Sách bài tập Toán 9 Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Sách bài tập Toán 9 Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 45 trang 59 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình:

a. (x+2)² -3x -5 =(1 –x)(1 +x)

b. (x -1)³ +2x=x³– x² – 2x +1

c. x(x² -6 ) – (x – 2)² = (x +1)³

d. (x +5)² + (x -2)² + (x +7)(x -7) = 12x -23

Lời giải:

a) Ta có: (x+2)² -3x -5 = (1 –x)(1 +x)

⇔ x² + 4x +4 -3x -5 =1 – x²

⇔ 2x² +x -2 =0

Δ = 1² -4.2.(-2) =1 +16 =17 > 0

√Δ = √17

b) Ta có: (x -1)³ +2x=x³ – x² – 2x +1

⇔ x³ – 3x² +3x -1+2x =x³ – x² -2x +1

⇔ 2x² – 7x +2 =0

Δ = (-7)² -4.2.2 = 49 - 16 = 33 > 0

√Δ = √33

c) Ta có: x(x² -6 ) – (x – 2)² = (x +1)³

⇔ x³ – 6x – x² +4x -4 =x³ + 3x² +3x +1

⇔ 4x² +5x +5 =0

Δ = 5² -4.4.5 = 25 - 80 = -55 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm

d) Ta có: (x +5)² + (x -2)² + (x +7)(x -7) = 12x -23

⇔ x² +10x + 25 +x² -4x +4 +x² -49 = 12x -23

⇔ x² +10x+25 +x² -4x +4 +x² -49 -12x +23 =0

⇔ 3x² -6x + 3 =0

⇔ x² -2x +1 =0

Δ’ = (-1)² -1.1 = 1-1 =0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép: x₁ = x₂ =1

Bài 46 trang 59 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình:

Lời giải:

a. Điều kiện : x ≠ ± 1

Ta có: ⇔ 12(x +1) – 8(x -1) = (x +1)(x -1)

⇔ 12x +12 -8x +8 = x² -1 ⇔ x² -4x -21 =0

Δ’ = (-2)² -1.(-21) = 4 + 21=25 > 0

√Δ' =√25 =5

Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy nghiệm của phương trình là x =7 và x =-3

b. Điều kiện : x ≠3 và x ≠ 1

Ta có: ⇔ 16(1 – x) +30(x -3) =3(x -3)(1 –x)

⇔ 16 – 16x +30x -90 =3x -3x² -9 +9x

⇔ 3x² +2x -65 =0

Δ’ = 1² -3.(-65) = 1 + 195=196 > 0

√Δ' =√196 =14

Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy nghiệm của phương trình là x =13/3 và x =-5

c.Điều kiện : x≠3 và x ≠ -2

Ta có: ⇔ x² -3x +5 = x+2 ⇔ x² -4x +3 =0

Phương trình x² -4x +3 = 0 có a = 1 ,b = -4 , c = 3

Suy ra : a + b + c = 0

Ta có nghiệm x₁ =1 , x₂ =3 (loại)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1

d. Điều kiện : x≠2 và x ≠ -4

Ta có: ⇔ 2x(x +4) –x(x -2) = 8x +8

⇔ 2x² +8x –x² +2x = 8x +8

⇔ x² +2x -8 = 0

Δ’ = 1² -1(-8) = 1 +8 = 9 > 0

√Δ' =√9 = 3

Cả hai giá trị của x đều không thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

e. Điều kiện : x≠1

Ta có:

⇔ x³+7x² +6x -30 = (x² –x +16)(x -1)

⇔ x³+7x² +6x -30 = x³ – x² – x² +x +16x -16

⇔ 9x² -11x -14 =0

Δ = (-11)² -4.9.(-14) = 121 +504 = 625 > 0

√Δ =√625 =25

Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy nghiệm của phương trình là x = -7/9 và x = 2

f. Điều kiện : x≠ ± 1

ta có:

⇔ x² +9x -1 =17x -17 ⇔ x² -8x +16 =0

Δ’ = (-4)² – 1.16=16 -16 =0

Phương trình có nghiệm kép :x₁ =x₂ =4

Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy nghiệm của phương trình là x =4

