Giải Toán 10 trang 54 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 10 trang 54 Tập 1 trong Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ Toán 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 54.

Giải Toán 10 trang 54 Tập 1 Kết nối tri thức

Vận dụng trang 54 Toán 10 Tập 1: Tính lực kéo cần thiết để kéo một khẩu pháo có trọng lượng 22 148N (ứng với khối lượng xấp xỉ 2 260kg) lên một con dốc nghiêng 30° so với phương nằm ngang (H.4.18). Nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N thì cần tối thiểu bao nhiêu người để kéo pháo?

Chú ý: Ta coi khẩu pháo chịu tác động của ba lực: trọng lực $\overrightarrow{P}$ (có độ lớn $\left|\overrightarrow{P}\right|=22148N$, có phương vuông góc với phương nằm ngang và hướng xuống dưới), phản lực $\overrightarrow{\text{W}}$ (có độ lớn $\left|\overrightarrow{\text{W}}\right|=\left|\overrightarrow{P}\right|cos30°$, có phương vuông góc với mặt dốc và hướng lên trên) và lực kéo $\overrightarrow{F}$ (theo phương dốc, hướng từ chân dốc lên đỉnh dốc).

Lời giải:

Xét ΔOBC vuông tại O, có:

$OC=BC.\sin 30°=\left|\overrightarrow{P}\right|\sin 30°$.

Ta có khẩu pháo chịu tác động của ba lực: trọng lực $\overrightarrow{P}$, phản lực $\overrightarrow{\text{W}}$ và lực kéo $\overrightarrow{F}$. Để kéo được khẩu pháo đi lên ta cần lực $\overrightarrow{F}$ thỏa mãn điều kiện: $\left|\overrightarrow{F}\right|>\left|\overrightarrow{\text{W}}+\overrightarrow{P}\right|$

Mặt khác $\overrightarrow{\text{W}}+\overrightarrow{P}=\overrightarrow{OC}\iff \left|\overrightarrow{\text{W}}+\overrightarrow{P}\right|=\left|\overrightarrow{OC}\right|$ = $\left|\overrightarrow{P}\right|\sin 30°=22148.\sin 30°$ = 11 074N

$=\left|P\right|\sin {30}^0=22148.\sin {30}^0=11074N$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{F}\right|>11074N$

Ta có: 11 074 : 100 = 110,74 

Nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N thì cần tối thiểu số người để kéo pháo là 111 người.

Vậy ta cần một lực kéo lớn hơn 11 074N để kéo khẩu pháo đi lên và nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N thì cần tối thiểu 111 người để kéo pháo lên.

Bài 4.6 trang 54 Toán 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0};$

b) $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD};$

Lời giải:

a) Ta có: 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}\right) \\ =\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0} \end{gathered}$$

b) Ta có: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}$ (quy tắc hiệu)

$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}$ (quy tắc hiệu)

$\Rightarrow \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}.$

Bài 4.7 trang 54 Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm điểm M để $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{CM}$.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành)

Ta cần tìm điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BM}$

⇔ ACMB là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AB}$

Mà $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{DC}$ hay $\overrightarrow{CM}=-\overrightarrow{CD}$

Suy ra $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{CM}$ là hai vectơ đối nhau.

Bài 4.8 trang 54 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ (quy tắc hiệu)

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=a$

Ta lại có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành)

Gọi M là giao điểm của AD và BC

⇒ M là trung điểm của BC và AD (tính chất hình bình hành)

Xét ΔABC, có:

AB² = AM² + BM² (định lí Py – ta – go)

⇒ AM² = AB² – BM²

= $A{B}^2-{\left(\frac{BC}{2}\right)}^2=a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}$

$\Rightarrow AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow AD=2AM=2.\frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=a\sqrt{3}$

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=a,\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=a\sqrt{3}$.

Bài 4.9 trang 54 Toán 10 Tập 1: Hình 4.19 biểu diễn hai lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ cùng tác động lên một vật, cho $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=3N,\left|\overrightarrow{F_2}\right|=2N.$ Tính độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$.

Lời giải:

Ta có hình vẽ sau:

Trong đó ABCD là hình bình hành

=> $\widehat{ADC}=60°$

Ta có: $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|=3$, $\left|\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}\right|=2$

$\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|$

Xét ΔADC, có:

AC² = AD² + DC² – 2AD.DC.cosD (định lí côsin)

        = 3² + 2² – 2.3.2.cos60°

        = 7

$\Rightarrow AC=\sqrt{7}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|=\sqrt{7}$

Vậy độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$ là $\sqrt{7}$ (N).

Bài 4.10 trang 54 Toán 10 Tập 1: Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau. Hai tàu luôn giữ được lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước?

Lời giải:

Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song d₁, d₂.

Giả sử tàu 1 xuất phát từ  A ∈ d₁ đến M (hướng xuống hạ lưu) và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α.

Giả sử tàu 2 xuất phát từ A' ∈ d₁ đến M' (hướng lên thượng nguồn) và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α.

Gọi $\overrightarrow{v_{r\left(1\right)}},\overrightarrow{v_{r\left(2\right)}}$ và $\overrightarrow{v_n}$ lần lượt biểu diễn vận tốc riêng của tàu 1, tàu 2 và vận tốc dòng nước.

+ Gọi B, C là các điểm sao cho $\overrightarrow{v_{r\left(1\right)}}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{BC}$.

Khi đó tàu 1 chuyển động với vectơ vận tốc thực tế là $\overrightarrow{v_1}=\overrightarrow{v_{r\left(1\right)}}+\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. Vậy tàu 1 chuyển động theo hướng $\overrightarrow{AC}$ với đích đến là điểm N trên bờ d₂ và đi với độ lớn $\left|\overrightarrow{v_1}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC$.

Thời gian để tàu 1 di chuyển sang bờ d₂ là t₁ = $\frac{AN}{AC}$.

+ Gọi B', C'  là các điểm sao cho $\overrightarrow{v_{r\left(2\right)}}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}},\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$.

Khi đó tàu 2 chuyển động với vectơ vận tốc thực tế là ${\overrightarrow{v}}_2=\overrightarrow{v_{r\left(2\right)}}+\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$.

Vậy tàu 2 chuyển động theo hướng $\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ với đích đến là điểm N'  trên bờ d₂ và đi với độ lớn $\left|\overrightarrow{v_2}\right|=\left|\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right|=A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$.

Thời gian để tàu 2 di chuyển sang bờ d₂ là t₂ = $\frac{A^{\text{'}}{N}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$.

+ Vì $\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ nên B, B', C, C' thẳng hàng và nằm trên đường thẳng song song với hai đường thẳng d₁ và d₂.

Khi đó theo định lý Thales, ta có: $\frac{AN}{AC}=\frac{A^{\text{'}}{N}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ hay t₁ = t₂. 

Suy ra hai tàu cần thời gian như nhau để sang được đến bờ bên kia.

Vậy hai tàu sang đến bờ bên kia cùng một lúc.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ hay khác:

• Giải Toán 10 trang 51
• Giải Toán 10 trang 52
• Giải Toán 10 trang 53

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 9: Tích của một vectơ với một số

• Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

• Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

• Bài tập cuối chương IV

• Bài 12: Số gần đúng và sai số

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---