Giải Toán 12 trang 59 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Với Giải Toán 12 trang 59 Tập 2 trong Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 59.

Giải Toán 12 trang 59 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 12 trang 59 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Cho biết A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 5; 0), A'(0; 0; 3). Tính góc giữa:

a) Hai đường thẳng AC và BA';

b) Hai mặt phẳng (BB'D'D) và (AA'C'C);

c) Đường thẳng AC' và mặt phẳng (A'BD).

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với O trùng với A.

Ta có A'(0; 0; 3), B(1; 0; 0), A(0; 0; 0), C(1; 5; 0), B'(1; 0; 3), D(0; 5; 0), C'(1; 5; 3)

a) Đường thẳng AC nhận $\overrightarrow{AC}=\left(1;5;0\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng BA' nhận $\overrightarrow{B{A}^{\text{'}}}=\left(-1;0;3\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Khi đó $\cos \left(AC,B{A}^{\text{'}}\right)=\frac{\left|1.\left(-1\right)+5.0+0.3\right|}{\sqrt{1^2+5^2}.\sqrt{{\left(-1\right)}^2+3^2}}=\frac{1}{2\sqrt{65}}$

Suy ra (AC, BA') ≈ 86,44°.

b) Ta có $\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}=\left(0;0;3\right),\overrightarrow{BD}=\left(-1;5;0\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(1;5;0\right)$, $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\left(0;0;3\right)$.

Ta có $\left[\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}},\overrightarrow{BD}\right]=\left(-15;-3;0\right)$, $\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}\right]=\left(15;-3;0\right)$.

Mặt phẳng (BB'D'D) nhận $\overrightarrow{n}=-\frac{1}{3}\left[\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}},\overrightarrow{BD}\right]=\left(5;1;0\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (AA'C'C) nhận $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\frac{1}{3}\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}\right]=\left(5;-1;0\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó $\cos \left(\left(B{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}D\right),\left(A{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C\right)\right)=\frac{\left|5.5+1.\left(-1\right)+0.0\right|}{\sqrt{5^2+1}.\sqrt{5^2+1}}=\frac{24}{26}=\frac{12}{13}$.

Suy ra ((BB'D'D), (AA'C'C)) ≈ 22,62°.

c) Ta có $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}=\left(1;5;3\right)$, $\overrightarrow{A^{\text{'}}B}=\left(1;0;-3\right),\overrightarrow{A^{\text{'}}D}=\left(0;5;-3\right)$, $\left[\overrightarrow{A^{\text{'}}B},\overrightarrow{A^{\text{'}}D}\right]=\left(15;3;5\right)$.

Đường thẳng AC' nhận $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}=\left(1;5;3\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng (A'BD) nhận $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{A^{\text{'}}B},\overrightarrow{A^{\text{'}}D}\right]=\left(15;3;5\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có $\sin \left(A{C}^{\text{'}},\left(A^{\text{'}}BD\right)\right)=\frac{\left|1.15+5.3+3.5\right|}{\sqrt{1^2+5^2+3^2}.\sqrt{{15}^2+3^2+5^2}}=\frac{45}{7\sqrt{185}}$.

Suy ra (AC', (A'BD)) ≈ 28,21°.

Vận dụng 7 trang 59 Toán 12 Tập 2: Để làm thí nghiệm về chuyển động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Tính góc giữa mặt phẳng nghiêng (P): 4x + 11z + 5 = 0 và mặt sàn (Q): z – 1 = 0.

Lời giải:

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(4;0;11\right)$

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(0;0;1\right)$

Có $\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\frac{\left|4.0+0.0+11.1\right|}{\sqrt{4^2+{11}^2}.\sqrt{1^2}}=\frac{11}{\sqrt{173}}$.

Suy ra ((P), (Q)) ≈ 33,25°.

Bài 1 trang 59 Toán 12 Tập 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng a trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng a đi qua điểm M(0; −2; −3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(1;-5;0\right)$.

b) Đường thẳng a đi qua hai điểm A(0; 0; 2) và B(3; −2; 5).

Lời giải:

a) Đường thẳng a đi qua điểm M(0; −2; −3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(1;-5;0\right)$ có phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-2-5t\\ z=-3\end{array}\right.$

b) Có $\overrightarrow{AB}=\left(3;-2;3\right)$.

Đường thẳng a đi qua hai điểm A(0; 0; 2) và nhận $\overrightarrow{AB}=\left(3;-2;3\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{l}x=3t\\ y=-2t\\ z=2+3t\end{array}\right.$.

Bài 2 trang 59 Toán 12 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng b trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng b đi qua điểm M(1; −2; −3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(5;-3;2\right)$.

b) Đường thẳng b đi qua hai điểm A(4; 7; 1) và B(6; 1; 5).

Lời giải:

a) Đường thẳng b đi qua điểm M(1; −2; −3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(5;-3;2\right)$ có phương trình chính tắc là $\frac{x-1}{5}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z+3}{2}$.

b) $\overrightarrow{AB}=\left(2;-6;4\right)$.

Đường thẳng b đi qua hai điểm A(4; 7; 1) và nhận $\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\left(1;-3;2\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là

Bài 3 trang 59 Toán 12 Tập 2: Cho đường thẳng d có phương trình chính tắc $\frac{x-3}{1}=\frac{y+3}{3}=\frac{z-2}{7}$.

a) Tìm một vectơ chỉ phương của d và một điểm trên d.

b) Viết phương trình tham số của d.

Lời giải:

a) Ta có đường thẳng d đi qua M(3; −3; 2) và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(1;3;7\right).$

b) Phương trình tham số của d là $\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=-3+3t\\ z=2+7t\end{array}\right.$

Bài 4 trang 59 Toán 12 Tập 2: Trong trò chơi mô phỏng bắn súng 3D trong không gian Oxyz, một xạ thủ đang ngắm với tọa độ khe ngắm và đầu ruồi lần lượt là M(3; 3; 1,5), N(3; 4; 1,5). Viết phương trình tham số của đường ngắm bắn của xạ thủ (xem như đường thẳng MN).

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{MN}=\left(0;1;0\right)$

Đường thẳng MN đi qua M(3; 3; 1,5) và nhận $\overrightarrow{MN}=\left(0;1;0\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=3+t\\ z=\mathrm{1,5}\end{array}\right.$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian hay khác:

• Giải Toán 12 trang 44
• Giải Toán 12 trang 46
• Giải Toán 12 trang 47
• Giải Toán 12 trang 49
• Giải Toán 12 trang 52
• Giải Toán 12 trang 53
• Giải Toán 12 trang 55
• Giải Toán 12 trang 56
• Giải Toán 12 trang 60

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

• Toán 12 Bài tập cuối chương 5

• Toán 12 Bài 1: Xác suất có điều kiện

• Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

• Toán 12 Bài tập cuối chương 6

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---