Hàm số bậc hai (Lý thuyết Toán lớp 10) | Kết nối tri thức
Với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 16: Hàm số bậc hai sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.
Hàm số bậc hai (Lý thuyết Toán lớp 10) | Kết nối tri thức
Lý thuyết Hàm số bậc hai
1. Khái niệm hàm số bậc hai
Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức y = ax2 + bx + c, trong đó x là biến số, a, b, c là các hằng số và a ≠ 0.
Tập xác định của hàm số bậc hai là ℝ.
Nhận xét : Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) đã học ở lớp 9 là một trường hợp đặc biệt của hàm số bậc hai với b = c = 0.
Ví dụ:
a) Hàm số y = 2x2 + x – 1 là hàm số bậc hai với a = 2, b = 1, c = –1.
b) Hàm số y = – x2 cũng là hàm số bậc hai với a = –1 và b = c = 0.
2. Đồ thị của hàm số bậc hai
- Đồ thị của hàm số bậc hai là một parabol.
- Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) là một đường parabol có đỉnh là điểm , có trục đối xứng là đường thẳng . Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0, xuống dưới nếu a < 0.
- Để vẽ đường parabol y = ax2 + bx + c ta tiến hành theo các bước sau :
1. Xác định tọa độ đỉnh ;
2. Vẽ trục đối xứng ;
3. Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung, trục hoành (nếu có) và một vài điểm đặc biệt trên parabol ;
4. Vẽ parabol.
Nhận xét : Từ đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), ta suy ra tính chất của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0):
Với a > 0 |
Với a < 0 |
Hàm số nghịch biến trên khoảng ; Hàm số đồng biến trên khoảng ; là giá trị nhỏ nhất của hàm số. |
Hàm số đồng biến trên khoảng ; Hàm số nghịch biến trên khoảng ; là giá trị lớn nhất của hàm số. |
Ví dụ : Hãy vẽ parabol y = x2 – 2x + 2 và chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị nhỏ nhất của hàm số đó.
Hướng dẫn giải
Hàm số y = x2 – 2x + 2 có hệ số a = 1; b = – 2 ; c = 2.
Ta có : ∆ = (– 2)2 – 4.1.2 = –4.
Vì a = 1 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên.
Khi đó đỉnh = (1 ; 1); trục đối xứng .
Giao của đồ thị với trục Oy là A(0 ; 2).
Vì ∆ = – 4 < 0 nên phương trình x2 – 2x + 2 = 0 vô nghiệm, do đó đồ thị không giao với trục Ox.
Ta lấy điểm B(2; 2) đối xứng với A(0; 2) qua đường thẳng x = 1.
Ta có parabol y = x2 – 2x + 2 như hình vẽ sau :
b) Vì a = 1 > 0 nên ta có :
Hàm số y = x2 – 2x + 2 nghịch biến trên khoảng (–∞; 1);
Hàm số y = x2 – 2x + 2 đồng biến trên khoảng (1; +∞);
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 1, khi x = 1.
Bài tập Hàm số bậc hai
Bài 1: Vẽ các parabol sau và xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có).
a) y = x2 + 6x + 8
b) y = –x2 + 2x – 2
Hướng dẫn giải
a) Hàm số y = x2 + 6x + 8 có hệ số a = 1; b = 6 ; c = 8
Ta có : ∆ = 62 – 4.1.8 = 4
Vì a = 1 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên.
Khi đó đỉnh I = = (–3 ; –1); trục đối xứng ;
Giao của đồ thị với trục Ox là A(–2 ; 0) và B(–4 ; 0)
Giao của đồ thị với trục Oy là C(0 ; 8)
Ta lấy thêm điểm D(–6 ; 8) đối xứng với C(0 ; 8) qua đường thẳng x = –3 , điểm D cũng thuộc parabol.
Khi đó, ta có parabol y = x2 + 6x + 8 như hình vẽ sau :
b) Hàm số y = –x2 + 2x – 2 có hệ số a = –1; b = 2 ; c = –2
Ta có : ∆ =22 – 4. (–1). (–2) = –4.
Vì a = –1 < 0 nên parabol quay bề lõm xuống dưới.
Khi đó đỉnh I = = (1 ; –1); trục đối xứng .
Vì ∆ = –4 < 0 nên –x2 + 2x – 2 = 0 vô nghiệm, do đó đồ thị hàm số y = –x2 + 2x – 2 không cắt trục Ox.
Giao của đồ thị với trục Oy là A(0 ; –2)
Ta lấy thêm điểm B(2 ; –2) đối xứng với A(0 ; –2) qua đường thẳng x = 1, điểm B cũng thuộc parabol.
Khi đó, ta có parabol y = –x2 + 2x – 2 như hình vẽ sau :
Bài 2: Xác định parabol y = ax2 + bx + c, biết parabol đi qua điểm A(4 ; 0) và có đỉnh là I(5 ; 7).
Hướng dẫn giải
Đỉnh của parabol là I(5 ; 7) do đó và 7 = a.52 + b.5 + c ⇒ 25a + 5b + c = 7.
Điểm A(4 ; 0) thuộc parabol nên ta có 0 = a.42 + b.4 + c ⇔ 16a + 4b + c = 0.
Khi đó, ta có hệ phương trình sau :
Giải hệ trên ta được
Vậy parabol cần tìm là y = –7x2 + 70x – 168.
Bài 3 : Cổng Arch tại thành phố St Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162 m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 43 m so với mặt đất, người ta thả một sợi dây chạm đất, vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng A một đoạn 10m. Giả sử các số liệu trên là chính xác. Hãy tính độ cao của cổng Arch.
Hướng dẫn giải
Ta chọn hệ trục tọa độ như hình sau:
Gọi phương trình của parabol cần tìm là y = ax2 + bx + c (a ≠ 0).
Khi đó parabol đi qua ba điểm A(0 ; 0), B(162 ; 0) và M(10 ; 43).
Thay lần lượt tọa độ các điểm này vào phương trình parabol. Khi đó ta có hệ phương trình sau :
Giải hệ trên :
⇔
Suy ra parabol cần tìm là y = x2 + x.
Ta có ∆ =
Khi đó chiều cao của cổng là h = = ≈ 185,6 (m).
Vậy chiều cao của cổng Arch khoảng 185,6 mét.
Học tốt Hàm số bậc hai
Các bài học để học tốt Hàm số bậc hai Toán lớp 10 hay khác:
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Toán 10 Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai
Lý thuyết Toán 10 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - KNTT
- Giải Toán lớp 10 - KNTT
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - KNTT
- Giải Vật lí lớp 10 - KNTT
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - KNTT
- Giải Sinh học lớp 10 - KNTT
- Giải Địa lí lớp 10 - KNTT
- Giải Lịch sử lớp 10 - KNTT
- Giải Công nghệ lớp 10 - KNTT
- Giải Hoạt động trải nghiệm lớp 10 - KNTT
- Giải Giáo dục quốc phòng lớp 10 - KNTT
- Giải Tin học lớp 10 - KNTT