Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Hậu Lộc 3 (Thanh Hóa) năm 2024-2025

Bài viết cập nhật đề thi HSG Toán 12 trường THPT Hậu Lộc 3, Thanh Hóa năm 2024-2025 giúp học sinh lớp 12 ôn tập và đạt kết quả cao trong bài thi học sinh giỏi Toán 12.

Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Hậu Lộc 3 (Thanh Hóa) năm 2024-2025

Xem thử

Chỉ từ 300k mua trọn bộ Đề thi học sinh giỏi Toán 12 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết, dễ dàng chỉnh sửa:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

SỞ GD&ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3 (Đề thi có 06 trang, gồm 3 phần)

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2024- 2025 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số nghịch biến trong khoảng nào?

A. $\left(-1;1\right)$

B. $\left(0;1\right)$

C. $\left(4;+\infty \right)$

D. $\left(-\infty ;2\right)$

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(2;-3;3\right), \overrightarrow{b}=\left(0;2;-1\right), \overrightarrow{c}=\left(3;-1;5\right)$. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$.

A. $\left(10;-2;13\right)$

B. $\left(-2;2;-7\right)$

C. $\left(-2;-2;7\right)$

D. $\left(-2;2;7\right)$

Câu 3. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A_1{B}_1{C}_1$. Đặt $\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{d},$ trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{0}$

B. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{d}$

C. $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{0}$

D. $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$

Câu 4. Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có $u_3=15$ và $d=-2$. Tìm $u_n$

A. $u_n=-2n+21$

B. $u_n=-\frac{3}{2}n+12$

C. $u_n=-3n-17$

D. $u_n=-\frac{3}{2}{n}^2-4$

Câu 5. Cho hình hộp $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$. Chọn đẳng thức sai?

A. $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{B_1{C}_1}+\overrightarrow{B_1{A}_1}$

B. $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D_1{C}_1}+\overrightarrow{D_1{A}_1}=\overrightarrow{DC}$

C. $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{B{D}_1}$

D. $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{D{D}_1}+\overrightarrow{B{D}_1}=\overrightarrow{BC}$

Câu 6. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau :

 Hỏi đồ thị hàm số $y=g\left(x\right)=\frac{x^4-1}{f^2\left(x\right)-4f\left(x\right)}$ có bao nhiêu tiệm cận đứng?

A. 5

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 7: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2). Gọi M là điểm trong không gian thỏa mãn: $\overbrace{AMB}=\stackrel{⏜}{BMC}=\overbrace{CMA}={90}^0$(M không trùng với các điểm A, B, C và gốc O). Tính $x_M+y_M+z_M$

A. 0

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 8. Phương trình $\sin \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$?

A. 3

B. 0

C. 1

D. 2

Câu 9. Cho tứ diện ABCD, lấy các điểm M, N lần lượt thuộc cạnh BC, AD sao cho $2BM=3MC, 2AN=3ND$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{MN}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{CD}$

B. $\overrightarrow{MN}=-\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{CD}$

C. $\overrightarrow{MN}=-\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{CD}$

D. $\overrightarrow{MN}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{CD}$

Câu 10. Biểu đồ sau biểu diễn chiều cao của một nhóm học sinh nữ lớp 12.

Từ biểu đồ trên ta tính được độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 4,26

B. 18,14

C. 13,02

D. 2,07

Câu 11: Biết $\sin x=\frac{1}{3}$ và ${90}^0<x<{180}^0$ thì biểu thức $\frac{1+\sin 2x+\cos 2x}{1+\sin 2x-\cos 2x}$ có giá trị bằng:

A. $2\sqrt{2}$

B. $\frac{1}{2\sqrt{2}}$

C. $-2\sqrt{2}$

D. $\frac{-1}{2\sqrt{2}}$

Câu 12. Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một chi nhánh của doanh nghiệp A được ghi lại dưới bảng sau ( đơn vị: triệu đồng):

Hãy tính tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên? (giá trị gần nhất)

A. 7,86

B. 7,68

C. 7,81

D. 7,56

Câu 13.  Cho ${\log }_{2}5=a,{\log }_{2}7=b$. Tính ${\log }_{5}2450.$

A. $\frac{1+2a+2b}{a}$

B. $\frac{1+a+2b}{a}$

C. $\frac{1+2a+b}{a}$

D. $\frac{1+a+b}{a}$

Câu 14. Cho $f\left(x\right)$ là đa thức thỏa mãn $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f\left(x\right)-27}{x-3}=9$. Tính giới hạn $L=\underset{x\to 3}{\lim }\left[2f\left(x\right)-19x+3\right]\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x^2-3x}\right)$.

A. $L=\frac{2}{3}$

B. $L=-\frac{2}{3}$

C. $L=\frac{1}{3}$

D. $L=-\frac{1}{3}$

Câu 15. Một hộp đựng chín quả cầu giống nhau được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải lấy ra ít nhất bao nhiêu quả cầu để xác suất có ít nhất một quả ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn $\frac{5}{6}$?

A. 6

B. 5

C. 7

D. 8

Câu 16.  Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có $AB=2a, AD=3a, A{A}^{\text{'}}=4a$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left(A{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)$ và $\left(A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}D\right)$. Giá trị của $\cos \alpha$ bằng

A. $\frac{29}{61}$

B. $\frac{27}{34}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{137}{169}$

Câu 17. Tính các tổng sau: $S_2=C_n^1+2C_n^2+\mathrm{...}+n{C}_n^n$

A. $2n{.2}^{n-1}$

B. $n{.2}^{n+1}$

C. $2n{.2}^{n+1}$

D. $n{.2}^{n-1}$

Câu 18. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình $\frac{{\log }_3^{2}x-3{\log }_{3}x+2}{\sqrt{m-2^x}}<0$ có không quá 3 nghiệm nguyên dương?

A. 127

B. 128

C. 63

D. 64

Câu 19.  Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên $ℝ$, có đồ thị $f^{\text{'}}\left(x\right)$ như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của $m\in \left(-20;20\right)$ để hàm số $g\left(x\right)=f\left(\frac{x^3}{4}\right)-\frac{m{\left(x^2+4\right)}^2}{20}$ đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$.

A. 6

B. 7

C. 17

D. 18

Câu 20.  Vào dịp kỷ niệm Quốc khánh 02/9/2024, thành phố X tổ chức bắn pháo hoa. Có 2 ống bắn pháo hoa A và B được đặt trong 2 mặt phẳng song song với nhau và cách nhau 2 m , ống bắn A đặt nghiêng so với mặt đất một góc 80⁰ và ống bắn B nghiêng so với mặt đất một góc 70⁰. Hai pháo A và B được bắn đồng thời và cùng đi được quãng đường 100m thì nổ. Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ.

