Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông lớp 8 (Lý thuyết Toán 8 Kết nối tri thức)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 8 Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông lớp 8 (Lý thuyết Toán 8 Kết nối tri thức)

(199k) Xem Khóa học Toán 8 KNTT

Lý thuyết Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

1. Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông

Định lí 1. Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh ΔBEH ᔕ ΔCDH.

Hướng dẫn giải

Xét hai tam giác BEH và CDH có:

$\widehat{\text{BEH}}=\widehat{\text{CDH}}=90°$

$\widehat{\text{EHB}}=\widehat{\text{DHC}}$ (đối đỉnh)

Do đó ΔBEH ᔕ ΔCDH (g.g).

Định lí 2. Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

ΔABC vuông tại A, ΔA'B'C' vuông tại A'.

• Nếu $\widehat{B}=\widehat{B\text{'}}$ thì ΔABC ᔕ ΔA'B'C' (g.g).

• Nếu $\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{AC}$ thì ΔA'B'C' ᔕ ΔABC (c.g.c).

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 8 cm, AB = 6 cm, BC = 10 cm. Kẻ Cx vuông góc với BC (tia Cx và điểm A nằm khác phía so với đường thẳng BC). Lấy điểm D thộc Cx sao cho DC = $\frac{40}{3}$ cm. Chứng minh ΔABC ᔕ ΔCBD.

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{\text{AB}}{\text{BC}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},$$\frac{\text{AC}}{\text{CD}}=\frac{8}{\frac{40}{3}}=\frac{3}{5}.$

Suy ra $\frac{\text{AB}}{\text{BC}}=\frac{\text{AC}}{\text{CD}}.$

Xét hai tam giác ABC và CBD có:

$\widehat{\text{BAC}}=\widehat{\text{BCD}}=90°;$ $\frac{\text{AB}}{\text{BC}}=\frac{\text{AC}}{\text{CD}}.$

Do đó ΔABC ᔕ ΔCBD (c.g.c).

2. Trường hợp đồng dạng đặc biệt của hai tam giác vuông

Định lí. Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABH vuông tại H có AB = 20 cm, BH = 12 cm. Trên tia đối của tia HB lấy điểm C sao cho $\text{AC}=\frac{5}{3}\text{AH}$. Chứng minh ΔABH ᔕ ΔCAH.

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{\text{AB}}{\text{BH}}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3};$$\frac{\text{AC}}{\text{AH}}=\frac{5}{3}.$

Suy ra $\frac{\text{AB}}{\text{BH}}=\frac{\text{AC}}{\text{AH}}$ hay $\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{\text{BH}}{\text{AH}}.$

Xét hai tam giác ABH và CAH có:

$\widehat{\text{AHB}}=\widehat{\text{AHC}}=90°;$ $\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{\text{BH}}{\text{AH}}.$

Do đó ΔABH ᔕ ΔCAH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Bài tập Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 10 cm, AC = 8 cm và tam giác DEF vuông tại D có EF = 5 cm, DF = 4 cm. Tính tỉ số chu vi của tam giác ABC và tam giác DEF.

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{\text{AC}}{\text{DF}}=\frac{8}{4}=2,$$\frac{\text{BC}}{\text{EF}}=\frac{10}{5}=2.$

Suy ra $\frac{\text{AC}}{\text{DF}}=\frac{\text{BC}}{\text{EF}}.$

Xét hai tam giác ABC và DEF có:

$\widehat{\text{BAC}}=\widehat{\text{EDF}}=90°;$ $\frac{\text{AC}}{\text{DF}}=\frac{\text{BC}}{\text{EF}}.$

Do đó, ΔABC ᔕ ΔDEF (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\frac{\text{AC}}{\text{DF}}=\frac{\text{BC}}{\text{EF}}=\frac{\text{AB}}{\text{DE}}=2.$

Suy ra $\frac{\text{AC}}{\text{DF}}=\frac{\text{BC}}{\text{EF}}=\frac{\text{AB}}{\text{DE}}$$=\frac{\text{AC + BC + AB}}{\text{DE + EF + DE}}=2.$

Vậy tỉ số chu vi của tam giác ABC và tam giác DEF là 2.

