẳng d thay đổi cắt (P) tại hai điểm A, B. Giả sử $A(a;a^2)$ và $B(b;b^2)(b>a)$ sao cho $AB=2024$. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng d.

a)  Phương trình đường thẳng d là: $y=(a+b)x-ab$

b) $S=\frac{1}{3}{\left(b-a\right)}^3$

c) Giá trị lớn nhất $S_{max}$ của S là $S_{\max }=\frac{{2024}^3}{5}$

d) Giá trị lớn nhất $S_{max}$ của S xảy ra khi $a=-1012$ và $b=1012$

Câu 4. Một công ty xây dựng đấu thầu 3 dự án X, Y và Z. Xác suất để ba dự án X, Y và Z trúng thầu tương ứng là x, y và $\mathrm{0,8}\left(x>y\right)$. Biết rằng xác suất để ít nhất một trong ba dự án trúng thầu là 0,964 và xác suất để cả ba dự án đều trúng thầu là 0,224. Giả sử việc trúng thầu của ba dự án X, Y và Z là độc lập với nhau. Gọi A là biến cố: “Có ít nhất một trong ba dự án trúng thầu” và B là biến cố: “Cả ba dự án trúng thầu”.

a) Biến cố đối của biến cố A là $\overline{A}$: “Cả ba dự án đều không trúng thầu”.

b) Xác suất để xảy ra biến cố B là $P\left(B\right)=\mathrm{0,8}xy$

c) Xác suất để dự án X trúng thầu là 0,6

d) Xác suất để có đúng hai dự án trúng thầu là 0,488

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn, gồm 6 câu, tổng 3,0 điểm (mỗi câu 0,5 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Một lớp học có tổng số 36 học sinh, trong đó số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ. Lớp học được phân thành hai nhóm,  nhóm 1 gồm các học sinh nam và nhóm 2 gồm các học sinh nữ để khảo sát về kĩ năng bơi của học sinh. Biết mỗi học sinh chỉ tích chọn một trong hai hình thức: biết bơi hoặc chưa biết bơi và nhóm nào cũng có cả hai hình thức. Lấy ngẫu nhiên mỗi nhóm một học sinh, xác suất lấy được hai học sinh biết bơi là $\frac{140}{299}$. Biết số học sinh nữ biết bơi là số lẻ, Số học sinh nam biết bơi là……………………………………..

Câu 2. Một chuỗi nhà hàng ăn nhanh bán đồ ăn từ 10h00 sáng đến 22 h00 mỗi ngày. Nhân viên phục vụ của nhà hàng làm việc theo hai ca, mỗi ca 8 tiếng, ca I từ 10h00 đến 18 h00 và ca II từ 14 h00 đến 22 h00.

Tiền lương của nhân viên được tính theo giờ (bảng bên).

Khoảng thời gian làm viẹc	Tiền lương/giờ
10h00 - 18h00	20000 đổng
14h00 - 22h00	22000 đồng

Để mỗi nhà hàng hoạt động được thì cần tối thiểu 6 nhân viên trong khoảng 10h00 - 18h00, tối thiểu 24 nhân viên trong thời gian cao điểm 14h00 - 18h00 và không quá 20 nhân viên trong khoảng 18 h00 - 22h00. Do lượng khách trong khoảng 14 h00 - 22h00 thường đông hơn nên nhà hàng cần số nhân viên ca II ít nhất phải gấp đôi số nhân viên ca I. Em hãy giúp chủ chuỗi nhà hàng chỉ ra cách huy động số lượng nhân viên cho ca II sao cho chi phí tiền lương mỗi ngày là ít nhất.

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M\left(3;3;-2\right)$ và hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z}{1}; d_2:\frac{x+1}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{4}$. Đường thẳng d đi qua M cắt $d_1,d_2$ lần lượt tại A và B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng bao nhiêu?

