Giải Toán 12 trang 80 Tập 2 Cánh diều

Với Giải Toán 12 trang 80 Tập 2 trong Bài 2: Phương trình đường thẳng Toán 12 Tập 2 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 80.

Giải Toán 12 trang 80 Tập 2 Cánh diều

Bài 10 trang 80 Toán 12 Tập 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có các đỉnh lần lượt là $S\left(0;0;\frac{a\sqrt{3}}{2}\right),A\left(\frac{a}{2};0;0\right),B\left(-\frac{a}{2};0;0\right),\text{\hspace{0.17em}}C\left(-\frac{a}{2};a;0\right),D\left(\frac{a}{2};a;0\right)$ với a > 0 (Hình 36).

a) Xác định tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{SA},\overrightarrow{CD}$. Từ đó tính góc giữa hai đường thẳng SA và CD (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

b) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC). Từ đó tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{SA}=\left(\frac{a}{2};0;-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right),\overrightarrow{CD}=\left(a;0;0\right)$.

Các vectơ $\overrightarrow{SA},\overrightarrow{CD}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng SA và CD nên 

cos (SA, CD) = $\frac{\left|\frac{a}{2}\cdot a+0\cdot 0+\left(-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\cdot 0\right|}{\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+0^2+{\left(-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}\cdot \sqrt{a^2+0^2+0^2}}$$=\frac{\frac{a^2}{2}}{a\cdot a}=\frac{1}{2}$ (do a > 0).

Suy ra (SA, CD) = 60°.

b) Ta có $\overrightarrow{AC}=\left(-a;a;0\right)$.

Xét vectơ $\left[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{AC}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}0& -\frac{a\sqrt{3}}{2}\\ a& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-\frac{a\sqrt{3}}{2}& \frac{a}{2}\\ 0& -a\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}\frac{a}{2}& 0\\ -a& a\end{array}\right|\right)$$=\left(\frac{a^2\sqrt{3}}{2};\frac{a^2\sqrt{3}}{2};\frac{a^2}{2}\right)$.

Khi đó,$\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC).

Đường thẳng SD có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{SD}=\left(\frac{a}{2};a;-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$.

Ta có sin (SD, (SAC)) = $\frac{\left|\frac{a}{2}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}+a\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\cdot \frac{a^2}{2}\right|}{\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+a^2+{\left(-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}\cdot \sqrt{{\left(\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a^2}{2}\right)}^2}}$

$=\frac{\frac{a^3\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{2}\cdot a^2\frac{\sqrt{7}}{2}}=\frac{\sqrt{42}}{14}$.

Suy ra (SD, (SAC)) ≈ 28°.

Bài 11 trang 80 Toán 12 Tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí A(3,5; – 2; 0,4) và sẽ hạ cánh ở vị trí B(3,5; 5,5; 0) trên đường băng EG (Hình 37).

a) Viết phương trình đường thẳng AB.

b) Hãy cho biết góc trượt (góc giữa đường bay AB và mặt phẳng nằm ngang (Oxy)) có nằm trong phạm vi cho phép từ 2,5° đến 3,5° hay không.

c) Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng (α) đi qua ba điểm M(5; 0; 0), N(0; – 5; 0), P(0; 0; 0,5). Tìm tọa độ của điểm C là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh.

d) Tìm tọa độ của điểm D trên đoạn thẳng AB là vị trí mà máy bay ở độ cao 120 m.

e) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm đầu E(3,5; 4,5; 0) của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120 m. Hỏi sau khi ra khỏi đám mây, người phi công có đạt được quy định an toàn đó hay không? Biết rằng tầm nhìn của người phi công sau khi ra khỏi đám mây là 900 m (Nguồn: R.Larson and B.Edwards, Calculus 10e, Cengage, 2014).