Khi nổ hai quả pháo cách nhau bao nhiêu m. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

A. 17,55m

B. 17,54m

C. 15,55m

D. 15,54m

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Trong mỗi ý a),b), c), d) ở  mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hàm số $y=f\left(x\right)={\log }_2\left(\frac{\sqrt{2x^2+mx+1}}{x+2}\right)$.

a) Khi $m=0$ thì đạo hàm của $y=f\left(x\right)$ trên $\left(-2;+\infty \right)$ là $y^{\text{'}}=\frac{2x}{\left(2x^2+1\right)\ln 2}-\frac{1}{\left(x+2\right)\ln 2}$.

b) Khi $m=-1$ thì phương tình $f\left(x\right)=1$ có hai nghiệm phân biệt.

c) Khi $0<m<2\sqrt{2}$ thì tập xác định của hàm số $y=f\left(2-x^2\right)$ là $D=\left(-2;2\right)$.

d) Tập các giá trị của m để phương trình $f\left(x\right)+\sqrt{2x^2+mx+1}=x+2$ có hai nghiệm phân biệt là $\left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)$.

Câu 2: Cho lăng trụ $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có đáy ABCD là hình chữ nhật với $AB=\sqrt{6}, AD=\sqrt{3}, A^{\text{'}}C=3$ và mặt phẳng $\left(A{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C\right)$ vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng $\left(A{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C\right)$, $\left(A{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}B\right)$ tạo với nhau góc $\alpha$ có $\tan \alpha =\frac{3}{4}$. Gọi M là trung điểm của AA' và K là hình chiếu của B trên AC.

a) sđ $\left[B,AA\text{'},D\right]=sđ\widehat{BAD}$

b) $BK\perp A{A}^{\text{'}}$

c) $CM=2\sqrt{2}$

d) Thể tích của khối lăng trụ $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ là 8

Câu 3. Số giờ có ánh sáng của một thành phố X ở vĩ độ 40⁰ bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số: $d\left(t\right)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]+12, t\in \mathbb{Z}$ và $0<t\le 365$. Vào ngày nào trong năm thì thành phố X có nhiều giờ ánh sáng nhất?

a) Số giờ có ánh sáng trong ngày không vượt quá 15

b) Chu kỳ của hàm số: $d\left(t\right)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]+12$ là 364

c) Trong tháng 1 có một ngày mà số giờ có ánh sáng là 9

d) Ngày có nhiều giờ ánh sáng nhất là ngày 21 tháng 6

Câu 4. Cho hình hộp $ABCD\cdot A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$, biết điểm $A\left(5;-2;0\right),B\left(4;5;-2\right),C\left(0;3;2\right),A^{\text{'}}\left(9;0;5\right)$. Gọi M là trung điểm AA'.

a) Tọa độ $D\left(1;-4;4\right)$.

b) Giá trị $\text{cos}\left(\overrightarrow{MB};\overrightarrow{MD}\right)=\frac{3\sqrt{609}}{609}$.

c) $\left|\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}\right|=3\sqrt{29}$.

d) Điểm K di chuyển trên trục Ox. Đặt $Q=2\left|\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}\left|+3\right|\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}\right|$. Giá trị nhỏ nhất của Q bằng $6\sqrt{37}$.

Câu 5: Một công ty cung cấp nước sạch thống kê lượng nước các hộ gia đình ở khu vực A tiêu thụ trong một tháng ở bảng sau:

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là 9,375.

b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho xấp xỉ bằng 5,94.

c) Mốt của mẫu số liệu là $M_O=\mathrm{8,0625}$.

d) Mức sử dụng nước của các hộ gia đình ở khu A đồng đều hơn các hộ gia đình ở khu B. Biết rằng người ta tính được độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê lượng nước các hộ gia đình ở khu B sử dụng xấp xỉ bằng 2,75.

Câu 6: Một máy bay quân sự có 3 bộ phận A , B , C có tầm quan trọng khác nhau. Máy bay sẽ rơi khi có hoặc 1 viên đạn trúng vào A , hoặc 2 viên trúng vào B, hoặc 3 viên trúng vào C . Giả sử các bộ phận A , B , C lần lượt chiếm 15 % , 30% và 55% diện tích máy bay. Tính xác suất để máy bay rơi nếu:

a) Xác suất máy bay không rơi khi máy bay bị trúng 1 viên đạn là 0,45

b) Khi máy bay trúng 2 viên đạn thì xác suất để 1 viên trúng B và 1 viên trúng C là 0,85

c) Xác suất để máy bay rơi khi máy bay bị trúng 2 viên đạn là 0,3675

d) Xác suất để máy bay rơi khi máy bay bị trúng 3 viên đạn là 0,72775

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1: Hình dưới đây là mương dẫn nước thủy lợi tại một địa phương phục vụ tưới tiêu cho ruộng đồng. Phần không gian trong mương để nước chảy có mặt cắt ngang là hình chữ nhật ABCD. Với điều kiện lưu lượng nước qua mương cho phép thì diện tích mặt cắt ABCD là 0,48m². Để đảm bảo yêu cầu kỹ thuật tốt nhất cho mương, người ta cần thiết kế sao cho tổng độ dài $T=AB+BC+CD$ là ngắn nhất. Khi đó chiều rộng đáy mương bằng bao nhiêu (biết chiều rộng phải dưới 1m , làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 2: Trong khoảng $\left(-10;20\right)$ có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $4x{\log }_3(x+1)={\log }_9\left[9{(x+1)}^{2m}\right]$ có đúng 2 nghiệm phân biệt.

Câu 3. Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều, có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài 300 mét (tham khảo hình vẽ) . Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu MN bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh A'C,  điểm cuối thuộc cạnh BC') và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho MN ngắn nhất. Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tỷ đồng? (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Câu 4: Cho tứ diện ABCD có $DA=DB=DC=6$ và đôi một vuông góc với nhau. Điểm M thay đổi trong tam giác ABC. Các đường thẳng đi qua M song song $DA,DB,DC$ theo thứ tự cắt các mặt phẳng $\left(DBC\right),\left(DCA\right),\left(DAB\right)$ lần lượt tại $A_1;B_1;C_1$. Tìm thể tích lớn nhất của khối tự diện $M{A}_1{B}_1{C}_1$ khi M thay đổi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Câu 5. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm là $f^{\text{'}}\left(x\right)=\left(x^2+9x\right)\left(x^2-9\right),$ với mọi $x\in ℝ$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $g\left(x\right)=f\left(\left|x^3+3x\right|+2m-m^2\right)$ có không quá 6 điểm cực trị?

Câu 6. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A. Gọi P là xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1. Tính 1000P (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

………………………………..HẾT……………………………

SỞ GD&ĐT VŨNG TÀU TRƯỜNG THPT 2024-2025

ĐỀ THAM KHẢO HSG SỞ VŨNG TÀU 2024-2025 MÔN THI: TOÁN 12 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

Đề thi gồm có ba phần: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (12 Câu). Câu trắc nghiệm đúng sai (03 Câu). Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (8 Câu).

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án

Câu 1: Người ta tiến hành phỏng vấn 40 người về một mẫu áo sơ mi nam (cổ tròn). Người điều tra yêu cầu cho điểm mẫu áo đó theo thang điểm là 100. Kết quả được trình bày trong bảng ghép nhóm sau

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị) có giá trị là

A. 74.

B. 75.

C. 76.

D. 77.

Câu 2: Bên trong một bảng hiệu quảng cáo sữa cho trẻ em, người ta mắc hai hệ thống bóng đèn. Hệ thống I gồm 2 bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm 2 bóng mắc song song. Khả năng bị hỏng của mỗi bóng đèn sau 8 giờ thắp sáng liên tục là 0,15. Biết tình trạng của mỗi bóng đèn là độc lập. Xác suất (kết quả được làm tròn đến hàng phần nghìn) để cả hai hệ thống bị hỏng (không sáng) là

A.  0,023.

B. 0,978.

C. 0,278.

D. 0,006.

Câu 3: Phương trình $\sin \left(3\text{x}+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$?

