Giải Toán 12 trang 64 Tập 2 Cánh diều

Với Giải Toán 12 trang 64 Tập 2 trong Bài 1: Phương trình mặt phẳng Toán 12 Tập 2 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 64.

Giải Toán 12 trang 64 Tập 2 Cánh diều

Bài 8 trang 64 Toán 12 Tập 2: Cho hai mặt phẳng (P₁): 4x – y – z + 1 = 0,

(P₂): 8x – 2y – 2z + 1 = 0.

a) Chứng minh rằng (P₁) // (P₂).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P_1­), (P₂).

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{n_1}=\left(4;-1;-1\right)$, $\overrightarrow{n_2}=\left(8;-2;-2\right)$ lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng (P₁), (P₂). Do $\overrightarrow{n_1}=\frac{1}{2}\overrightarrow{n_2}$, D₁ ≠ $\frac{1}{2}$ D₂ (vì D₁ = 1, D₂ = 1) nên (P₁) // (P₂).

b) Chọn điểm M(0; 0; 1) ∈ (P₁). Suy ra khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P₂) là:

$d\left(M,\left(P_2\right)\right)=\frac{\left|-2\cdot 1+1\right|}{\sqrt{8^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{12}$.

Do khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P₁), (P₂) bằng d(M, (P₂)) nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P₁), (P₂) bằng $\frac{\sqrt{2}}{12}$

Bài 9 trang 64 Toán 12 Tập 2:

a) Cho hai mặt phẳng (P₁): x + 2y + 3z + 4 = 0, (P₂): x + y – z + 5 = 0. Chứng minh rằng (P₁) ⊥ (P₂).

b) Cho mặt phẳng (P): x – 2y – 2z + 1 = 0 và điểm M(1; 1; – 6). Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P). 

Lời giải:

a) Hai mặt phẳng (P₁) và (P₂) có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=\left(1;2;3\right)$ và $\overrightarrow{n_2}=\left(1;1;-1\right)$.

Vì $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}$= 1 ∙ 1 + 2 ∙ 1 + 3 ∙ (– 1) = 0  nên $\overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}$ . Vậy (P₁) ⊥ (P₂).

b) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:

d(M, (P)) = $\frac{\left|1\cdot 1-2\cdot 1-2\cdot \left(-6\right)+1\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}}=4$

Bài 10 trang 64 Toán 12 Tập 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.OBCD có đáy là hình chữ nhật và các điểm O(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D(0; 3; 0), S(0; 0; 4) (Hình 19).

a) Tìm toạ độ điểm C.

b) Lập phương trình mặt phẳng (SBD).

c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD).

Lời giải:

a) Gọi tọa độ điểm C là C(x; y; z). Ta có $\overrightarrow{OD}=\left(0;3;0\right)$, $\overrightarrow{BC}=\left(x-2;y;z\right)$.

Vì OBCD là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OD}$, tức là $\left\{\begin{array}{l}x-2=0\\ y=3\\ z=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\\ z=0\end{array}\right.$.

Vậy C(2; 3; 0).

b) Ta có:$\overrightarrow{SB}=\left(2;0;-4\right),\overrightarrow{SD}=\left(0;3;-4\right)$.

Xét vectơ $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SD}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}0& -4\\ 3& -4\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-4& 2\\ -4& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right|\right)$, tức là $\overrightarrow{n}=\left(12;8;6\right)$.

Khi đó,$\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBD).

Vậy mặt phẳng (SBD) có phương trình là:

12(x – 0) + 8(y – 0) + 6(z – 4) = 0 ⇔ 6x + 4y + 3z – 12 = 0.

c) Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) là:

d(C, (SBD)) = $\frac{\left|6\cdot 2+4\cdot 3+3\cdot 0-12\right|}{\sqrt{6^2+4^2+3^2}}=\frac{12}{\sqrt{61}}$

Bài 11 trang 64 Toán 12 Tập 2: Hình 20 minh họa hình ảnh một tòa nhà trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Biết A(50; 0; 0), D(0; 20; 0), B(4k; 3k; 2k) với k > 0 và mặt phẳng (CBEF) có phương trình là z = 3.

a) Tìm tọa độ của điểm B.

b) Lập phương trình mặt phẳng (AOBC).

c) Lập phương trình mặt phẳng (DOBE).

d) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng (AOBC) và (DOBE).

