Bài tập về tổng của hai vecto (cực hay, chi tiết)

---

---

Bài viết Bài tập về tổng của hai vecto với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập về tổng của hai vecto.

Bài tập về tổng của hai vecto (cực hay, chi tiết)

A. Phương pháp giải

Định nghĩa: Cho hai vecto . Lấy một điểm A tùy ý ta vẽ , từ B vẽ . Vecto được gọi là tổng của hai vecto . Kí hiệu: . Phép toán tìm tổng của hai vecto còn được gọi là phép cộng hai vecto.

Các tính chất:

Tính chất giao hoán:

Tính chất kết hợp:

Tính chất vecto-không:

Các quy tắc:

Quy tắc 3 điểm: Cho 3 điểm A, B, C tùy ý ta có:

Quy tắc n điểm (mở rộng quy tắc 3 điểm): Cho n điểm , ta có:

(quy tắc này được dùng để tìm tổng của nhiều vecto nối đuôi nhau)

Phương pháp giải: Sử dụng linh hoạt các quy tắc và tính chất của phép cộng vecto để giải quyết bài tập.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Ví dụ 1. Cho 5 điểm A, B, C, D, F. Chứng minh rằng

Hướng dẫn giải:

a, Ta có: (áp dụng quy tắc 3 điểm)

= (tính chất giao hoán kết hợp)

= (quy tắc 3 điểm)

= (nhớ lại khái niệm vecto-không là vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau)

= (tính chất vecto-không)

Vậy (đpcm)

b, Ta có: (áp dụng quy tắc 3 điểm)

= (áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp)

= (quy tắc 3 điểm)

= (tính chất kết hợp)

=

= (vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau là vecto-không)

= (tính chất vecto-không)

Vậy (đpcm).

Ví dụ 2: Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có và BC = a. Tính độ dài vecto .

Hướng dẫn giải:

Nhận xét: để làm bài tập này, ta cần nhớ lại công thức độ dài vecto:

Độ dài của vecto , ký hiệu là .

Ví dụ 3: Ví dụ 3. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

= (tính chất giao hoán và kết hợp)

= (quy tắc 3 điểm)

=

= .

Vậy

Suy ra A đúng, B, C, D sai.

Đáp án A

Ví dụ 4: Ví dụ 4. Chỉ ra vecto tổng của trong các vecto sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án D

Ví dụ 5: Ví dụ 5. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, khẳng định nào sau đây là sai?

Hướng dẫn giải:

+ Ta có: A đúng.

Lại có: ABCD là hình chữ nhật (hai vecto bằng nhau khi chúng có cùng hướng và cùng độ dài).

Do đó:

Suy ra B đúng.

+

Mà (Chứng minh tương tự )

Vậy

Suy ra C đúng.

+ D sai vì vecto và vecto không cùng phương nên vecto không thể bằng vecto .

Đáp án D

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho năm điểm tùy ý A, B, C, D, E. Tính tổng $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BE}$.

Hướng dẫn giải:

$\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BE}=(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA})+(\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EC})=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}$

Bài 2. Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{AD}$.

Hướng dẫn giải:

+) Vì ABCD là hình vuông nên AB // DC và AB = DC.

Do đó $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}$.

+) Áp dụng quy tắc ba điểm cho D, C, B ta có:

$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}$.

+) Vì A, O, C cùng nằm trên một đường thẳng và OA = OC (O là tâm hình vuông ABCD)

Do đó $\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{OA}$ nên $\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}$.

+) Áp dụng quy tắc ba điểm cho O, A, D ta có: 

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}\Rightarrow \overrightarrow{CO}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}$.

Bài 3. Cho sáu điểm tùy ý A, B, C, D, E, F. Chứng minh đẳng thức sau:

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}$.

Hướng dẫn giải:

+) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}$

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{(AC}+\overrightarrow{CF})+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BE}$

+) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}$

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BE}$

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+(\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EF})+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF }+\overrightarrow{CD}$

Bài 4. Cho tam giác ABC. Cho M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Điểm O bất kì. Chứng minh đẳng thức: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}$.

Hướng dẫn giải:

Giả sử $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}$ là đúng

$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}=0$

$\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}=0 \left(1\right)$

Vì N là trung điểm AC nên $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NC}$.

Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình và P là trung điểm BC

$MN=\frac{1}{2}BC=BP$ nên $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BP}$

Phương trình (1) trở thành $\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{MN}=0$

$(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CM})+\overrightarrow{MN}=0$

$\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MN}=0$ (luôn đúng)

Vậy đẳng thức trên là đúng.

Bài 5. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ thì tam giác ABC là tam giác vuông.

Hướng dẫn giải:

Dựng hình bình hành ABCD.

Theo quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$.

Theo quy tắc hiệu hai vecto ta có $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$.

Từ giả thiết suy ra $\left|\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|$, tức là AD = BC.

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, tức là tam giác ABC vuông.

Bài 6. Cho hình chữ nhật ABCD. Biết AB = 4a, AD = 2a. Tính $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|$.

Bài 7. Cho hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.

Bài 8.  Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Tính tổng sau:

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}$

Bài 9. Cho 5 điểm tùy ý M, N, P, Q, E. Tính tổng $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{QN}+\overrightarrow{PE}$.

Bài 10. Cho hình bình hành ABCD. O là điểm tùy ý thuộc đường chéo AC. Từ O kẻ đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành, cắt AB tại M, cắt DC tại N, cắt BC tại F, cắt AD tại E. Chứng minh: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{FN}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 chọn lọc, có đáp án hay khác khác:

• Hai vecto cùng phương, hai vecto cùng hướng hay, chi tiết
• Bài tập về hiệu của hai vecto (cực hay, chi tiết)
• Bài tập về Quy tắc hình bình hành của vecto (cực hay, chi tiết)
• Bài tập về Quy tắc trung điểm của vecto (cực hay, chi tiết)
• Bài tập về Quy tắc trọng tâm tam giác của vecto (cực hay, chi tiết)

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---