A.  3.

B. 4.

C. 1.

D. 2.

Câu 4: Cho các số thực x, y thoả mãn $5+{16.4}^{x^2-2y}=\left(5+4^{2x^2-4y}\right){.7}^{2y-x^2+2}$. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{10\text{x}+6y+26}{2\text{x}+2y+5}$. Tổng giá trị M + m bằng

A. $\frac{19}{2}$

B. $\frac{21}{2}$

C. 10

D. 15

Câu 5: Cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có cạnh bằng a. Giá trị sin a của góc nhị diện $\left[A^{\text{'}};BD;A\right]$ bằng.

A. $\frac{\sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{\sqrt{6}}{4}$

C. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Câu 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và $SA=a\sqrt{2}$. Gọi E là trung điểm AB. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SE và BC.

A. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a}{2}$

D. $\frac{a\sqrt{2}}{3}$

Câu 7: Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/04/1990 bằng tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi tại thời điểm $t=0\left(s\right)$ cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm $t=126\left(s\right)$, cho bởi hàm số $v\left(t\right)=\mathrm{0,001302}{t}^3-\mathrm{0,09029}{t}^2+23$ (v được tính bằng $ft/s$ và $1feet=\mathrm{0,3048}m$, t được tính bằng giây) .

Gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng từ giây thứ bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị) tính từ thời điểm t = 0 cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi?

A. 0

B. 46

C. 23

D. 126

Câu 8: Một tấm bạt hình vuông cạnh 20m như hình vẽ bên dưới. Người ta dự định cắt phần tô đậm của tấm bạt rồi gập và mai lại nhằm mục đích phủ lên tháp đèn trang trí để tránh hư hại tháp khi trời mưa. Biết khối chóp hình thành sau khi gập và mai lại cần thể tích lớn nhất thì mới phủ kính tháp đèn. Phần diện tích tấm bạt bị cắt theo yêu cầu trên bằng

A. $\frac{256\sqrt{10}}{3}$

B. $8\sqrt{2}$

C. 80

D. 70

Câu 9: Cho hàm số $y=\sqrt{x^2+2x+2}.$ Số đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 10: Cho hàm số $y=ax+2+\frac{b}{x+c}$ có đồ thị như hình dưới đây. Giá trị của $P=a+b+c$ bằng

A. 1

B. -1

C. 2

D. -3

Câu 11: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và $OA=OB=OC=a.$ Gọi M là trung điểm cạnh AB. Góc tạo bởi hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{OM}$ bằng

A. 120⁰

B. 60⁰

C. 135⁰

D. 45⁰

Câu 12: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có $A(1;2;-1),B(2;-1;3),C(-4;7;5).$ Tọa độ chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC là

A. $\left(\frac{11}{3};-2;1\right)$

B. $(-2;11;1)$

C. $\left(\frac{2}{3};\frac{11}{3};\frac{1}{3}\right)$

D. $\left(-\frac{2}{3};\frac{11}{3};1\right)$

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)

Câu 1: Chi phí nguyên liệu của một con tàu chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 nghìn đồng trên 1 giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi $v=10km/h$ thì chi phí nguyên liệu phần thứ hai bằng 30 nghìn đồng /giờ. Gọi $x(km/h)$ là vận tốc của tàu.

a) [NB] Chi phí nhiên liệu cho phần thứ nhất trong thời gian tàu chạy quãng đường 1km là $\frac{480}{x}$(nghìn đồng).

b) [TH] Tổng chi phí nhiên liệu tàu chạy trong 1 giờ là $C\left(x\right)=480+\mathrm{0,03}{x}^3$ (nghìn đồng).

c) [TH] Tổng chi phí nhiên liệu tàu chạy trên quãng đường 1km giảm khi vận tốc của tàu thuộc $\left(0;30\right)$.

d) [VD, VDC] Tổng chi phí nhiên liệu để tàu chạy trên quãng đường 1km nhỏ nhất là 43 (nghìn đồng).

Câu 2: Cho hàm số $y=\frac{x^2+3x-8}{x-2}\left(1\right)$ và đường tròn $\left(C\right):{\left(x+3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4$. Gọi I là tâm đường tròn (C) .

a) Hàm số (1) đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$

b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số (1) trên đoạn $\left[3;5\right]$ bằng $7+2\sqrt{2}$.

c) Tổng khoảng cách từ điểm I đến hai tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng $\frac{10+3\sqrt{2}}{2}$

d) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt M, N. Diện tích tứ giác IMON bằng $\frac{14}{5}$. ( với O là gốc tọa độ).

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có $A\left(0;0;0\right), B\left(3;0;0\right), D\left(0\text{\hspace{0.17em}};3;0\right),A^{\text{'}}\left(0;0;3\right)$. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh BD, AD' sao cho $AN=DM, P$ là trung điểm B'C', K là điểm thuộc mặt phẳng $\left(Oxz\right)$.

a) [NB] Trọng tâm của tam giác PCD có toạ độ $\left(2;\frac{5}{2};1\right)$ là .

b) [TH] Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left|\overrightarrow{KP}+\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{KD}\right|$ là $\frac{5}{2}$

c) [TH] Góc giữa hai đường thẳng AP và BC' bằng 60⁰.

d) [VD, VDC] Độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất bằng $\sqrt{2}$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 8.

Câu 1: Cho tập $A=\left\{\mathrm{1,2,3,4,5,6,7,8}\right\}$. Gọi S là tập các số tự nhiên có 5 chữ số được lập từ A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Xác suất số được chọn có tích các chữ số bằng 2520 là $\frac{a}{b}$(trong đó phân số $\frac{a}{b}$ tối giản). Giá trị a + b bằng bao nhiêu?

Câu 2: Ở trên biển, hai con tàu A và B đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 10 hải lý. Cả hai tàu đồng thời cùng khởi hành. Tàu A chạy về hướng Nam với vận tốc 8 hải lý/giờ, còn tàu B chạy về vị trí hiện tại của tàu A với vận tốc 6 hải lý/giờ. Hỏi sau bao nhiêu giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là ngắn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Câu 3: Bác Bình có một nông trại ao nuôi cá, mỗi ngày thu hoạch được 2 tấn cá. Nếu bán cho thương lái với giá 30 nghìn đồng/kg thì hết cá, nếu giá bán cứ tăng thêm 2 nghìn đồng/kg thì số cá thừa sẽ tăng thêm 10 kg. Số cá thừa này được bán để làm thức ăn cho động vật với giá 10 nghìn đồng/kg. Hỏi bác Bình phải bán với giá bao nhiêu nghìn đồng/kg để số tiền bán cá mỗi ngày đạt doanh thu lớn nhất?

