Giải Toán 12 trang 60 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Với Giải Toán 12 trang 60 Tập 2 trong Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 60.

Giải Toán 12 trang 60 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 60 Toán 12 Tập 2: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-1+2t\\ z=-2+t\end{array}\right.$ và $d^{\text{'}}:\left\{\begin{array}{l}x=2+2t^{\text{'}}\\ y=3+4t^{\text{'}}\\ z=2t^{\text{'}}\end{array}\right.$;

b) $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{2}$ và $d^{\text{'}}:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{5}=\frac{z-1}{1}$.

Lời giải:

a) Đường thẳng d đi qua M(1; −1;−2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(1;2;1\right)$

Đường thẳng d' đi qua N(2; 3; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a^{\text{'}}}=\left(2;4;2\right)=2\overrightarrow{a}$

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d' ta được:

$\left\{\begin{array}{l}1=2+2t^{\text{'}}\\ -1=3+4t^{\text{'}}\\ -2=2t^{\text{'}}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{t}^{\text{'}}=\frac{-1}{2}\\ t^{\text{'}}=-1\\ t^{\text{'}}=-1\end{array}\right.$(vô lí).

Suy ra d // d'.

b) Đường thẳng d đi qua M(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(1;2;2\right)$

Đường thẳng d' đi qua N(2; 1; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a^{\text{'}}}=\left(1;5;1\right)$

Có $\overrightarrow{MN}=\left(1;-1;-2\right)$, $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right]=\left(-8;1;3\right)$.

Có $\overrightarrow{MN}.\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right]=1.\left(-8\right)+\left(-1\right).1+\left(-2\right).3=-15\ne 0$.

Do đó d và d' chéo nhau.

Bài 6 trang 60 Toán 12 Tập 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(1; 0; 1) và song song với đường thẳng d': $\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{4}$

Lời giải:

Đường thẳng d' có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(3;2;4\right)$

Vì d // d' nên đường thẳng d nhận $\overrightarrow{a}=\left(3;2;4\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 0; 1) và nhận $\overrightarrow{a}=\left(3;2;4\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=2t\\ z=1+4t\end{array}\right.$

Bài 7 trang 60 Toán 12 Tập 2: Trên phần mềm mô phỏng 3D một máy khoan trong không gian Oxyz, cho biết phương trình trục a của mũi khoan và một đường rãnh b trên vật cần khoan (Hình 18) lần lượt là: $a:\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\\ z=3t\end{array}\right.$ và $b:\left\{\begin{array}{l}x=1+4t^{\text{'}}\\ y=2+2t^{\text{'}}\\ z=6\end{array}\right.$

a) Chứng minh a, b vuông góc và cắt nhau.

b) Tìm giao điểm của a và b.

Lời giải:

a) Đường thẳng a đi qua M(1; 2; 0) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(0;0;3\right)$

Đường thẳng b đi qua N(1; 2; 6) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a^{\text{'}}}=\left(4;2;0\right)$

Có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a^{\text{'}}}=0.4+0.2+3.0=0$. Suy ra a ⊥ b.

Ta xét hệ $\left\{\begin{array}{l}1=1+4t^{\text{'}}\\ 2=2+2t^{\text{'}}\\ 3t=6\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{t}^{\text{'}}=0\\ t^{\text{'}}=0\\ t=2\end{array}\right.$. Suy ra hệ có nghiệm duy nhất.

Do đó a và b cắt nhau.

b) Thay t = 2 vào phương trình đường thẳng a ta được $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\\ z=6\end{array}\right.$

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng này là (1; 2; 6).

Bài 8 trang 60 Toán 12 Tập 2: Tính góc giữa hai đường thẳng $d:\frac{x-3}{2}=\frac{y+5}{4}=\frac{z-7}{2}$ và $d^{\text{'}}:\frac{x-1}{3}=\frac{y+7}{3}=\frac{z-12}{6}$.

Lời giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(2;4;2\right)$

Đường thẳng d' có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a^{\text{'}}}=\left(3;3;6\right)$

Có $\cos \left(d,d^{\text{'}}\right)=\frac{\left|2.3+4.3+2.6\right|}{\sqrt{2^2+4^2+2^2}.\sqrt{3^2+3^2+6^2}}=\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$.

Suy ra (d, d') ≈ 33,56°.

Bài 9 trang 60 Toán 12 Tập 2: Tính góc giữa đường thẳng d: $\frac{x+2}{2}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{1}$ và mặt phẳng (P): 3y – 3z + 1 = 0.

Lời giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(2;2;1\right)$

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(0;3;-3\right)$

$\sin \left(d,\left(P\right)\right)=\frac{\left|2.0+2.3+1.\left(-3\right)\right|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}.\sqrt{3^2+{\left(-3\right)}^2}}=\frac{3}{9\sqrt{2}}=\frac{1}{3\sqrt{2}}$

Suy ra (d, (P)) ≈ 13,63°.