Câu 4. Anh Nam có một cái ao với diện tích 50m² để nuôi cá diêu hồng. Vụ vừa qua, anh nuôi với mật độ 20con/m² và thu được 1,5 tấn cá thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình anh thấy cứ thả giảm đi 8 con/m² thì mỗi con cá thành phầm thu được tăng thêm 0,5kg. Để tổng năng suất cao nhất thì vụ tới anh nên mua bao nhiêu cá giống để thả ? (giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi)

Câu 5. Một công ty dược phẩm giới thiệu một dụng cụ để kiểm tra sớm bệnh sốt xuất huyết. Về báo cáo kiểm định chất lượng của sản phẩm, họ cho biết như sau: Số người được thử là 8000, trong số đó có 1200 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết và có 6800 người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết. Nhưng khi kiểm tra lại bằng dụng cụ của công ty, trong 1200 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, có 70% số người đó cho kết quả dương tính, còn lại cho kết quả âm tính. Trong 6800 người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, có 5% số người đó cho kết quả dương tính, còn lại cho kết quả âm tính. Xác suất mà một bệnh nhân với kết quả kiểm tra dương tính là bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết bằng bao nhiêu? (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm $A\left(1;1;2\right),B\left(2;2;4\right),C\left(2;0;1\right),D\left(3;1;0\right)$. Hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau, cùng đi qua hai điểm A, B và cắt đường thẳng CD tại hai điểm M, N. Độ dài MN ngắn nhất bằng bao nhiêu ? (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm)

-------- HẾT--------

SỞ GD&ĐT HẢI PHÒNG HSG  2024-2025

KỲ THI CHỌN HSG THÀNH PHỐ CẤP THPT 2025 MÔN THI: TOÁN 12 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

Đề thi gồm có ba phần: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (12 Câu). Câu trắc nghiệm đúng sai (04 Câu). Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (6 Câu).

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án

Câu 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật $AB=a, AD=2a$. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC) bằng

A. $\frac{\sqrt{57}a}{19}$

B. $\frac{\sqrt{57}a}{19}$

C. $\frac{\sqrt{3}a}{4}$

D. $\frac{\sqrt{3}a}{2}$

Câu 2: Tổng các nghiệm thuộc đoạn $\left[0;2\pi \right]$ của phương trình  $\sin 2x-\cos x=0$ bằng

A. $\frac{5\pi }{2}$

B. $2\pi$

C. $3\pi$

D. $5\pi$

Câu 3: Bảng dưới đây biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian chạy cự li 100m của 20 vận động viên trong một buổi luyện tập (đơn vị: giây)

Số trung bình của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. 10,6

B. 10,3

C. 10,4

D. 10,8

Câu 4: Cho một cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có $u_1=1$ và tổng 100 số hạng đầu bằng 10 000.

                 Tổng $S=\frac{1}{u_1{u}_2}+\frac{1}{u_2{u}_3}+\mathrm{...}+\frac{1}{u_{99}{u}_{100}}$ bằng

A. $\frac{200}{201}$

B. $\frac{198}{199}$

C. $\frac{100}{201}$

D. $\frac{99}{199}$

Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn $\left(C\right):{(x-1)}^2+{(y-2)}^2=4$. Đường thẳng $d_1:mx+y-m-1=0$ cắt đường tròn (C) tại M, N và đường thẳng $d_2:x-my+m-1=0$ cắt đường tròn (C) tại P, Q. Diện tích lớn nhất của tứ giác có 4 đỉnh M, N, P, Q bằng

A. 7

B. 8

C. 14

D. 2

Câu 6: Một nhóm gồm 6 bạn nam trong đó có Hùng và 4 bạn nữ xếp hàng để chụp hình lưu niệm. Mọi người đứng thành 2 hàng, mỗi hàng 5 người. Xác suất để Hùng đứng liền giữa hai bạn nam đồng thời trong mỗi hàng hai bạn nữ bất kỳ không đứng cạnh nhau bằng

A. $\frac{2}{105}$

B. $\frac{4}{105}$

C. $\frac{1}{21}$

D. $\frac{1}{105}$

Câu 7: Cho hàm số $y=\frac{a{x}^2+bx+1}{cx+2}$ (với $a,b,c\in ℝ,a.c\ne 0$) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Giá trị biểu thức $T=2a+3b-c$ là

A. T = 11

B. T = 8

C. T = 9

D. T = 10

Câu 8: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2-x+3}{x^2+5}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $g\left(x\right)=f\left(x^2-2x-m\right)$ có đúng 3 điểm cực trị?