Lời giải:

a) Đường thẳng AB đi qua điểm A(3,5; – 2; 0,4) và nhận $\overrightarrow{AB}=\left(0;7,5;-0,4\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng AB là: $\left\{\begin{array}{l}x=3,5\\ y=-2+7,5t\\ z=0,4-0,4t\end{array}\right.$ (t là tham số).

Lưu ý: Ta có thể chọn điểm đi qua là B để viết phương trình tham số hoặc có thể viết phương trình chính tắc của đường thẳng AB.

b) Mặt phẳng nằm ngang (Oxy) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$.

Ta có sin (AB, (Oxy)) = $\frac{\left|0\cdot 0+7,5\cdot 0+\left(-0,4\right)\cdot 1\right|}{\sqrt{0^2+{\left(7,5\right)}^2+{\left(-0,4\right)}^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}\approx 0,053$.

Suy ra (AB, (Oxy)) ≈ 3° ∈ (2,5°; 3,5°).

Vậy góc trượt nằm trong phạm vi cho phép.

c) Ta có $\overrightarrow{MN}=\left(-5;-5;0\right),\overrightarrow{MP}=\left(-5;0;0,5\right)$.

Xét vectơ $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}-5& 0\\ 0& 0,5\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0& -5\\ 0,5& -5\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-5& -5\\ -5& 0\end{array}\right|\right)$, hay $\overrightarrow{n}=\left(-2,5;2,5;-25\right)$.

Khi đó $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) hay chính là mặt phẳng (α).

Phương trình mặt phẳng (α) là:

– 2,5(x – 5) + 2,5(y – 0) – 25(z – 0) = 0 ⇔ x – y + 10z – 5 = 0.

Vì C là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh nên C là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (α).

Vì C ∈ AB nên gọi tọa độ điểm C là C(3,5; – 2 + 7,5t; 0,4 – 0,4t).

Lại có C ∈ (α) nên ta có 3,5 – (– 2 + 7,5t) + 10(0,4 – 0,4t) – 5 = 0, suy ra t = $\frac{9}{23}$.

Vậy C $\left(3,5;\frac{43}{46};\frac{28}{115}\right)$.

d) Vì D ∈ AB nên gọi tọa độ điểm D là D(3,5; – 2 + 7,5t'; 0,4 – 0,4t').

D là vị trí mà máy bay ở độ cao 120 m, tức là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 120 m và bằng 0,12 km.

Ta có d(D, (Oxy)) = $\frac{\left|0,4-0,4t^{\text{'}}\right|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$= |0,4 – 0,4t'|.

Khi đó, |0,4 – 0,4t'| = 0,12 $\Rightarrow \left[\begin{array}{l}0,4-0,4t^{\text{'}}=0,12\\ 0,4-0,4t^{\text{'}}=-0,12\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{t}^{\text{'}}=0,7\\ t^{\text{'}}=1,3\end{array}\right.$ .

Với t' = 0,7, ta có D(3,5; 3,25; 0,12).

Với t' = 1,3, ta có D(3,5; 7,75; – 0,12).

Vì D là vị trí độ cao của máy bay nên ta chọn D(3,5; 3,25; 0,12).

e) Ta có $DE=\sqrt{{\left(3,5-3,5\right)}^2+{\left(4,5-3,25\right)}^2+{\left(0-0,12\right)}^2}\approx 1,256$(km)

Vì tầm nhìn xa của phi công sau khi ra khỏi đám mây là 900 m = 0,9 km < 1,256 km nên người phi công đó không đạt được quy định an toàn bay.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng hay khác:

• Giải Toán 12 trang 65
• Giải Toán 12 trang 67
• Giải Toán 12 trang 68
• Giải Toán 12 trang 69
• Giải Toán 12 trang 73
• Giải Toán 12 trang 74
• Giải Toán 12 trang 75
• Giải Toán 12 trang 78
• Giải Toán 12 trang 79

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

• Toán 12 Bài tập cuối chương 5

• Toán 12 Bài 1: Xác xuất có điều kiện

• Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

• Toán 12 Bài tập cuối chương 6

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---