Bài 10 trang 60 Toán 12 Tập 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng (P): 4y + 4z + 1 = 0 và (P'): 7x + 7z + 2 = 0.

Lời giải:

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(0;4;4\right)$

Mặt phẳng (P') có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(7;0;7\right)$

$\cos \left(\left(P\right),\left(P^{\text{'}}\right)\right)=\frac{\left|0.7+4.0+4.7\right|}{\sqrt{4^2+4^2}.\sqrt{7^2+7^2}}=\frac{28}{56}=\frac{1}{2}$

Suy ra ((P), (P')) = 60°.

Bài 11 trang 60 Toán 12 Tập 2: Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (P): 2x + 2z + 1 = 0 và (P'): x + z + 7 = 0.

a) Tính góc giữa (P) và (P').

b) Tính góc hợp bởi (P) và (P') với mặt đất (Q) có phương trình z = 0.

Lời giải:

a) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;0;2\right)$

Mặt phẳng (P') có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(1;0;1\right)$

$\cos \left(\left(P\right),\left(P^{\text{'}}\right)\right)=\frac{\left|2.1+0.0+2.1\right|}{\sqrt{2^2+2^2}.\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{4}{4}=1$

Suy ra ((P), (P')) = 0°.

b) Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_Q}=\left(0;0;1\right)$

$\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\frac{\left|2.0+0.0+2.1\right|}{\sqrt{2^2+2^2}.\sqrt{1^2}}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Suy ra ((P), (Q)) = 45°.

$\cos \left(\left(P^{\text{'}}\right),\left(Q\right)\right)=\frac{\left|1.0+0.0+1.1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}.\sqrt{1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Suy ra ((P'), (Q)) = 45°.

Bài 12 trang 60 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng OBC.O'B'C' có đáy là tam giác OBC vuông tại O. Cho biết B(3; 0; 0), C(0; 1; 0), O'(0; 0; 2). Tính góc giữa:

a) Hai đường thẳng BO' và B'C;

b) Hai mặt phẳng (O'BC) và (OBC);

c) Đường thẳng B'C và mặt phẳng (O'BC)

Lời giải:

Chọn hệ trục như hình vẽ

O(0; 0; 0), B(3; 0; 0), C(0; 1; 0), O'(0; 0; 2), B'(3; 0; 2), C'(0; 1; 2).

a) Đường thẳng BO' nhận $\overrightarrow{B{O}^{\text{'}}}=\left(-3;0;2\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng B'C nhận $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}=\left(-3;1;-2\right)$ làm vectơ chỉ phương.

$\cos \left(B{O}^{\text{'}},B^{\text{'}}C\right)=\frac{\left|\left(-3\right).\left(-3\right)+0.1+2.\left(-2\right)\right|}{\sqrt{{\left(-3\right)}^2+2^2}.\sqrt{{\left(-3\right)}^2+1^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{5}{\sqrt{182}}$

Suy ra (BO', B'C) ≈ 68,25°.

b) Mặt phẳng (OBC) Ì (Oxy) nên nhận $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (O'BC) có phương trình đoạn chắn là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{2}=1$ ⇔ 2x + 6y + 3z = 6 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;6;3\right)$

$\cos \left(\left(O^{\text{'}}BC\right),\left(OBC\right)\right)=\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}.\sqrt{2^2+6^2+3^2}}=\frac{3}{7}$.

Suy ra ((O'BC), (OBC)) ≈ 64,62°.

c) Đường thẳng B'C nhận $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}=\left(-3;1;-2\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng (O'BC) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;6;3\right)$

$\sin \left(B^{\text{'}}C,\left(O^{\text{'}}BC\right)\right)=\frac{\left|\left(-3\right).2+1.6+\left(-2\right).3\right|}{\sqrt{{\left(-3\right)}^2+1^2+{\left(-2\right)}^2}.\sqrt{2^2+6^2+3^2}}=\frac{6}{7\sqrt{14}}$

Suy ra (B'C, (O'BC)) ≈ 13,24°.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian hay khác:

• Giải Toán 12 trang 44
• Giải Toán 12 trang 46
• Giải Toán 12 trang 47
• Giải Toán 12 trang 49
• Giải Toán 12 trang 52
• Giải Toán 12 trang 53
• Giải Toán 12 trang 55
• Giải Toán 12 trang 56
• Giải Toán 12 trang 59

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

• Toán 12 Bài tập cuối chương 5

• Toán 12 Bài 1: Xác suất có điều kiện

• Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

• Toán 12 Bài tập cuối chương 6

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---