Bài 47 trang 59 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích

a.3x³ +6x² -4x =0     b.(x +1)³ –x +1 = (x -1)(x -2)

c.(x² +x +1)² = (4x -1 )²     d.(x² +3x + 2)² = 6.(x² +3x +2)

e.(2x² +3)² -10x³ -15x =0     f.x³ – 5x² –x +5 =0

Lời giải:

a) Ta có: 3x³ +6x² -4x =0 ⇔ x(3x² +6x -4) =0

⇔ x = 0 hoặc 3x² +6x -4 =0

Giải phương trình 3x² +6x -4 =0

Δ’ = 3² -3(-4) =9 +12 =21 > 0

√Δ' =√21

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm

b) Ta có: (x + 1)³ –x +1 = (x -1)(x -2)

⇔ x³ +3x²+3x +1 –x +1 = x² -2x –x +2

⇔ x³ +2x² +5x = 0 ⇔ x(x² +2x +5) =0

⇔ x =0 hoặc x² +2x +5 =0

Giải phương trình x² +2x +5 =0

Δ’ = 1² -1.5 =1 -5 = -4 < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm : x=0

c) Ta có: (x² +x +1)² = (4x -1 )²

⇔ [(x² +x +1) + (4x -1 )] [(x² +x +1) - (4x -1 )]=0

⇔ (x² +5x)(x² -3x +2) =0 ⇔ x(x+5) (x² -3x +2) =0

⇔ x =0 hoặc x+5 =0 hoặc x² -3x +2 =0

x+5 =0 ⇔ x=-5

x² -3x +2 =0

Δ = (-3)² -4.2.1 = 9 -8 =1 > 0

√Δ =√1 =1

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:

x₁ =0 ; x₂ =-5 ; x₃ =2 ; x₄ =1

d) (x² +3x + 2)² = 6.(x² +3x +2)

⇔ (x² +3x + 2)² - 6.(x² +3x +2)=0

⇔ (x² +3x + 2)[ (x² +3x + 2) -6] =0

⇔ (x² +3x + 2) .(x² +3x -4 )=0

x² +3x + 2 =0

Phương trình có dạng a –b +c =0 nên x₁ = -1 ,x₂ =-2

x² +3x -4 =0

Phương trình có dạng a +b +c =0 nên x₁ = 1 ,x₂=-4

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm :

x₁ = -1 ,x₂ =-2 ; x₃ = 1 ,x₄ =-4

e) Ta có: (2x² +3)² -10x³ -15x = 0 ⇔ (2x² +3)² - 5x(2x² +3)=0

⇔ (2x² +3)( 2x² +3 - 5x) = 0 ⇔ (2x² +3)( 2x² - 5x +3)=0

Vì 2x² ≥ 0 nên 2x² +3 > 0

Suy ra : 2x² - 5x +3=0

Δ = (-5)² -4.2.3 =25 -24=1 > 0

√Δ =√1 = 1

vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x₁ = 3/2 ; x₂ = 1

f) Ta có: x³ – 5x² –x +5 =0 ⇔ x²( x -5) – ( x -5) =0

⇔ (x -5)(x² -1) =0 ⇔ (x -5)(x -1)(x +1) =0

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm :x₁ = 5;x₂ =1;x₃=-1

Bài 48 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình trùng phương

a. x⁴ -8x² – 9 =0     b. y⁴ – 1,16y² + 0,16 =0

c. z⁴ -7z² - 144 =0     d. 36t⁴ – 13t² +1 =0

    f.√3x⁴ – (2 -√3 )x² -2 =0

Lời giải:

a.Đặt m = x² .Điều kiện m ≥ 0

Ta có: x⁴ -8x² – 9 =0 ⇔m² -8m -9 =0

Phương trìnhm² - 8m - 9 = 0 có hệ số a = 1,b = -8,c = -9 nên có dạng a – b + c = 0

suy ra: m₁ = -1 (loại) , m₂ = -(-9)/1 =9

Ta có: x² =9 ⇒ x=± 3

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : x₁ =3 ;x₂ =-3

b. Đặt m = y² .Điều kiện m ≥ 0

Ta có: y⁴ – 1,16y² + 0,16 =0 ⇔m² -1,16m + 0,16 =0

Phương trìnhm² -1,16m + 0,16 = 0 có hệ số a = 1, b = -1,16, c = 0,16 nên có dạng a + b + c = 0