Câu 4: Cho hình chóp tam giác SABC có $AB=1, AC=2, \widehat{BAC}=120°$và $SA\perp \left(ABC\right)$. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SB, SC và $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng SA và $\left(AMN\right)$ sao cho $\sin \alpha =\frac{\sqrt{21}}{7}$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Câu 5: Để làm một cái hộp đựng quả tặng bạn nhân dịp sinh nhật. Từ một tấm bìa hình chữ nhật với kích thước 40cm x 20cm, bạn Hoa cắt bỏ hai hình vuông có cạnh là x cm và hai hình chữ nhật (phần gạch sọc như hình bên) rồi gấp theo đường nét đứt và dán các mép để được một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật. Hỏi bạn Hoa cần cắt bỏ cạnh hình vuông bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) để phần không gian của hộp đựng nhiều quà nhất?

Câu 6: Có bao nhiêu số nguyên $y\in \left[-2024\text{\hspace{0.17em}};2024\right]$ sao cho với mỗi y, tồn tại số thực x thỏa mãn điều kiện $15\sqrt[3]{5y+{15.2}^x}+5y=8^x$?

Câu 7: Một công ty X sản xuất máy tính bảng dành cho học sinh bán được x máy mỗi tháng. Giá bán của mỗi máy tính bảng được cho bởi công thức $p\left(x\right)=8600-10x$ (nghìn đồng). Chi phí để sản xuất mỗi máy tính bảng là $c\left(x\right)=x^2-4x+500+\frac{1000}{x}$ (nghìn đồng). Hỏi công ty X sẽ bán bao nhiêu máy tính bảng mỗi tháng để lợi nhuận cao nhất?

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left(0;0;4\right)$ và $N\left(\frac{3}{2};2;6\right)$. Xét điểm $I\left(a;b;c\right)$ thay đổi sao cho IN luôn vuông góc với OM và diện tích tam giác IMO bằng 8. Khi độ dài đoạn thẳng IN đạt giá trị lớn nhất, giá trị 5a + 5b + c bằng bao nhiêu?

-------------- Hết --------------

SỞ GD&ĐT TỈNH NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT NGUYỄN BÍNH (Đề thi gồm có 07 trang)

KỲ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LẦN 2  NĂM HỌC 2024 - 2025 MÔN THI: TOÁN 12 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM CHỌN ĐÁP ÁN: Trong mỗi câu hỏi, hãy chọn 1 đáp án.

Câu 1. [HSG&VDC MĐ2] Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

A. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{a\sqrt{5}}{5}$

C. $\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$

Câu 2. [HSG&VDC MĐ2] Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BD = a. Cạnh SA vuông góc với mặt đáy và $SA=\frac{a\sqrt{6}}{2}.$ Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và $\left(SCD\right).$

A. 60⁰

B. 120⁰

C. 45⁰

D. 90⁰

Câu 3. [HSG&VDC MĐ2] Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và có đạo hàm trên $ℝ$ thỏa mãn $f^2\left(1+2x\right)+f^3\left(1-x\right)=x$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm có hoành độ bằng 1.

A. $y=\frac{1}{7}x-\frac{6}{7}$

B. $y=\frac{-1}{7}x+\frac{6}{7}$

C. $y=\frac{1}{7}x-\frac{5}{7}$

D. $y=-\frac{1}{7}x-\frac{6}{7}$

Câu 4. [HSG&VDC MĐ2] Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 0 và 1.

A. $\frac{7}{125}$

B. $\frac{7}{150}$

C. $\frac{189}{1250}$

D. $\frac{7}{375}$

Câu 5. [HSG&VDC MĐ1] Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x-4}{2-x}$ có phương trình là

A. $y=-2$

B. $x=2$

C. $y=-1$

D. $x=4$

Câu 6. [HSG&VDC MĐ1] Hàm số $y=x^4-4x^3$ đồng biến trên khoảng

A. $\left(-\infty ;+\infty \right)$

B. $\left(3;+\infty \right)$

C. $\left(-1;+\infty \right)$

D. $\left(-\infty ;0\right)$

Câu 7. [HSG&VDC MĐ2] Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có chiều cao bằng $a\sqrt{3}$ và hai đường thẳng $A{B}^{\text{'}},B{C}^{\text{'}}$ vuông góc với nhau. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$.

A. $6a^3$

B. $\frac{5}{2}{a}^3$

C. $a^3$

D. $\frac{9}{2}{a}^3$

Câu 8. [HSG&VDC MĐ1] Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{9x^2-4}+2x^2+1}{x^2-3x}$ là 

A. 2

B. 4

C. 1

D. 3

Câu 9. [HSG&VDC MĐ1] Biết rằng đồ thị hàm số $y=\frac{\left(m-2\right)x+m+2024}{x-n-2}$ nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó giá trị của m + n bằng.

A. 2

B. 0

C. 4

D. -2

Câu 10. [HSG&VDC MĐ2] Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=x^3{(x-1)}^2(x+2),x\in ℝ$. Khoảng nghịch biến của hàm số là

A. $(-2;0)$

B. $(-\infty ;-2);(0;1)$

C. $(-\infty ;-2);(0;+\infty )$

D. $(-\mathrm{2,0});(1;+\infty )$

Câu 11. [HSG&VDC MĐ2] Cho tứ diện ABCD. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{c}$. Gọi G là trọng tâm tam giác BDC. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$

B. $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$

C. $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$

D. $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$

Câu 12. [HSG&VDC MĐ2] Cho hinh hộp $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ tâm O. Gọi I là tâm của hình bình hành ABCD. Đặt $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{C{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{v},\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{x};\overrightarrow{D{B}^{\text{'}}}=\overrightarrow{y}$. Khi đó

A. $2\overrightarrow{OI}=-\frac{1}{4}(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})$

B. $2\overrightarrow{OI}=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})$

C. $2\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})$

D. $2\overrightarrow{OI}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})$

Câu 13. [HSG&VDC MĐ2] Cho hàm số $y=-x^3-m{x}^2+\left(4m-9\right)x+15$ với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$

A. 4

B. 6

C. 7

D. 5

Câu 14. [HSG&VDC MĐ2] Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{d}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b}\right)$

B. $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d}\right)$

C. $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}\right)$

D. $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)$

Câu 15. [HSG&VDC MĐ2] Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như sau

                 Hàm số $g\left(x\right)=f\left(2x+7\right)$ nghịch biến trong khoảng nào dưới đây

A. $\left(-5;-4\right)$

B. $\left(-3;0\right)$

C. $\left(-4;-3\right)$

D. $\left(-\infty ;-5\right)$

Câu 16. [HSG&VDC MĐ1] Hàm số $y=\frac{2x+5}{x+1}$ có bao nhiêu cực trị?