Lời giải:

a) Vì B ∈ (CBEF) nên ta có 2k = 3, suy ra k = $\frac{3}{2}$ (tm). Do đó, 4k = 6; 3k = $\frac{9}{2}$.

Vậy $B\left(6;\frac{9}{2};3\right)$.

b) Ta có $\overrightarrow{OA}=\left(50;0;0\right),\overrightarrow{OB}=\left(6;\frac{9}{2};3\right)$.

Xét vectơ $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ \frac{9}{2}& 3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0& 50\\ 3& 6\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}50& 0\\ 6& \frac{9}{2}\end{array}\right|\right)$, tức là $\overrightarrow{n}=\left(0;-150;225\right)$.

Khi đó, $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (AOBC).

Vậy mặt phẳng (AOBC) có phương trình là:

0(x – 0) – 150(y – 0) + 225(z – 0) = 0 ⇔ 2y – 3z = 0. 

c) Ta có $\overrightarrow{OD}=\left(0;20;0\right),\overrightarrow{OB}=\left(6;\frac{9}{2};3\right)$.

Xét vectơ $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left[\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OB}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}20& 0\\ \frac{9}{2}& 3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 3& 6\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0& 20\\ 6& \frac{9}{2}\end{array}\right|\right)$ , tức là $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(60;0;-120\right)$.

Khi đó, $\overrightarrow{n^{\text{'}}}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (DOBE).

Vậy mặt phẳng (DOBE) có phương trình là:

60(x – 0) + 0(y – 0) – 120(z – 0) = 0 ⇔ x – 2z = 0. 

d) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (AOBC) là $\overrightarrow{n_1}=\left(0;2;-3\right)$.

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (DOBE) là $\overrightarrow{n_2}=\left(1;0;-2\right)$

Bài 12 trang 64 Toán 12 Tập 2: Hình 21 minh họa một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và tâm của mặt đáy trên lần lượt là các điểm A(2; 1; 3), B(4; 3; 3), C(6; 3; 2,5), D(4; 0; 2,8).

a) Lập phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Bốn điểm A, B, C, D có đồng phẳng hay không?

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(2;2;0\right),\overrightarrow{AC}=\left(4;2;-0,5\right)$.

Xét vectơ $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& -0,5\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0& 2\\ -0,5& 4\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 2\\ 4& 2\end{array}\right|\right)$, tức là $\overrightarrow{n}=\left(-1;1;-4\right)$.

Khi đó, $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Vậy mặt phẳng (ABC) có phương trình là:

– 1(x – 2) + 1(y – 1) – 4(z – 3) = 0 ⇔ x – y + 4z – 13 = 0. 

b) Thay tọa độ điểm D(4; 0; 2,8) vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta được:

4 – 0 + 4 ∙ 2,8 – 13 = 2,2 ≠ 0.

Vậy D không thuộc mặt phẳng (ABC), tức là bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng hay khác:

• Giải Toán 12 trang 50
• Giải Toán 12 trang 51
• Giải Toán 12 trang 52
• Giải Toán 12 trang 54
• Giải Toán 12 trang 55
• Giải Toán 12 trang 57
• Giải Toán 12 trang 58
• Giải Toán 12 trang 59
• Giải Toán 12 trang 61
• Giải Toán 12 trang 63

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng

• Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

• Toán 12 Bài tập cuối chương 5

• Toán 12 Bài 1: Xác xuất có điều kiện

• Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---