Bài tập về hiệu của hai vecto (cực hay, chi tiết)

---

---

Bài viết Bài tập về hiệu của hai vecto với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập về hiệu của hai vecto.

Bài tập về hiệu của hai vecto (cực hay, chi tiết)

A. Phương pháp giải

Vecto đối của một vecto: Vecto đối của vecto là vecto ngược hướng với và có cùng độ dài với vecto , ký hiệu là -

Vecto đối của vecto là vecto .

Vecto đối của vecto là vecto .

Hiệu hai vecto: Hiệu của hai vecto , kí hiệu là , là tổng của vecto và vecto đối của vecto , tức là

Phép lấy hiệu của hai vecto được gọi là phép trừ hai vecto.

Quy tắc về hiệu hai vecto: Nếu là một vecto đã cho thì với điểm O bất kỳ, ta luôn có

Phương pháp giải: áp dụng quy tắc về hiệu hai vecto, quy tắc ba điểm, vecto đối…

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Chứng minh rằng

Hướng dẫn giải:

Ta có: (1) (áp dụng quy tắc về hiệu hai vecto)

Lại có: (vecto đối)

(2) (áp dụng quy tắc ba điểm về tổng hai vecto)

Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm)

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD, tìm các vecto sau

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD có cạnh là a. Độ dài của vecto là

A. a

B. 2a

Hướng dẫn giải:

Ta có: (quy tắc về hiệu hai vecto)

Suy ra

ABCD là hình vuông cạnh với đường chéo DB

Vậy độ dài vecto .

Đáp án C

Ví dụ 4: Chỉ ra vecto tổng trong các vecto sau

Hướng dẫn giải:

=

= (áp dụng quy tắc hiệu hai vecto và vecto đối)

= (áp dụng quy tắc ba điểm)

= (tính chất giao hoán)

= (quy tắc ba điểm)

Vậy D đúng và A, B, C sai.

Đáp án D

Ví dụ 5: Cho các điểm A, B, C, M, N, X phân biệt. Chọn kết quả sai:

Hướng dẫn giải:

+ Ta có: A đúng

+ Lại có: theo quy tắc hiệu hai vecto B đúng

+ C sai (vì A, B phân biệt nên )

+ theo quy tắc ba điểm D đúng

Đáp án C

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình vuông ABCD có tâm O. Tìm vectơ đối của các vectơ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AO}$.

Hướng dẫn giải:

Vì $\left|\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|$ và $\overrightarrow{BA}$ ngược hướng với $\overrightarrow{BA}\Rightarrow \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$

+) Vì AB = DC , AB // DC (do ABCD là hình vuông)

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}\Rightarrow \overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AO}$ ngược hướng với $\overrightarrow{CO}$ và $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{CO}\Rightarrow \overrightarrow{CO}=-\overrightarrow{AO}$

Vậy $\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{CD}$ là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CO}$ là vectơ đối của $\overrightarrow{AO}$.

Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Tính các hiệu $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CO}-\overrightarrow{DO}$

Hướng dẫn giải:

Vì $\left|\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB$ và $\overrightarrow{BA}$ ngược hướng với $\overrightarrow{BA}\Rightarrow \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$

Ta có: $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}+(-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$

Áp dụng quy tắc ba điểm cho ba điểm A, D, B có: $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD}$

Vì $\left|\overrightarrow{DO}\right|=\left|\overrightarrow{OD}\right|=OD$ và $\overrightarrow{OD}$ ngược hướng với $\overrightarrow{DO}\Rightarrow \overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{DO}$

Ta có: $\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{CO}+(-\overrightarrow{DO})=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{CD}$

Bài 3. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính $\left|\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{BA}\right|$

Hướng dẫn giải:

Vì $\left|\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB$ và $\overrightarrow{BA}$ ngược hướng với $\overrightarrow{BA}\Rightarrow \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$

Ta có: $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}+(-\overrightarrow{BA})=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=CB=a$

Bài 4. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ thì tam giác ABC là tam giác vuông.

Hướng dẫn giải:

Dựng hình bình hành ABCD.

Theo quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$

Theo quy tắc hiệu hai vectơ ta có $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$

Từ giả thiết suy ra $\left|\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|$, tức là AD = BC.

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, tức là tam giác ABC vuông.

Bài 5. Cho ba điểm M, N, E tùy ý. Biết khoảng cách giữa E và N là 6a. Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{ME}, \overrightarrow{NM}-\overrightarrow{EM}$.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm về hiệu cho ba điểm M, N, E ta có:

$\overrightarrow{NM}-\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{EN}\Rightarrow \left|\overrightarrow{NM}-\overrightarrow{ME}\right|=\left|\overrightarrow{EN}\right|=EN=6a$.

Ta có $\overrightarrow{NM}-\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{NM}+(-\overrightarrow{EM})=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{ME}$.

Do đó $\left|\overrightarrow{NM}-\overrightarrow{EM}\right|=\left|\overrightarrow{NE}\right|=NE=6a$.

Bài 6. Cho 4 điểm A, B, C, D tùy ý. Tính hiệu $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{AC}$.

Bài 7. Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Tính hiệu $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}$

Bài 8.  Cho 5 điểm A, B, C, D, E tùy ý. Chứng minh đẳng thức sau:

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$

Bài 9. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}$.

Bài 10. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O . Biết AB = 2a, AD = a. Tính $\left|\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD}\right|$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 chọn lọc, có đáp án hay khác khác:

• Hai vecto cùng phương, hai vecto cùng hướng hay, chi tiết
• Bài tập về tổng của hai vecto (cực hay, chi tiết)
• Bài tập về Quy tắc hình bình hành của vecto (cực hay, chi tiết)
• Bài tập về Quy tắc trung điểm của vecto (cực hay, chi tiết)
• Bài tập về Quy tắc trọng tâm tam giác của vecto (cực hay, chi tiết)

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---