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. 3

B. 0

C. 2

D. 1

Câu 17. [HSG&VDC MĐ2] Moment lực là một đại lượng vật lý, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểmhoặc một trục của một vật thể. Trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P một lực $\overrightarrow{F}$ để vặn con ốc ở vị trí O (H,5,6) thì moment lực $\overrightarrow{M}$ được tính bởi công thức $\overrightarrow{M}=\left(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{F}\right)$. Cho $\overrightarrow{OP}=\left(x;y;z\right),\overrightarrow{F}=\left(a;b;c\right)$. Nếu giữ nguyên lực tác động $\overrightarrow{F}$ trong khi thay vị trí đặt lực P sang P' sao cho $\overrightarrow{OP\text{'}}=2\overrightarrow{OP}$ moment lực là $\overrightarrow{M\text{'}}$. Khi đó $\overrightarrow{M\text{'}}=k.\overrightarrow{M}$. Tính k

A. $k=-2$

B. $k=2$

C. $k=-\frac{1}{2}$

D. $k=\frac{1}{2}$

Câu 18. [HSG&VDC MĐ2] Cho hình chóp SABC có $BC=a\sqrt{2}$, các cạnh còn lại đều bằng a. Góc giữa hai vecto $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng ?

A. 60⁰

B. 120⁰

C. 30⁰

D. 90⁰

Câu 19. [HSG&VDC MĐ2] Một chất điểm chuyển động theo quy luật $S\left(t\right)=3t^2-t^3$, trong đó t là thời gian tính bằng giây và S(t) là quãng đường tính bằng mét. Thời điểm t tại đó vận tốc $v\left(m/s\right)$ của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:

A. $t=3$

B. $t=2$

C. $t=5$

D. $t=1$

Câu 20. [HSG&VDC MĐ3] Cho parabol $\left(P_1\right):y=-x^2+6$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B và đường thẳng $d:y=a\left(0<a<6\right)$. Xét parabol $\left(P_2\right)$ đi qua 2 điểm A, B và có đỉnh thuộc đường thẳng $d:y=a$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left(P_1\right)$ và d, $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left(P_2\right)$ và trục hoành (tham khảo hình vẽ)

                 Biết $S_1=S_2$. Tính $a^3-12a^2+108a$

A. T = 218

B. T = 219

C. T = 216

D. T = 217

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI: Trong mỗi ý ở mỗi câu, hãy chọn đúng hay sai

Câu 1. [HSG&VDC MĐ2] Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\left(0\right);\left(+\infty \right)$ thỏa mãn $f\left(0\right)=1,f\left(x\right)>\mathrm{0,}\forall x\in \left(0\right);\left(+\infty \right)$ và $\frac{1}{f\left(x\right)}+\frac{1}{2f^{\text{'}}\left(x\right)+1}=\mathrm{1,}\forall x\in \left(0\right);\left(+\infty \right)$.

a) $f\left(4\right)=3$.

b) $f\left(x\right)=\sqrt{x}+2$.

c) $\int f\left(x\right)\text{d}x=\frac{1}{3}x\sqrt{x}+x+C$.

d) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=\frac{5}{3}$.

Câu 2. [MĐ2]. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và $OA=\mathrm{1,}OB=\mathrm{2,}OC=3$. Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$.

b) Tích vô hướng của hai véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{OG}$ bằng 3.

c) Độ dài véc-tơ $\overrightarrow{OG}$ bằng $\frac{\sqrt{14}}{3}$.

d) Khi điểm M thay đổi, biểu thức $Q=M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+3M{O}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất khi điểm M là trung điểm của đoạn OG

Câu 3. [HSG&VDC MĐ2] Một phần lát cắt của dãy núi có độ cao tính bằng mét được mô tả bởi hàm số $y=f\left(x\right)=-\frac{1}{1320000}{x}^3+\frac{9}{3520}{x}^2-\frac{81}{44}x+840$ với $0\le x\le 2000.$ Khi đó, xét tính đúng, sai của các khẳng định sau

a) Độ cao thấp nhất của dãy núi là 460m.

b) Độ cao  nhất của dãy núi là 1392 m.

c) Trong khoảng (a; b) (b - a lớn nhất) độ cao của dãy núi tăng dần khi đó kết quả $5a-b=450.$

d)Trong khoảng (0; c) (c lớn nhất) độ cao của dãy núi giảm dần khi đó diện tích toàn phần của khối lập phương cạnh c là $S=810000.$

Câu 4. [HSG&VDC MĐ3] Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x+3\right)}^2\left(x^2-x\right)$ với $\forall x\in R$

a) Hàm số $y=f\left(x\right)$ có 3 điểm cực trị. 

b) Hàm số $y=f\left(x\right)$ có 1 điểm cực đại.

c) Hàm số $y=f\left(x^2-6x+10\right)$ có 2 điểm cực trị.

d) Có 8 giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y=f\left(x^2-6x+m\right)$ có 5 điểm cực trị.

Câu 5. [HSG&VDC MĐ3] Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có đáy là hình thang cân, $AB=BC=CD=a,AD=2a$, O là trung điểm của cạnh AD. Biết rằng góc giữa đường thẳng $A^{\text{'}}C$ và mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ bằng 45⁰.

 Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Góc giữa đường thẳng $A^{\text{'}}C$ và mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ là $\widehat{C{A}^{\text{'}}A}$.

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B'C bằng khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng $\left(B^{\text{'}}CO\right)$.

c) Thể tích của hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ bằng $\frac{9a^3}{4}$

 d) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với đường thẳng A'C'. Biết (P) chia khối lăng trụ$ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$  thành hai khối đa diện. Thể tích của khối đa diện chứa đỉnh A bằng $\frac{15a^3}{8}$.

Câu 6. [HSG&VDC ] Cho hàm số $y=\frac{mx+3}{x+m+2}$, với m là tham số.

a. Tập xác định của hàm số là $D=ℝ\backslash \text{{}m+2\}$.

b. Với m = 2 thì hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

c. Với m = 0 thì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

d. Có 10 giá trị nguyên của tham số $m\in \text{[}-10;10]$ để hàm số $y=\left(\frac{mx+3}{x+m+2}\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$.

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN:

Câu 1. [HSG&VDC MĐ2] Cho hàm số $y=x^4-2x^2-3$. Tìm số điểm cực trị của hàm số $y=\left(x^4-2x^2-3\right)$

Câu 2. [HSG&VDC MĐ3] Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Tính $\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{DE}\right)$

Câu 3. [HSG&VDC MĐ3] Cho hàm số $f\left(x\right)=x^5+4x^3+m+2024$. Số giá trị nguyên âm của tham số m để bất phương trình $f\left(\sqrt[3]{f\left(x\right)+m}\right)\ge x^3-m$ có nghiệm thuộc đoạn $\left(0;3\right)$ là

Câu 4. [HSG&VDC MĐ3] Hình vẽ dưới đây mô tả một ngọn núi có dạng hình nón có độ dài đường sinh bằng 20m, bán kính đáy bằng 20m. Nhà đầu tư du lịch dự định xây dựng một con đường nhằm phục vụ việc chuyên chở khách du lịch thăm quan ngắm cảnh vòng quanh ngọn núi bắt đầu từ vị trí A và dừng ở vị trí B sao cho đoạn AB = 10m. Biết rằng người ta đã chọn xây dựng đường đi ngắn nhất vòng quanh núi từ A đến B, đoạn đường đầu là phần lên dốc từ A và đoạn sau sẽ xuống dốc đến B. Khi đó quãng đường xuống dốc đi từ A đến B bằng $\frac{a}{\sqrt{b}}$với $a,b\in {\mathbb{N}}^{*}$. Tính tổng $T=a+b$.

