Cách phân tích một vecto theo hai vecto không cùng phương (cực hay, chi tiết)

---

---

Bài viết Cách phân tích một vecto theo hai vecto không cùng phương với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách phân tích một vecto theo hai vecto không cùng phương.

Cách phân tích một vecto theo hai vecto không cùng phương (cực hay, chi tiết)

A. Phương pháp giải

Sử dụng định lý về phân tích vecto:

Phân tích vecto: Cho hai vecto không cùng phương , . Khi đó mọi đều được phân tích duy nhất:

Sử dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc 3 điểm,công thức trung điểm, trọng tâm…

Nếu hai vecto ; cùng hướng và

Nếu hai vecto ; ngược hướng và

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích vecto theo hai vecto .

Hướng dẫn giải:

Vì M là trung điểm của AC nên

Vì K là trung điểm của BC nên

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm trên các cạnh AB và CD sao cho AM = AB, CN = CD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN. Hãy phân tích theo hai vecto .

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm nằm trên tia đối của BC sao cho 5JB = 2JC. Phân tích vecto theo

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 4MC. Khi đó:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

MB = 4MC

Đáp án D

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có M thuộc cạnh BC sao cho CM = 2MB và I là trung điểm của AB. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải:

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Đặt $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{BO}=\overrightarrow{b}$. Hãy biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{DA}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Bài 2. Cho tam giác ABC có trọng tâm là G, H là điểm đối xứng của B qua G. Gọi M là trung điểm của BC. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}, \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AH}, \overrightarrow{CH}, \overrightarrow{MH}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AG}$.

Suy ra: $\overrightarrow{AH}=-\overrightarrow{AB}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.

Vậy: $\overrightarrow{AH}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\overrightarrow{c}$.
Tương tự:

Bài 3. Cho hình bình hành ABCD có M, N là trung điểm của các cạnh DC, DA. Đặt $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{b}$. Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{DA}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Từ đó $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\\ \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}\end{array}\right.$

Giải hệ phương trình này ta được:$\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}-\frac{4}{5}\overrightarrow{b}; \overrightarrow{AD}=\frac{4}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}$.

Như vậy

Bài 4. Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên phần kéo dài của cạnh BC sao cho 5JB = 2JC. Tính $\overrightarrow{AJ}, \overrightarrow{AI}$ theo $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$.

Hướng dẫn giải:

Vì I nằm trên cạnh BC và 2CI = 3BI nên $2\overrightarrow{CI}+3\overrightarrow{BI}=0$

Vì J nằm trên phần kéo dài của cạnh BC và 5JB = 2JC nên $5\overrightarrow{JB}=2\overrightarrow{JC}$

Bài 5. Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên phần kéo dài của cạnh BC sao cho 5JB = 2JC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính $\overrightarrow{AG}$ theo $\overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AJ}$.

Hướng dẫn giải:

Theo kết quả bài 4, ta có $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AI}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}\\ \overrightarrow{AJ}=\frac{5}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\end{array}\right.$

Từ đó suy ra $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=\frac{5}{8}\overrightarrow{AI}+\frac{3}{8}\overrightarrow{AJ}\\ \overrightarrow{AC}=\frac{25}{16}\overrightarrow{AI}-\frac{9}{16}\overrightarrow{AJ}\end{array}\right.$

Ta lại có $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ (với M là trung điểm BC).

$=\frac{1}{3}\left(\frac{5}{8}\overrightarrow{AI}+\frac{3}{8}\overrightarrow{AJ}+\frac{25}{16}\overrightarrow{AI}-\frac{9}{160}\overrightarrow{AJ}\right)=\frac{35}{48}\overrightarrow{AI}-\frac{1}{16}\overrightarrow{AJ}$.

Bài 6. Cho tam giác ABC, N là điểm sao cho $\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. Với G là trọng tâm tam giác ABC. Biểu thị $\overrightarrow{AC}$ theo $\overrightarrow{AG}, \overrightarrow{AN}$.

Bài 7. Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB. Đặt $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{CF}=\overrightarrow{b}$. Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{AD}$ theo $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$.

Bài 8. Cho tam giác ABC, I là điểm trên phần kéo dài của AB sao cho IA = 2IB, J là điểm nằm trên cạnh AC sao cho 3JA = 2JC. Biểu thị vectơ IJ theo $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}, \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$.

Bài 9. Cho hình bình hành ABCD tâm O, I là trung điểm của BO, G là trọng tâm tam giác OCD. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AI}, \overrightarrow{BG}$ theo $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$.

Bài 10. Cho lục giác đều ABCDEF. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}, \overrightarrow{AF}=\overrightarrow{v}$. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{DE}, \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AC},\overrightarrow{ BF}, \overrightarrow{CE}$ theo $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 chọn lọc, có đáp án hay khác khác:

• Bài tập về Quy tắc trọng tâm tam giác của vecto (cực hay, chi tiết)
• Bài tập Tọa độ của vecto, tọa độ của một điểm (cực hay, chi tiết)
• Tìm m để hai vecto cùng phương (cực hay, chi tiết)
• Cách tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng (cực hay, chi tiết)
• Cách tìm tọa độ của trọng tâm tam giác (cực hay, chi tiết)
• Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước (cực hay, chi tiết)

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---