Giải Toán 10 trang 68 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 10 trang 68 Tập 1 trong Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ Toán 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 68.

Giải Toán 10 trang 68 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ2 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho hai vecto cùng phương $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(kx;ky\right).$ Hãy kiểm tra công thức $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k\left(x^2+y^2\right)$ theo từng trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0};$

b) $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và $k\ge 0;$

c) $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và k < 0. 

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}\right.$

Mà $\overrightarrow{0}$ vuông góc với mọi vecto nên ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$

Ta lại có:

 $k\left(x^2+y^2\right)=k\left(0^2+0^2\right)=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k\left(x^2+y^2\right)$

Vậy với $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ công thức đã cho đúng.

b) Vì k ≥ 0 nên hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ cùng hướng

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=0^0$

Ta có:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

$=\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{{\left(kx\right)}^2+{\left(ky\right)}^2}\text{.cos}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

$=\left|k\right|\left(x^2+y^2\right).c\text{os}{0}^0=k\left(x^2+y^2\right).$

Vậy với $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và $k\ge 0$ công thức đã cho đúng.

c) Vì k < 0 nên hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ ngược hướng

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)={180}^0$

Ta có:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

$=\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{{\left(kx\right)}^2+{\left(ky\right)}^2}\text{.cos}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

$=\left|k\right|\left(x^2+y^2\right).c\text{os18}{0}^0$

$=-k\left(x^2+y^2\right)\left(-1\right)=k\left(x^2+y^2\right).$

Vậy với $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và k < 0 công thức đã cho đúng.

HĐ3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vecto không cùng phương $\overrightarrow{u}\left(x;y\right)$ và $\overrightarrow{v}\left(x\text{'};y\text{'}\right)$.

a) Xác định tọa độ các điểm A và B sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}.$

b) Tính AB², OA², OB² theo tọa độ của A và B.

c) Tính $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$ theo tọa độ của A, B.

Lời giải:

a) Vì $\overrightarrow{u}\left(x;y\right)$ và $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$ nên A(x;y)

Vì $\overrightarrow{v}\left(x\text{'};y\text{'}\right)$ và $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}$ nên B(x’;y’)

b) Ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}\left(x\text{'}-x;y\text{'}-y\right)\Rightarrow AB=\sqrt{{\left(x\text{'}-x\right)}^2+{\left(y\text{'}-y\right)}^2} \\ \iff A{B}^2={\left(x\text{'}-x\right)}^2+{\left(y\text{'}-y\right)}^2. \end{gathered}$$

$\overrightarrow{OA}=\left(x;y\right)\Rightarrow OA=\sqrt{x^2+y^2}\iff O{A}^2=x^2+y^2.$

$$\begin{gathered} \overrightarrow{OB}=\left(x\text{'};y\text{'}\right)\Rightarrow OB=\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2} \\ \iff O{B}^2=x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2. \end{gathered}$$

c) Theo định lí Cô sin, ta có:

$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\frac{O{A}^2+O{B}^2-A{B}^2}{2}$

$=\frac{x^2+y^2+x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2-{\left(x\text{'}-x\right)}^2-{\left(y\text{'}-y\right)}^2}{2}$

$=\frac{2xx\text{'}+2yy\text{'}}{2}=xx\text{'}+yy\text{'}$

Luyện tập 3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Tính tích vô hướng và góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u}\left(0;-5\right),\overrightarrow{v}\left(\sqrt{3};1\right)$

Lời giải:

Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0.\sqrt{3}-5.1=-5.$

Ta lại có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.cos\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)$

$\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}=\frac{-5}{5.2}=-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)={120}^0.$

Vậy $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-5$ và góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ bằng 120⁰.

HĐ4 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho ba vecto  

$\overrightarrow{u}\left(x_1;y_1\right),\overrightarrow{v}\left(x_2;y_2\right),\overrightarrow{w}\left(x_3;y_3\right).$

a) Tính $\overrightarrow{u}\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{\text{w}}\right),\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}$ theo tọa độ các vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{\text{w}}.$

b) So sánh $\overrightarrow{u}\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{\text{w}}\right)$ và $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}$.

c) So sánh $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=\left(x_2+x_3;y_2+y_3\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=x_1.\left(x_2+x_3\right)+y_1\left(y_2+y_3\right)$

$=x_1{x}_2+x_1{x}_3+y_1.y_2+y_1.y_3$ (1)

Ta có:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x_1.x_2+y_1.y_2,\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}=x_1.x_3+y_1.y_3$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}=x_1.x_2+y_1.y_2+x_1.x_3+y_1.y_3$ (2)

b) Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{u}\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}.$

c) Ta có: 

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x_1.x_2+y_1.y_2;\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}=x_2.x_1+y_2.y_1$

$=x_1.x_2+y_1.y_2.$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}.$

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ hay khác:

• Giải Toán 10 trang 66
• Giải Toán 10 trang 67
• Giải Toán 10 trang 70

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài tập cuối chương IV

• Bài 12: Số gần đúng và sai số

• Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

• Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán

• Bài tập cuối chương V

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---