Câu 5. [HSG&VDC MĐ2] Gọi (C) là đồ thị hàm số $y=\frac{\left(m+1\right)x^2+\left(2m+1\right)x+m+2}{x+1}$ (với $m\ne -1$). Giá trị của m để tiệm cận xiên của (C)đi qua điểm $A\left(2;8\right)$.

Câu 6. [HSG&VDC MĐ4] Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm O, M là điểm thay đổi trên SO. Tỉ số $\frac{SM}{SO}=\frac{a}{b}$ sao cho $P=M{S}^2+M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2$ nhỏ nhất là bao nhiêu. Tính a + b.

Câu 7. Cho một tấm nhôm hình lục giác đều cạnh 90 (cm). Người ta cắt ở mỗi đỉnh của tâm nhôm hai hình tam giác vuông bằng nhau, biết cạnh góc vuông nhỏ bằng x(cm) (cắt phần tô đậm của tâm nhôm) rồi gập tâm nhôm như hình vẽ để được một hình lăng trụ lục giác đều không có nắp. Tính x để thể tích khối lăng trụ lục giác đều trên là lớn nhất.

Câu 8.[HSG&VDC MĐ2] Cho hàm số bậc ba $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Hỏi đồ thị hàm số $y=\frac{\left(x^2+4x+3\right)\sqrt{x^2+x}}{x\left[f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)\right]}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Câu 9: Một máy bay đang cất cánh từ phi trường. Với hệ tọa độ Oxyz được thiết lập như hình vẽ, Cho biết M là vị trí của máy bay, $OM=14, HOB={30}^o, MOC={60}^O$. Điểm $M(a,b,c)$. Tính $P=abc$?

Câu 10: Người ta muốn làm một sàn nổi hình vuông nối liền một sân khấu nổi trên mặt hồ có bờ là một nhánh đồ thị của hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}\left(C\right)$ với đất liền là nửa mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng $d:y=-x+1$. Tính diện tích S của mặt sàn nổi, biết hình vuông có 2 đỉnh nằm trên (C), 2 đỉnh còn lại nằm trên d.

----------- HẾT ----------

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI – NĂM HỌC 2024 – 2025

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG

ĐỀ THI THAM KHẢO - Môn: Toán 12

Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Trên khoảng $\left(\frac{\pi }{2};2\pi \right)$, phương trình $\cos \left(\frac{\pi }{6}-2x\right)=\sin x$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 2.

Câu 2. Với x là số nguyên dương, ba số 2x, 3x + 3, 5x + 5 theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Số hạng tiếp theo của cấp số nhân đó là

A. $\frac{250}{3}$

B. $\frac{250}{3}$

C. 250

D. -250.

Câu 3. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của $BC,B\text{'}C\text{'}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $(A\text{'}MN)\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}(ACC\text{'})$

B. $(A\text{'}BN)\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}(AC\text{'}M)$

C. $C\text{'}M\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}(A\text{'}B\text{'}B)$

D. $BN\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}(ACC\text{'}A\text{'})$

Câu 4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với (ABCD). Giả sử SA = 4; AB = 2. Xét hệ tọa độ Oxyz với gốc O trùng với đỉnh A và các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng các tia AB, AD, AS. Gọi M là trung điểm của SC (tham khảo hình dưới). Giá trị $\text{cos}\left(\overrightarrow{SB},\overrightarrow{DM}\right)$ bằng

A. $-\frac{\sqrt{30}}{10}$

B. $\frac{\sqrt{30}}{10}$

C. $\frac{3}{8}$

D. $-\frac{3}{8}$

Câu 5. Thời gian (phút) di chuyển đến trường của nhóm học sinh trường THPT X được tổng hợp dưới bảng sau:

Tứ phân vị thứ nhất của số liệu ở bảng tần số ghép nhóm trên bằng

A. 25,25

B. 28,14

C. 33,5

D. 27,25

Câu 6. Có 4 hành khách bước lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, một toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai.

A. $\frac{5}{16}$

B. $\frac{7}{16}$

C. $\frac{1}{8}$

D. $\frac{3}{16}$

Câu 7. Hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

Hàm số $g\left(x\right)=2f\left(x\right)-4x+7$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. $(1;2)$

B. $(-\infty ;1)$

C. $(2;3)$

D. $\left(\frac{5}{2};+\infty \right)$

Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình $3^{x^2-9}+\left(x^2-9\right)\cdot 5^{x+1}<1$ là khoảng $(a;b)$. Tính b - a

A. 6

B. 3

C. 8

D. 4.

Câu 9. Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng $\Delta :x-y=0$. Đường tròn (C) có bán kính $R=\sqrt{10}$, cắt $\Delta$ tại hai điểm A, B sao cho $AB=4\sqrt{2}$. Các tiếp tuyến của (C) tại hai điểm A, B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tâm đường tròn (C) bằng

A. $\sqrt{41}$

B. 5

C. $\sqrt{45}$

D. $\sqrt{34}$

Câu 10. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ biết tam giác ABC vuông tại $A,AB=3AC$.Trên cạnh CC' lấy điểm E sao cho $2EC\text{'}=3EC$. Khoảng cách từ điểm C' đến mặt phẳng $\left(A\text{'}BE\right)$ bằng 6cm. Gọi $d=\left(A\text{'}BE\right)\cap \left(ABC\right)$, số đo của góc nhị diện $\left(A^{\text{'}},d,A\right)$ bằng $30°$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ bằng bao nhiêu $c{m}^3$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

A. 3264

B. 9792

C. 294

D. 816

Câu 11. Một đoàn tình nguyện đến một trường tiểu học miền núi để trao tặng 20 suất quà cho 10 em học sinh nghèo học giỏi. Trong 20 suất quà đó gồm 7 chiếc áo mùa đông, 9 thùng sữa tươi và 4 chiếc cặp sách. Tất cả các suất quà đều có giá trị tương đương nhau. Biết rằng mỗi em nhận 2 suất quà khác loại (ví dụ một chiếc áo và một thùng sữa tươi). Trong số các em nhận quà có hai em An và Bình. Xác suất để hai em đó nhận được suất quà giống nhau bằng.

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{2}{5}$

C. $\frac{1}{15}$

D. $\frac{3}{5}$

Câu 12. Có hai học sinh lớp A ba học sinh lớp B và bốn học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh nào lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy?