A. 4

B. 5

C. 3

D. 6

Câu 9: Người ta dự định làm một hầm rượu có dạng hình chóp cụt đều có hai cạnh đáy là 7m và 5m; mặt bên và đáy nhỏ tạo thành góc nhị diện có số đo bằng 120⁰ (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của hầm rượu trên bằng bao nhiêu mét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

A. 62,93

B. 60,82

C. 64,24

D. 58,94

Câu 10: Cho một đa giác đều $\left(H\right)$ có 15 đỉnh. Số tam giác cân nhưng không là tam giác đều có ba đỉnh là đỉnh của $\left(H\right)$ là

A. 90

B. 105

C. 95

D. 115

Câu 11: Từ các chữ số thuộc tập $S=\left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\right\}$, viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để viết được số có đúng một chữ số chẵn là

A. $\frac{20}{63}$

B. $\frac{10}{63}$

C. $\frac{5}{126}$

D. $\frac{5}{63}$

Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left(-2;3;1\right), B\left(2;1;0\right), C\left(-3;-1;1\right)$. Điểm $D\left(x_D;y_D;z_D\right)$ thỏa mãn ABCD là hình thang với hai đáy AD, BC và diện tích hình thang ABCD gấp 3 lần diện tích tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $z_D=4$

B. $z_D=-1$

C. $z_D=3$

D. $z_D=-2$

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)

Câu 1: Cho hàm đa thức $y=f\left(x\right)$ có đồ thị của hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ là đường cong trong hình vẽ bên.

a) Phương trình $f^{\text{'}}\left(\cos x\right)=3$ có đúng 4 nghiệm thuộc $\left[0;\frac{5\pi }{2}\right]$.

b) $\underset{ℝ}{\min }f\left(x\right)=f\left(-1\right)$.

c) Hàm số $f\left(x\right)$ nghịch biến trên khoảng $\left(0;2\right)$.

d) Hàm số $g\left(x\right)=f\left(x-2024\right)-2023x+2022$ có đúng 2 điểm cực trị.

Câu 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, $AB=4a$ và $\widehat{BAD}=120°$. Gọi H là trung điểm của AO. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và $SH=a\sqrt{3}$.

a) Gọi $\alpha$ là số đo góc phẳng nhị diện $\left[S,CD,A\right]$, khi đó $\tan \alpha =\frac{2}{3}$.

b) Góc tạo bởi đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng góc $\widehat{BSH}$.

c) Thể tích khối chóp SABCD bằng $8a^3$

d) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của ba cạnh CD, BC và SA. Khoảng cách giữa hai đường thẳng PN và SM bằng $\frac{2a\sqrt{39}}{13}$.

Câu 3: Cho hàm số $f\left(x\right)=3^{\sqrt{x^2+1}+x}-3^{\sqrt{x^2+1}-x}$

a) Tập nghiệm của bất phương trình $f^{\text{'}}\left(x\right)>0$ là $\left(0;+\infty \right)$.

b) Bất phương trình $f\left(x\right)-{80.3}^{\sqrt{x^2+1}-2}\le 0$ có đúng hai nghiệm nguyên dương.

c) Phương trình $f\left(x\right)=0$ có hai nghiệm phân biệt.

d) Số giá trị nguyên của m thuộc đoạn $\left[-2024;2025\right]$ để bất phương trình $f\left(x^2+1\right)+f\left(-\frac{mx}{2}\right)>0$ nghiệm đúng $\forall x\in \left(-\infty ;0\right)$ là 2029.

