Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số y = x^3 – 2x^2 – 7x + 1 trên đoạn [−3; 2]

Ra mắt Sách 20 đề THPT quốc gia form 2025 toán, văn, anh.... (từ 80k/1 cuốn)

Trang trước Trang sau

Giải SBT Toán 12 Cánh diều Bài tập cuối chương 1

Bài 107 trang 44 SBT Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số:

a) y = x³ – 2x² – 7x + 1 trên đoạn [−3; 2];

b) y = $\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 3}$ $\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 3}$ trên đoạn [−1; 3];

c) y = (x² – 2x + 2)e^x trên đoạn [−2; 1];

d) y = $ln \sqrt{x^{2} + 1}$ $\ln \sqrt{x^{2} + 1}$ trên đoạn [- $\sqrt{3}$ $\sqrt{3}$ ;2 $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ ];

e) y = x + cos2x trên đoạn $[\frac{π}{4}; \frac{π}{2}]$ $[\frac{π}{4}; \frac{π}{2}]$ .

Quảng cáo

Lời giải:

a) y = x³ – 2x² – 7x + 1 trên đoạn [−3; 2]

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = x³ – 2x² – 7x + 1

⇒ y' = 3x² – 4x – 7.

y' = 0 ⇔ 3x² – 4x – 7 = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = $\frac{7}{3}$ $\frac{7}{3}$ .

Có −1 ∈ (−3; 2) nên ta có các giá trị: y(−3) = −23, y(−1) = 5, y(2) = −13.

Vậy $min [- 3; 2]$ $\min_{[- 3; 2]}$ y = −23 tại x = −3, $max [- 3; 2]$ $\max_{[- 3; 2]}$ y = 5 tại x = −1.

b) y = $\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 3}$ $\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 3}$ trên đoạn [−1; 3]

Tập xác định: D = ℝ\{−3}.

Ta có: y = $\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 3}$ $\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 3}$ ⇒ y' = $\frac{x^{2} + 6 x + 8}{{(x + 3)}^{2}}$ $\frac{x^{2} + 6 x + 8}{{(x + 3)}^{2}}$

y' = 0 ⇔ $\frac{x^{2} + 6 x + 8}{{(x + 3)}^{2}}$ $\frac{x^{2} + 6 x + 8}{{(x + 3)}^{2}}$ = 0 ⇔ x = −2 hoặc x = −4.

Có −2, −4 ∉ (−1; 3) nên ta có các giá trị: y(−1) = $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ , y(3) = $\frac{25}{6}$ $\frac{25}{6}$ .

Vậy $min [- 1; 3]$ $\min_{[- 1; 3]}$ y = $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ tại x = −1, $max [- 1; 3]$ $\max_{[- 1; 3]}$ y = $\frac{25}{6}$ $\frac{25}{6}$ tại x = 3.

c) y = (x² – 2x + 2)e^x trên đoạn [−2; 1]

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = (x² – 2x + 2)e^x⇒ y' = x².e^x

y' = 0 ⇔ x².e^x = 0 ⇔ x = 0.

Có 0 ∈ (−2; 1) nên ta có các giá trị: y(−2) = $\frac{10}{e^{2}}$ $\frac{10}{e^{2}}$ , y(0) = 2, y(1) = e.

Vậy $min [- 2; 1]$ $\min_{[- 2; 1]}$ y = $\frac{10}{e^{2}}$ $\frac{10}{e^{2}}$ tại x = −2, $max [- 2; 1]$ $\max_{[- 2; 1]}$ y = e tại x = 1.

d) y = $ln \sqrt{x^{2} + 1}$ $\ln \sqrt{x^{2} + 1}$ trên đoạn [- $\sqrt{3}$ $\sqrt{3}$ ;2 $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ ]

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = $ln \sqrt{x^{2} + 1}$ $\ln \sqrt{x^{2} + 1}$ ⇒ y' = $\frac{x}{x^{2} + 1}$ $\frac{x}{x^{2} + 1}$

y' = 0 ⇔ $\frac{x}{x^{2} + 1}$ $\frac{x}{x^{2} + 1}$ = 0 ⇔ x = 0.

Có 0 ∈ $(- \sqrt{3}; 2 \sqrt{2})$ $(- \sqrt{3}; 2 \sqrt{2})$ nên ta tính được các giá trị: y( $- \sqrt{3}$ $- \sqrt{3}$ ) = ln2, y(0) = 0, y( $2 \sqrt{2}$ $2 \sqrt{2}$ ) = ln3.

Vậy $min [- \sqrt{3}; 2 \sqrt{2}]$ $\min_{[- \sqrt{3}; 2 \sqrt{2}]}$ y = 0 tại x = 0, $max [- \sqrt{3}; 2 \sqrt{2}]$ $\max_{[- \sqrt{3}; 2 \sqrt{2}]}$ y = ln3 tại x = $2 \sqrt{2}$ $2 \sqrt{2}$ .

e) y = x + cos2x trên đoạn $[\frac{π}{4}; \frac{π}{2}]$ $[\frac{π}{4}; \frac{π}{2}]$ .

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = x + cos2x ⇒ y' = 1 – 2sin2x

y' = 0 ⇔ 1 – 2sin2x = 0 ⇔ x = $\frac{π}{12} + k π$ $\frac{π}{12} + k π$ hoặc x = $\frac{5 π}{12} + k π$ $\frac{5 π}{12} + k π$ (k ∈ ℤ).

Vì x ∈ $(\frac{π}{4}; \frac{π}{2})$ $(\frac{π}{4}; \frac{π}{2})$ nên x = $\frac{5 π}{12}$ $\frac{5 π}{12}$ , ta tính được các giá trị:

y $(\frac{π}{4})$ $(\frac{π}{4})$ = $\frac{π}{4}$ $\frac{π}{4}$ , y $(\frac{π}{2})$ $(\frac{π}{2})$ = $\frac{π}{2}$ $\frac{π}{2}$ -1 , y $(\frac{5 π}{12})$ $(\frac{5 π}{12})$ = $\frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Vậy $min [\frac{π}{4}; \frac{π}{2}]$ $\min_{[\frac{π}{4}; \frac{π}{2}]}$ y = $\frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ tại x = $\frac{5 π}{12}$ $\frac{5 π}{12}$ , $max [\frac{π}{4}; \frac{π}{2}]$ $\max_{[\frac{π}{4}; \frac{π}{2}]}$ y = $\frac{π}{4}$ $\frac{π}{4}$ tại x = $\frac{π}{4}$ $\frac{π}{4}$ .

Quảng cáo

Lời giải SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 1 hay khác:

Quảng cáo

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official