A. 80640

B. 108864

C. 145152

D. 217728

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1.Bà Lan được tư vấn bổ sung chế độ ăn kiêng đặc biệt bằng cách sử dụng hai loại thực phẩm khác nhau là X và Y. Mỗi gói thực phẩm X chứa 20 đơn vị canxi, 20 đơn vị sắt và 10 đơn vị vitamin B. Mỗi gói thực phẩm Y chứa 20 đơn vị canxi, 10 đơn vị sắt và 20 đơn vị vitamin B. Yêu cầu hằng ngày tối thiểu trong chế độ ăn uống là 240 đơn vị canxi, 160 đơn vị sắt và 140 đơn vị vitamin B. Mỗi ngày không được dùng quá 12 gói mỗi loại. Gọi $x,y\left(x,y\in \mathbb{N}\right)$ lần lượt là số gói thực phẩm X và thực phẩm Y mà bà Lan cần dùng mỗi ngày.

a) Hệ bất phương trình mô tả số gói thực phẩm X và thực phẩm Y mà bà Lan cần dùng mỗi ngày trong chế độ ăn kiêng để đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với canxi, sắt và vitamin B là $\left\{\begin{array}{l}x+y\ge 12\\ 2x+y\ge 16\\ x+2y\ge 14\\ 0\le x\le 12\\ 0\le y\le 12\end{array}\right.$.

b) Miền nghiệm của hệ bất phương trình mô tả số gói thực phẩm X và thực phẩm Y mà bà Lan cần dùng mỗi ngày trong chế độ ăn kiêng để đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với canxi, sắt và vitamin B là một ngũ giác.

c) Biết 1 gói thực phẩm loại X giá 20000 đồng, 1 gói thực phẩm loại Y giá 25000 đồng khi đó bà Lan cần dùng 10 gói thực phẩm X và 2 gói thực phẩm Y trong mỗi ngày để chi phí mua là ít nhất.

d) Điểm (10; 8) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình mô tả số gói thực phẩm X và thực phẩm Y mà bà Lan cần dùng mỗi ngày trong chế độ ăn kiêng để đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với canxi, sắt và vitamin B.

Câu 2.Gọi S là tập nghiệm của phương trình $m{.3}^{x^2-3x+2}+3^{4-x^2}=3^{6-3x}+m$.

a) Khi m = 0 thì tập S có một phần tử.

b) Có vô số giá trị nguyên của m để tập S khác rỗng.

c) Tập S có không quá 3 tập con.

d) Có ít hơn ba giá trị của m để tập S có đúng 3 phần tử.

Câu 3. Cho hàm số đa thức bậc bốn $y=f\left(x\right)$ thỏa mãn $f\left(0\right)=f\left(2\right)=\frac{1}{2}$ và hàm số $f^{\text{'}}\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ

a) Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(2;+\infty \right)$.

b) Hàm số $y=f\left(x\right)$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[1;3\right]$ tại $x=2$.

c) Phương trình $f^{\text{'}}\left(\sin x\right)=0$ có 10 nghiệm thuộc đoạn $\left[0;10\pi \right]$.

d) Hàm số $g\left(x\right)=\left|18f\left(1-\frac{x}{3}\right)-x^2\right|$ có 7 điểm cực trị.

Câu 4. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 3, $SA=SB=SD=\sqrt{6}$ và tam giác ABD đều. Gọi H là trọng tâm tam giác ABD. Giả sử (P) là mặt phẳng thay đổi, luôn đi qua B và vuông góc với mặt phẳng (SCD). Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (P)

a) $SH\perp \left(ABCD\right)$

b)Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{3}{2}$

c) Khoảng cách từ B đến mặt phẳng $\left(SCD\right)$ bằng $\frac{3\sqrt{6}}{4}$.

d) Giá trị lớn nhất của $\sin \alpha$ bằng $\frac{\sqrt{6}}{4}$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6

Câu 1. Cho hình chóp SABC có ABC, SAB là các tam giác đều và mặt bên $\left(SAB\right)$ vuông góc với mặt đáy. Gọi $\alpha$ là góc phẳng nhị diện $\left[S,BC,A\right]$. Tính ${\cos }^2\alpha$.

Câu 2. Sau khi điều tra về số học sinh trong $\alpha$ lớp học của $\alpha$ trường THPT, người ta có bảng ghép nhóm như sau:

Tính trung vị của mẫu số liệu (làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 3. Cả hai xã A, B cùng ở một bên bờ sông Cấm, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là $AA\text{'}=500 \text{m},BB\text{'}=600 \text{m}$ và người ta đo được $A\text{'}B\text{'}=2200 \text{m}$ (Hinh vẽ). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Cấm cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí M của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn A'B' sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí M là nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó có dạng $a\sqrt{b}(a,b\in ℝ)$. Tính $a-20b$.

Câu 4. Với mức tiêu thụ thức ăn của một trang trại A không đổi như dự định thì lượng thức ăn dự trữ sẽ đủ cho 100 ngày. Nhưng thực tế, mức tiêu thụ thức ăn tăng thêm 4% mỗi ngày ( ngày sau tăng 4% so với ngày trước đó). Hỏi thực tế lượng thức ăn dự trữ đó chỉ đủ dùng cho bao nhiêu ngày?

Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(1;-1;0\right)$ và hai điểm $A\left(-4;7;3\right), B\left(4;4;5\right)$. Giả sử M, N là hai điểm thay đổi trong mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ luôn cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ và $MN=5\sqrt{2}$. Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức $T={\left(AM-BN\right)}^2$.

Câu 6. Bé An có một bảng hình chữ nhật gồm 6 hình vuông đơn vị, cố định không xoay hình vẽ. Bé muốn dùng 3 màu để tô tất cả các cạnh của các hình vuông đơn vị, mỗi cạnh tô một lần sao cho mỗi hình vuông đơn vị được tô bởi đúng 2 màu, trong đó mỗi màu tô đúng 2 cạnh. Biết x là số cách bé An tô màu, tính x - 10000.

----------- HẾT ----------

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU   ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12, NĂM HỌC 2024 – 2025 Môn thi: Toán học Thời gian làm bài: 120 phút, (không tính thời gian phát đề)

ĐỀ GỐC 1

Phần I (6 điểm). Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ được chọn một phương án.

Câu 1. Thời gian tập thể dục mỗi ngày của bạn Nam được thống kê lại ở bảng sau

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là

A. 23,75.        

B. 27,5.          

C. 31,85.        

D. 8,125.

Câu 2. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số lẻ bằng

A. $\frac{11}{25}$

B. $\frac{14}{25}$

C. $\frac{13}{25}$

D. $\frac{12}{25}$

Câu 3. Số nghiệm của phương trình $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=0$ trên đoạn $\left[0;10\pi \right]$ là

A. 18

B. 19

C. 20

D. 21

Câu 4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $AB=a, AD=a\sqrt{3}$và SA vuông góc với đáy, $SA=a\sqrt{3}$. Giá trị tang của góc nhị diện $\left[S,BD,A\right]$ bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. 2

C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

D. $\sqrt{3}$

Câu 5: Cho hàm số $y=\frac{x^2-2x+3}{x+2}$ có đồ thị (C). Phương trình đường tiệm cận xiên của (C) là $y=ax+b.$ Giá trị $T=4a-b$ bằng

A. 9.                                                

B. 10.                                              

C. 8.                                                

D. 11.

Câu 6. Một chất điểm chuyển động theo phương trình $S\left(t\right)=t^3-6t^2+15t+\mathrm{9,}$ trong đó t tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m). Tại thời điểm $t_0$(giây) bằng bao nhiêu thì vận tốc nhỏ nhất?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Câu 7. Cho hàm số $y=\frac{a{x}^2+2x+c}{x+b},$(với $a\ne 0$) có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị của biểu thức $P=a^2+b+c$ bằng

