Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau y = x^3 – 6x^2 + 9x – 2

Giảm giá 50% sách VietJack đánh giá năng lực các trường trên Shopee Mall

Trang trước Trang sau

Giải SBT Toán 12 Cánh diều Bài tập cuối chương 1

Bài 108 trang 44 SBT Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) y = x³ – 6x² + 9x – 2;

b) y = −x³ – x;

c) y = $\frac{2 x - 4}{x + 1}$ ;

d) $y = \frac{- x + 3}{x - 2}$ ;

e) y = $\frac{x^{2} - x + 2}{x + 1}$ ;

g) y = $\frac{- x^{2} + 4}{2 x}$ .

Quảng cáo

Lời giải:

a) y = x³ – 6x² + 9x – 2

1) Tập xác định: D = ℝ.

2) Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực: $\lim_{x \to + \infty}$ y = +∞, $\lim_{x \to - \infty}$ y = −∞.

Ta có: y = x³ – 6x² + 9x – 2 ⇒ y' = 3x² – 12x + 9.

y' = 0 ⇔ 3x² – 12x + 9 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau y = x^3 – 6x^2 + 9x – 2

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3).

Hàm số đạt cực đại tại x = 1, y_CĐ = 2; đạt cực tiểu tại x = 3, y_CT = −2.

3) Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục tung tại điểm: (0; −2).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (0; −2); (1; 2); (2; 0); (3; −2); (4; 2).

Ta có đồ thị như sau:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau y = x^3 – 6x^2 + 9x – 2

b) y = −x³ – x

1) Tập xác định: D = ℝ.

2) Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực: $\lim_{x \to + \infty}$ y = −∞, $\lim_{x \to - \infty}$ y = +∞.

Ta có: y = −x³ – x

⇒ y' = −3x² – 1 < 0 với mọi x.

Hàm số nghịch biến trên ℝ.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau y = x^3 – 6x^2 + 9x – 2

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (−2; 10); (−1; 2); (0; 0); (1; −2); (2; −10).

Có đồ thị hàm số như sau:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau y = x^3 – 6x^2 + 9x – 2

c) y = $\frac{2 x - 4}{x + 1}$

1) Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

2) Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta có: $\lim_{x \to + \infty}$ y = 2, $\lim_{x \to - \infty}$ y = 2.

Do đó, đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \to - 1^{-}}$ y = +∞, $\lim_{x \to - 1^{+}}$ y = −∞.

Do đó, đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

y' = $\frac{6}{{(x + 1)}^{2}}$ > 0, với ∀x ∈ D.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau y = x^3 – 6x^2 + 9x – 2

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).

3) Đồ thị

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = −1 làm tiệm cận đứng, y = 2 làm tiệm cận ngang.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; −4); (2; 0); (1; −1); (−2; 8); (5; 1); (−4; 4); $(- 8; \frac{20}{7})$ .

Có đồ thị hàm số như sau:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau y = x^3 – 6x^2 + 9x – 2

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận có tọa độ (−1; 2) làm tâm đối xứng và nhận phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

d) $y = \frac{- x + 3}{x - 2}$

1) Tập xác định: D = ℝ\{2}.

2) Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận.

Ta có: $\lim_{x \to + \infty}$ y = −1, $\lim_{x \to - \infty}$ y = −1.

Do đó, đường thẳng y = −1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \to 2^{-}}$ y = −∞, $\lim_{x \to 2^{+}}$ y = +∞.

Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: y' = $\frac{- 1}{{(x - 2)}^{2}}$ < 0 với ∀x ∈ D.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau y = x^3 – 6x^2 + 9x – 2

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞).

3) Đồ thị

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 2 làm tiệm cận đứng, y = −1 làm tiệm cận ngang.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(0; \frac{- 3}{2})$ ; (1; −2); $(\frac{3}{2}; - 3)$ ; $(\frac{5}{2}; 1)$ ; (3; 0); $(4; \frac{- 1}{2})$ .