Bài 2. Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D. Trên cạnh AD lấy I sao cho AB ⋅ DC = AI ⋅ DI. Tính số đo $\widehat{\text{BIC}}.$

Hướng dẫn giải

Vì AB ⋅ DC = AI ⋅ DI nên $\frac{\text{AB}}{\text{DI}}=\frac{\text{AI}}{\text{DC}}.$

Xét hai tam giác ABI và DIC có:

$\frac{\text{AB}}{\text{DI}}=\frac{\text{AI}}{\text{DC}};$ $\widehat{\text{BAI}}=\widehat{\text{CDI}}=90°.$

Do đó, ΔABI ᔕ ΔDIC (c.g.c).

Suy ra $\widehat{\text{AIB}}=\widehat{\text{DCI}}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{\text{DIC}}+\widehat{\text{DCI}}=90°$ (do tam giác DIC vuông tại D) nên $\widehat{\text{DIC}}+\widehat{\text{AIB}}=90°.$

Do đó $\widehat{\text{BIC}}=180°-\left(\widehat{\text{DIC}}+\widehat{\text{AIB}}\right)$$=180°-90°=90°.$

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh BH ⋅ BC = AB².

Hướng dẫn giải

Xét ΔBHA và ΔBAC có:

$\widehat{\text{BHA}}=\widehat{\text{BAC}}=90°$; $\hat{\text{B}}$ chung.

Do đó ΔBHA ᔕ ΔBAC (g.g).

Suy ra $\frac{\text{BH}}{\text{BA}}=\frac{\text{BA}}{\text{BC}}$ hay AB² = BH ⋅ BC (đpcm).

Bài 4. Bạn Hoàng muốn đo chiều cao của một cây dừa mọc thẳng đứng trong sân, bạn dùng một cây cọc AB cao 1,5 m và chiều dài thân mình để đo. Bạn nằm cách gốc cây 3 m (tính từ chân của bạn) và bạn cắm cọc thẳng đứng dưới chân mình thì bạn thấy đỉnh thân cọc và đỉnh cây thẳng hàng với nhau. Tính chiều cao của cây dừa, biết bạn Hoàng cao 1,7 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hướng dẫn giải

Ta có MC = MB + BC = 1,7 + 3 = 4,7 (m).

Xét ΔMBA và ΔMCD có:

$\hat{\text{M}}$ chung; $\widehat{\text{MBA}}=\widehat{\text{MCD}}=90°$

Do đó ΔMBA ᔕ ΔMCD (g.g).

Suy ra $\frac{\text{MB}}{\text{MC}}=\frac{\text{AB}}{\text{DC}}$ hay $\frac{\text{1,7}}{4,7}=\frac{1,5}{\text{DC}}.$

Do đó $\text{DC}=\frac{4,7\cdot 1,5}{1,7}\approx 4,1$ (m).

Vậy chiều cao của cây dừa khoảng 4,1 m.

Bài 5. Để đo chiều cao của cột đèn ta làm như sau: Đặt tấm gương phẳng nằm trên mặt phẳng nằm ngang, mắt của người quan sát nhìn thẳng vào tấm gương, người quan sát di chuyển sao cho thấy được đỉnh ngọn đèn trong tấm gương và $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{A'BC}}\text{'}$. Cho chiều cao tính từ mắt của người quan sát đến mặt đất là AC = 1,7 m, khoảng cách từ gương đến chân người là BC = 0,6 m, khoảng cách từ gương đến chân cột đèn là BC' = 1,5 m. Tính chiều cao của cột đèn A'C'.

Hướng dẫn giải

Xét ΔACB và ΔA'C'B có:

$\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{A'BC'}};$

$\widehat{\text{ACB}}=\widehat{\text{A'C'B}}=90°$

Do đó ΔACB ᔕ ΔA'C'B (g.g).

Suy ra $\frac{\text{AC}}{\text{A'C'}}=\frac{\text{CB}}{\text{C'B}}$ hay $\frac{\text{1,7}}{A\text{'}C\text{'}}=\frac{0,6}{1,5}.$

Suy ra $A\text{'}C\text{'}=\frac{1,7\cdot 1,5}{0,6}=4,25\text{(m)}.$

Vậy chiều cao của cột đèn A'C' bằng 4,25 m.

Học tốt Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Các bài học để học tốt Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông Toán lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

(199k) Xem Khóa học Toán 8 KNTT

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay khác:

• Lý thuyết Toán 8 Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng

• Lý thuyết Toán 8 Bài 37: Hình đồng dạng

• Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 9

• Lý thuyết Toán 8 Bài 38: Hình chóp tam giác đều

• Lý thuyết Toán 8 Bài 39: Hình chóp tứ giác đều

• Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 10

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 8 Kết nối tri thức
• Giải lớp 8 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 8 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 8 Cánh diều (các môn học)

---