A. -1

B. 3

C. -2

D. 5

Câu 8. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có $AB=\mathrm{1,}AD=\mathrm{2,}AA\text{'}=3$. Điểm M thuộc cạnh CC' sao cho $MC\text{'}=2MC, N$ thuộc cạnh DD' sao cho $ND=2ND\text{'}$.  Giá trị $\cos (\overrightarrow{AM},\overrightarrow{CN})$ bằng

A. $\frac{2}{\sqrt{5}}.$

B. $\frac{-1}{\sqrt{30}}.$

C. $\frac{1}{\sqrt{30}}.$

D. $\frac{-2}{\sqrt{5}}.$

Câu 9. Cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có cạnh bằng 8. Điểm M nằm trên mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB' và A'M bằng

A. $4\sqrt{2}$

B. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

C. $3\sqrt{2}$

D. $2\sqrt{2}$

Câu 10. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có $A(0;1;2),B(2;1;4),C(-1;2;2)$. Gọi $H(x;y;z)$ là trực tâm tam giác ABC. Giá trị của biểu thức $T=x+y+z$ bằng

A. 1

B. $\frac{2}{3}.$

C. 3

D. $\frac{1}{3}.$

Câu 11. Ông An dự định sử dụng hết 8 m² kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, đáy là hình nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu mét khối ? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

A. 2,75

B. 3,25

C. 2,05

D. 2,15

Câu 12. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn ${\log }_3\frac{1-xy}{x+2y}=3xy+x+2y-4$. Giá trị nhỏ nhất  của $P=x+y$ bằng

A. $\frac{2\sqrt{11}-3}{3}.$

B. $\frac{9\sqrt{11}-19}{9}.$

C. $\frac{18\sqrt{11}-29}{21}.$

D. $\frac{9\sqrt{11}+19}{9}.$

Phần II (6 điểm). Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 3. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Mỗi tuần, một cửa hàng bán điện thoại di động trung bình bán được 1000 điện thoại A với giá 14 triệu đồng một cái. Biết rằng, nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng/1 cái, số lượng điện thoại A bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 cái mỗi tuần. Biết rằng nếu bán x cái điện thoại A thì giá mỗi cái là p(x) (triệu đồng) và hàm chi phí hàng tuần $C\left(x\right)=12000-3x$ (triệu đồng).

a) $p\left(1000\right)=14$ và $p\left(100\right)=\mathrm{13,5}$.

b) $p\left(x\right)=-\frac{1}{200}x+19.$

c) Cửa hàng đạt lợi nhuận cao nhất khi bán ra 1200 cái điện thoại A.

d) Để lợi nhuận là lớn nhất, cửa hàng nên bán mỗi cái điện thoại A là 8,5 triệu đồng.

Câu 2. Cho hàm số $y=\frac{x^2}{x-1}$ có đồ thị (C).

a) Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left(0;1\right)$ và $\left(1;2\right).$

b) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của (C) bằng $\sqrt{5}.$

c) Đường tiệm cận xiên của đồ thị (C) tạo với trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng $\frac{3}{2}$.

d) Tổng khoảng cách từ một điểm trên (C) đến hai đường tiệm cận của (C) có giá trị nhỏ nhất bằng 1.

Câu 3. Trong không gian Oxyz cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và $A(0;0;0),B(4;0;0),D(0;3;0),S(0;0;6)$. Gọi E là trung điểm của CD.

a) $C\left(4;3;0\right).$

b) Điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MS}=\overrightarrow{0}$ có tọa độ là $(-2;3;9)$.

c) Góc tạo bởi hai đường thẳng SE và BC có số đo nhỏ hơn 60⁰

d) Điểm I thuộc mặt phẳng $\left(Oyz\right)$ thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}+3\overrightarrow{IS}|$ bằng 4

Phần III (8 điểm). Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 8.

Câu 1. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với đây và SA = 3. Biết rằng khoảng cách giữa giữa hai đường thẳng AB và SD bằng $\frac{12}{5}$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng bao nhiêu?

Câu 2. Cho hàm số $y=\frac{x^2-mx-m+1}{x-1}$ có đồ thị (C) và điểm $M\left(3;7\right).$ Gọi S là tập hợp giá trị tham số m để (C) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác MAB vuông tại M. Tích tất cả các phần tử của S bằng bao nhiêu?

Câu 3. Xếp ngẫu nhiên một nhóm học sinh gồm 3 nữ và 17 nam thành một hàng ngang. Xác suất để không có học sinh nam nào mà hai bạn bên cạnh đều là nữ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 4. Một hộ sản xuất kinh doanh hạt điều sấy mỗi ngày sản xuất được x kg $\left(5\le x\le 20\right)$. Tổng chi phí sản xuất x kg được cho bởi hàm chi phí $C\left(x\right)=x^3-3x^2+19x+300$ (đơn vị: nghìn đồng). Giả sử hộ sản xuất này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 316 nghìn đồng/kg. Hỏi hộ sản xuất này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu kilôgam hạt điều để thu được lợi nhuận lớn nhất?

Câu 5. Từ một tấm bìa lục giác đều cạnh 20, bạn Hoa muốn làm một hình chóp lục giác đều bằng cách cắt bỏ phần tô đậm và dán các mép lại với nhau (các mối ghép nối có kích thước không đáng kể, tham khảo hình bên). Để thể tích hình lục giác đều tạo thành lớn nhất thì phần diện tích bạn Hoa cắt đi là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Câu 6. Trong không gian Oxyz cho ba điểm $A\left(1;4;2\right), B\left(2;-6;0\right) và C\left(-4;4;4\right)$. Điểm M thuộc mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ sao cho MB vuông góc với BC. Độ dài đoạn thẳng AM lớn nhất bằng bao nhiêu? (kết quả được làm tròn một chữ số thập phân).

Câu 7. Trên một hồ nước có hai đảo. Đảo thứ nhất có hình dạng là một parabol và đảo thứ hai có hình dạng là một hình tròn với kích thước được mô hình hóa trong hình bên. Người ta muốn xây dựng một cái cầu nối hai đảo với nhau. Hỏi chiều dài ngắn nhất có thể của cây cầu là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên $y\le 2024$ để ứng với mỗi y tồn tại hai số thực x thỏa mãn bất phương trình $e^{x^2}+\left(y+\ln x\right).e^{y+\ln x}\le \left(x^3+x\right)e^y$?

--------------- Hết --------------

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 hay khác:

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Thanh Hóa năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Hải Phòng năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Vũng Tàu năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Nguyễn Bính (Nam Định) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Lê Xoay (Vĩnh Phúc) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Hải Phòng năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Bắc Giang năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Hải Dương năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Hải Dương năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Vĩnh Phúc năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Nho Quan A (Ninh Bình) (Lần 1) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Nho Quan A (Ninh Bình) (Lần 2) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Nông Cống 2 và 3 (Thanh Hóa) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Hậu Lộc 2 (Thanh Hóa) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Hậu Lộc 4 (Thanh Hóa) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Thanh Hóa năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Triệu Sơn (Thanh Hóa) năm 2024-2025

• Đề thi học sinh giỏi Toán 12 Sở GD & ĐT tỉnh Nghệ An năm 2024-2025

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---