Câu 4: Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm I và II từ ba nguyên liệu A, B và C. Để sản xuất 1kg sản phẩm I nhà máy phải sử dụng 2kg nguyên liệu A và 2kg nguyên liệu C. Để sản xuất 1kg sản phẩm II nhà máy phải sử dụng 2kg nguyên liệu A, 2kg nguyên liệu B và 4kg nguyên liệu C. Biết rằng nhà máy có 10 tấn nguyên liệu A, 4 tấn nguyên liệu B và 12 tấn nguyên liệu C. Giả sử sản phẩm sản xuất ra đều được bán hết và tiền lãi khi bán mỗi tấn sản phẩm I là 3 triệu đồng, mỗi tấn sản phẩm II là 5 triệu đồng. Gọi x và y lần lượt là số tấn sản phẩm I và II nhà máy cần sản xuất $(x\ge \mathrm{0,}y\ge 0).$

a) Khi nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất thì phải sử dụng 10 tấn nguyên liệu A.

b) Nguyên liệu của nhà máy đủ để sản xuất 3 tấn sản phẩm I và 1,5 tấn sản phẩm II.

c) Bất phương trình mô tả điều kiện về sử dụng nguyên liệu C của nhà máy là $x+2y\le 6.$

d) Tiền lãi thu được khi sản xuất 2 tấn sản phẩm I và 2 tấn sản phẩm II là 14 triệu đồng.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1: Trong rừng, có hai điểm du lịch ở vị trí X và Y đều cách bờ biển một khoảng bằng 3km (coi đường bờ biển là một đường thẳng). Khoảng cách giữa hai vị trí X và Y là 18 km. Người ta dự định đặt hai điểm nghỉ chân tại vị trí M, N trên bờ biển sao cho XM = YN và làm đường từ X lần lượt qua M, N đến Y. Biết chi phí làm đường trong rừng là 1300 triệu/km và đường trên bờ biển là 500 triệu/km. Khoảng cách giữa hai vị trí M và N là bao nhiêu kilômét để tổng chi phí làm đường nêu trên ít nhất?

Câu 2: Gọi $x_1,x_2\left(x_1<x_2\right)$ là hai nghiệm của phương trình ${\log }_7\left(\frac{4x^2-4x+1}{2x}\right)+4x^2+1=6x$. Biết $x_1+2x_2=\frac{1}{4}\left(a+\sqrt{b}\right)$, trong đó a, b là các số nguyên dương. Tính tổng a + b.

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn ngoại tiếp. Tính giá trị $O{I}^2$ biết $A\left(2;2;-2\right),B\left(6;-4;2\right),C\left(8;-2;0\right)$

Câu 4: Mạng lưới giao thông trong một thành phố được bố trí dạng lưới hình chữ nhật kích thước 10x12 như hình vẽ dưới đây. Lần đầu đến thành phố, anh Nam muốn đi từ điểm A đến điểm B. Biết rằng tại các điểm giao nhau, anh Nam luôn chọn ngẫu nhiên một trong các hướng đi để quãng đường đi từ A đến B là ngắn nhất. Xác suất để anh Nam không đi qua điểm giao ở vị trí C là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Câu 5: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}.$ Khoảng cách từ C đến BB' là $\sqrt{5},$ khoảng cách từ A đến BB' và CC' lần lượt là 1; 2. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt phẳng $\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$ là trung điểm M của cạnh $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}, A^{\text{'}}M=\frac{\sqrt{15}}{3}.$ Tính thể tích của khối lăng trụ $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 6: Cho bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê doanh thu bán hàng (đơn vị: triệu đồng) trong 20 ngày của một cửa hàng như sau:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

-------------- Hết --------------

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 hay khác:

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Thanh Hóa năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Hải Phòng năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Vũng Tàu năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Nguyễn Bính (Nam Định) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Lê Xoay (Vĩnh Phúc) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Hải Phòng năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Bắc Giang năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Hải Dương năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Hải Dương năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Vĩnh Phúc năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Nho Quan A (Ninh Bình) (Lần 1) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Nho Quan A (Ninh Bình) (Lần 2) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Nông Cống 2 và 3 (Thanh Hóa) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Hậu Lộc 2 (Thanh Hóa) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Hậu Lộc 3 (Thanh Hóa) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Hậu Lộc 4 (Thanh Hóa) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Thanh Hóa năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Triệu Sơn (Thanh Hóa) năm 2024-2025

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---