Ta có đồ thị hàm số như sau:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau y = x^3 – 6x^2 + 9x – 2

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận có tọa độ (2; −1) làm tâm đối xứng và nhận phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

e) y = $\frac{x^{2} - x + 2}{x + 1}$

1) Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

2) Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta có: $\lim_{x \to + \infty}$ y = +∞, $\lim_{x \to - \infty}$ y = −∞.

Do đó, hàm số không có đường tiệm cận ngang.

$\lim_{x \to - 1^{-}}$ y = −∞, $\lim_{x \to - 1^{+}}$ y = +∞.

Do đó, đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \to + \infty}$ $\frac{y}{x}$ = $\lim_{x \to + \infty}$ $\frac{x^{2} - x + 2}{(x + 1) x}$ = $\lim_{x \to + \infty}$ $\frac{x^{2} - x + 2}{x^{2} + x}$ = 1.

$\lim_{x \to + \infty}$ (y – x) = $\lim_{x \to + \infty}$ $(\frac{x^{2} - x + 2}{x + 1} - x)$ = $\lim_{x \to + \infty}$ $\frac{- 2 x + 2}{x + 1}$ = −2.

Do đó, đường thẳng y = x − 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: y' = $\frac{x^{2} + 2 x - 3}{{(x + 1)}^{2}}$ ;

y' = 0 khi x = 1 hoặc x = −3.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau y = x^3 – 6x^2 + 9x – 2

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −3) và (1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−3; −1) và (−1; 1).

Hàm số đạt cực đại tại x = −3, y_CĐ = −7; đạt cực tiểu tại x = 1, y_CT = 1.

3) Đồ thị

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = −1 làm tiệm cận đứng, y = x – 2 làm tiệm cận xiên.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (−5; −8); (−3; −7); (−2; −8); (0; 2); (1; 1); (3; 2).

Có đồ thị hàm số như sau:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau y = x^3 – 6x^2 + 9x – 2

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận có tọa độ (−1; −3) làm tâm đối xứng và nhận phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

g) y = $\frac{- x^{2} + 4}{2 x}$

1) Tập xác định: D = ℝ\{0}.

2) Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta có: $\lim_{x \to + \infty}$ y = −∞, $\lim_{x \to - \infty}$ y = +∞.

Do đó, hàm số không có đường tiệm cận ngang.

$\lim_{x \to 0^{-}}$ y = −∞, $\lim_{x \to 0^{+}}$ y = +∞.

Do đó, đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \to + \infty}$ $\frac{y}{x}$ = $\lim_{x \to + \infty}$ $\frac{- x^{2} + 4}{2 x^{2}}$ = $\frac{- 1}{2}$ .

$\lim_{x \to + \infty}$ = $\lim_{x \to + \infty}$ $(\frac{- x^{2} + 4}{2 x} + \frac{1}{2} x)$ = $\lim_{x \to + \infty}$ $\frac{2}{x}$ = 0.

Do đó, đường thẳng y = là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có y' = $\frac{- 2 x^{2} - 8}{4 x^{2}}$ < 0 với ∀x ∈ D.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau y = x^3 – 6x^2 + 9x – 2

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (0; +∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

Đồ thị nhận được thẳng x = 0 làm tiệm cận đứng, y = $\frac{- 1}{2}$ x làm tiệm cận xiên.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm: $(1; \frac{3}{2})$ ; $(- 1; - \frac{3}{2})$ ;(2; 0); $(- 3; \frac{5}{6})$ ; (−2; 0); $(4; \frac{- 3}{2})$ .

Có đồ thị hàm số như sau:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau y = x^3 – 6x^2 + 9x – 2

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận có tọa độ (0; 0) làm tâm đối xứng và nhận phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Quảng cáo

Lời giải SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 1 hay khác:

Quảng cáo

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official