suy ra: m₁ = 1 , m₂ = 0,16

Ta có: y² =1 ⇒ y = ± 1

y² =0,16 ⇒ y = ± 0,4

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm : y₁ =1 ;y₂ =-1 ; y₃ =0,4 ;y₄ =-0,4

c. Đặt m =z² .Điều kiện m ≥ 0

Ta có: z⁴ -7z² - 144 =0 ⇔m² -7m -144 =0

Ta có: Δ=(-7)² -4.1.(-144) =49 + 576=625 > 0

√Δ =√625 = 25

Ta có: z² =16 ⇒ z=± 4

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : z₁ =4 ;z₂ =-4

d. Đặt m = t² .Điều kiện m ≥ 0

Ta có: 36t⁴ – 13t² +1 =0 ⇔ 36m² -13m +1 =0

Ta có: Δ=(-13)² – 4.36.1=169 -144=25 > 0

√Δ =√25 = 5

Ta có: t² =1/4 ⇒ t=± 1/2

t² =1/9 ⇒ t=± 1/3

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm :

t₁ = 1/2 ; t₂ = -1/2 ; t₃ = 1/3 ; t₄ = -1/3

e. Đặt m =x² .Điều kiện m ≥ 0

Ta có: 1/3.(x⁴) - 1/2.( x²) +1/6 =0⇔ 2x⁴ -3x² +1=0 ⇔ 2m² -3m + 1 =0

Phương trình 2m² -3m + 1 =0 có hệ số a=2,b=-3,c=1 nên có dạng a +b+c =0

suy ra: m₁ = 1 , m₂ = 1/2

Ta có: x² = 1 ⇒ x = ± 1

x² = 1/2 ⇒ x = ± √2/2

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm :

x₁ =1 ; x₂ =-1 ; x₃ =( √2)/2; x₄ = - √2/2

f. Đặt m =x² .Điều kiện m ≥ 0

Ta có: √3 x⁴ – (2 -√3 )x² -2 =0 ⇔ √3m² - (2 -√3 )m - 2 =0

Phương trình √3m² - (2 -√3 )m - 2 =0 có hệ số a=√3 ,b= -(2 -√3 ),c=-2 nên có dạng a - b+c =0

Bài 49 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Chứng minh rằng khi a và c trái dấu thì phương trình trùng phương ax⁴+bx²+c =0 chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau

Lời giải:

Đặt m =x² .Điều kiện m ≥ 0

Ta có: ax⁴ + bx² + c = 0 ⇔ am² + bm + c = 0

Vì a và c trái dấu nên a/c < 0. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là m₁ và m₂

Theo hệ thức Vi-ét,ta có: m₁m₂ = c/a

Vì a và c trái dấu nên c/a <0 suy ra m₁m₂ < 0 hay m₁ và m₂ trái dấu nhau

Vì m₁ và m₂ trái dấu nhau nên có 1 nghiệm bị loại ,giả sử loại m₁

Khi đó x² =m₂ => x = ± √m₂

Vậy phương trình trùng phương ax⁴+bx²+c =0 chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau khi a và c trái dấu

Bài 50 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ

a.(4x -5)² – 6(4x -5) +8 =0

b.(x² +3x -1)² +2(x² +3x -1) -8 =0

c. (2x² +x -2)² +10x² +5x -16 =0

d.(x² -3x +4)(x² -3x +2) =3

Lời giải:

a) Đặt m =4x -5

Ta có: (4x -5)²– 6(4x -5) +8 =0 ⇔ m² -6m +8 =0

Δ’ = (-3)² -1.8 =9 -8=1 > 0

√Δ' = √1 = 1

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x₁ =9/4 ,x₂ =7/4

b) Đặt m = x² +3x -1

Ta có: (x² +3x -1)² +2(x² +3x -1) -8 =0 ⇔ m² +2m -8 =0

Δ’ = 1² -1.(-8) =1 +8 =9 > 0

√Δ' =√9 =3

Với m = 2 thì : x² +3x - 1 = 2 ⇔ x² + 3x - 3 = 0

Δ’ = 3² -4.1.(-3 )=9 +12=21 > 0

√Δ =√21

Với m = -4 ta có: x² +3x -1 = -4 ⇔ x² +3x +3 = 0

Δ = 3² -4.1.3=9 -12 = -3 < 0

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm :

c) Đặt m = 2x² +x -2

Ta có: (2x² +x -2)²+10x² +5x -16 =0

⇔ (2x² +x -2)²+5(2x² +x -2) -6 =0

⇔ m² +5m -6 =0

Phương trình m² +5m -6 = 0 có hệ số a = 1, b = 5, c = -6 nên có dạng

a + b + c = 0

Suy ra : m₁ =1 ,m₂ =-6

m₁ =1 ta có: 2x² +x -2 =1 ⇔ 2x² +x -3=0

Phương trình 2x² +x -3 = 0 có hệ số a = 2, b = 1 , c = -3 nên có dạng

a +b+c=0

Suy ra: x₁ =1 ,x₂ =-3/2

Với m=-6 ta có: 2x² +x -2 = -6 ⇔ 2x² +x +4 =0

Δ = 1² -4.2.4 = 1 -32 = -31 < 0 . Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : x₁ =1 ,x₂ =-32

d) Đặt m= x² -3x +2

Ta có: (x² -3x +4)(x² -3x +2) =3

⇔ [(x² -3x +2 +2)(x² -3x +2) -3 =0

⇔ (x² -3x +2)² +2(x² -3x +2) -3 =0

⇔ m² +2m -3 =0

Phương trình m² +2m -3 = 0 có hệ số a = 1, b = 2 , c = -3 nên có dạng

a +b+c=0

suy ra : m₁ =1 ,m₂ =-3

Với m₁ =1 ta có: x² -3x +2 =1 ⇔ x² -3x +1=0

Δ = (-3)² -4.1.1 = 9 -4 =5 > 0

√Δ = √5

Với m₂ =-3 ta có: x² -3x +2 =-3 ⇔ x² -3x +5=0

Δ = (-3)² -4.1.5 = 9 -20 =-11 < 0.Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm :

e. Đặt m= x/(x+1) .Điều kiện : x ≠ -1

⇔ 2m² -5m +3 =0

Phương trình 2m² -5m +3 = 0 có hệ số a = 2, b = -5 , c = 3 nên có dạng

a +b + c = 0

suy ra : m₁ = 1 ,m₂ =3/2

Với m₁ =1 ta có: x/(x+1) =1 ⇔ x =x+1 ⇔ 0x =1 (vô nghiệm)

Với m = 3/2 ta có: x/(x+1) = 3/2 ⇔ 2x =3(x +1)

⇔ 2x =3x +3 ⇔ x =-3

Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm : x=-3

f. Đặt m = √(x -1) .Điều kiện : m ≥ 0, x ≥ 1

Ta có : x - √(x -1)-3 =0 ⇔ (x -1) -√(x -1) -2 =0

⇔ m² -m - 2 =0

Phương trình m² -m - 2 = 0 có hệ số a = 1, b = -1 , c = -2 nên có dạng

a – b + c = 0

Suy ra : m₁ = -1 (loại) , m₂ = -(-2)/1 = 2

Với m =2 ta có:√(x -1) =2 ⇒ x -1 =4 ⇔ x =5

Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm : x=5

Bài 1 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giaỉ các phương trình :

Lời giải:

Bài 2 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x + 2√(x - 1) - m² + 6m - 11 = 0

a) Giải phương trình khi m = 2.

b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.

Lời giải:

Bài 3 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: (Đề thi học sinh giỏi toán Bulgari - Mùa xuân năm 1997). Tìm giá trị của m để phương trình [x² - 2mx - 4(m² + 1)][x² - 4x - 2m(m² +1)] = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt.

Lời giải:

Xem thêm Video Giải sách bài tập Toán lớp 9 (SBT Toán 9) hay và chi tiết khác:

• Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
• Ôn tập chương 4
• Bài 1: Góc ở tâm - Số đo cung
• Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

• Giải bài tập Toán 9
• Chuyên đề Toán 9 (có đáp án - cực hay)
• Lý thuyết & 500 Bài tập Toán 9 (có đáp án)
• Các dạng bài tập Toán 9 cực hay
• Đề thi Toán 9
• Đề thi vào 10 môn Toán

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---