Giải Toán 12 trang 79 Tập 2 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 12 trang 79 Tập 2 trong Bài 2: Phương trình đường thẳng Toán 12 Tập 2 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 79.

Giải Toán 12 trang 79 Tập 2 Cánh diều

Quảng cáo

Bài 6 trang 79 Toán 12 Tập 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ trong mỗi trường hợp sau:

Bài 6 trang 79 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆₁ đi qua điểm M₁(1; 2; 3) và có $\vec{u_{1}} = (2; 1; - 1)$ là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆₂ đi qua điểm M₂(– 11; – 6; 10) và có $\vec{u_{2}} = (- 6; - 3; 3)$ là vectơ chỉ phương.

Ta có $- 3 \vec{u_{1}} = \vec{u_{2}}$ , suy ra $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ cùng phương;

$\vec{M_{1} M_{2}} = (- 12; - 8; 7)$ và $\frac{- 12}{2} \neq \frac{- 8}{1}$ nên $\vec{u_{1}}, \vec{M_{1} M_{2}}$ không cùng phương.

Vậy ∆₁ // ∆₂.

Quảng cáo

b) Đường thẳng ∆₁ đi qua điểm M₁(1; 2; 3) và có $\vec{u_{1}} = (3; 4; 5)$ là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆₂ đi qua điểm M₂(– 3; – 6; 15) và có $\vec{u_{2}} = (1; 2; - 3)$ là vectơ chỉ phương.

Ta có: $\frac{3}{1} \neq \frac{4}{2}$ , suy ra $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ không cùng phương;

$\vec{M_{1} M_{2}} = (- 4; - 8; 12)$ , $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (|\begin{matrix} 4 & 5 \\ 2 & - 3 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 5 & 3 \\ - 3 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{matrix}|) = (- 22; 14; 2)$ .

Do $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \cdot \vec{M_{1} M_{2}} =$ (– 22) ∙ (– 4) + 14 ∙ (– 8) + 2 ∙ 12 = 0 nên $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}, \vec{M_{1} M_{2}}$ đồng phẳng.

Vậy ∆₁ cắt ∆₂.

c) Đường thẳng ∆₁ đi qua điểm M₁(– 1; 1; 0) và có $\vec{u_{1}} = (4; 3; 1)$ là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆₂ đi qua điểm M₂(1; 3; 1) và có $\vec{u_{2}} = (1; 2; 2)$ là vectơ chỉ phương.

Quảng cáo

Ta có: $\vec{M_{1} M_{2}} = (2; 2; 1)$ , $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (|\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix}|) = (4; - 7; 5)$ .

Do $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \cdot \vec{M_{1} M_{2}} =$ 4 ∙ 2 + (– 7) ∙ 2 + 5 ∙ 1 = – 1 ≠ 0 nên $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}, \vec{M_{1} M_{2}}$ không đồng phẳng.

Vậy ∆₁ và ∆₂ chéo nhau.

Bài 7 trang 79 Toán 12 Tập 2: Tính góc giữa hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):

Bài 7 trang 79 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Quảng cáo

Lời giải:

a) Hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}} = (1; \sqrt{3}; 0)$ , $\vec{u_{2}} = (\sqrt{3}; 1; 0)$ .

Ta có: cos (∆₁, ∆₂) = $\frac{|1 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + 0 \cdot 0|}{\sqrt{1^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} + 0^{2}} \cdot \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2} + 0^{2}}} = \frac{2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Suy ra (∆₁, ∆₂) = 30°.

b) Hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}} = (2; 1; - 1)$ , $\vec{u_{2}} = (3; 1; - 2)$ .

Ta có: cos (∆₁, ∆₂) = $\frac{|2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 + (- 1) \cdot (- 2)|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + {(- 1)}^{2}} \cdot \sqrt{3^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{9}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{14}} = \frac{3 \sqrt{21}}{14}$ .

Suy ra (∆₁, ∆₂) ≈ 11°.

c) Hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}} = (1; 1; - 1)$ và $\vec{u_{2}} = (- 1; 3; 1)$ .

Ta có: cos (∆₁, ∆₂) = $\frac{|1 \cdot (- 1) + 1 \cdot 3 + (- 1) \cdot 1|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(- 1)}^{2}} \cdot \sqrt{{(- 1)}^{2} + 3^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{11}} = \frac{\sqrt{33}}{33}$ .

Suy ra (∆₁, ∆₂) ≈ 80°.

Bài 8 trang 79 Toán 12 Tập 2: Tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):

a) $Δ : \{\begin{cases} x = 1 + \sqrt{3} t \\ y = 2 \\ z = 3 + t \end{cases}$ (t là tham số) và (P): $\sqrt{3}$ x + z – 2 = 0;

b) $Δ : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \end{cases}$ (t là tham số) và (P): x + y + z – 4 = 0.

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (\sqrt{3}; 0; 1)$ và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (\sqrt{3}; 0; 1)$ . Ta thấy vectơ chỉ phương của ∆ đồng thời là vectơ pháp tuyến của (P), do đó ∆ ⊥ (P), suy ra (∆, (P)) = 90°.

b) Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1; - 1; 1)$ và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 1; 1)$ .

Ta có sin (∆, (P)) = $\frac{|1 \cdot 1 + (- 1) \cdot 1 + 1 \cdot 1|}{\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{3}$ .

Suy ra (∆, (P)) ≈ 19°.

Bài 9 trang 79 Toán 12 Tập 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng

(P₁): x + y + 2z – 1 = 0 và (P₂): 2x – y + z – 2 = 0.

Lời giải:

Do (P₁), (P₂) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (1; 1; 2)$ , $\vec{n_{2}} = (2; - 1; 1)$ nên

cos ((P₁), (P₂)) = $\frac{|1 \cdot 2 + 1 \cdot (- 1) + 2 \cdot 1|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 2^{2}} \cdot \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{1}{2}$ .