Cách tìm vecto chỉ phương của đường thẳng (cực hay)

---

---

Bài viết Cách tìm vecto chỉ phương của đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm vecto chỉ phương của đường thẳng.

Cách tìm vecto chỉ phương của đường thẳng (cực hay)

A. Phương pháp giải

+ Cho đường thẳng d, một vecto u→ được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu u→ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d.

+ Nếu vecto u→( a; b) là VTCP của đường thẳng d thì vecto k.u→ ( với k ≠ 0) cũng là VTCP của đường thẳng d.

+ Nếu đường thẳng d có VTPT n→( a; b) thì đường thẳng d nhận vecto n→( b; -a) và n'→( - b;a) làm VTPT.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là:

A. u₁→ = (2; -3)    B. u₂→ = (3; -1)    C. u₃→ = (3; 1)    D. u₄→ = (3; -3)

Lời giải

Một VTCP của đường thẳng d là u→( 3; -1)

Chọn B

Ví dụ 2: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(-3; 2) và B( 1; 4) ?

A. u₁→ = (-1; 2)    B. u₂→ = (2; 1)    C. u₃→ = (- 2; 6)    D. u₄→ = (1; 1)

Lời giải

+ Đường thẳng AB đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vecto AB→( 4; 2) làm vecto chỉ phương .

+ Lại có vecto AB→ và u→( 2;1) là hai vecto cùng phương nên đường thẳng AB nhận vecto u→( 2;1) là VTCP.

Chọn B.

Ví dụ 3: Vectơ chỉ phương của đường thẳng = 1 là:

A. u₄→ = (-2; 3)    B. u₂→ = (3; -2)    C. u₃→ = (3; 2)    D. u₁→ = (2; 3)

Hướng dẫn giải:

Ta đưa phương trình đường thẳng đã cho về dạng tổng quát:

= 1 ⇔ 2x + 3y - 6 = 0 nên đường thẳng có VTPT là n→ = (2; 3)

Suy ra VTCP là u→ = (3; - 2) .

Chọn B.

Ví dụ 4: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: 2x - 5y - 100 = 0 là :

A. u→ = (2; -5)    B. u→ = (2; 5)    C. u→ = (5; 2)    D. u→=( -5; 2)

Lời giải

Đường thẳng d có VTPT là n→( 2 ;- 5) .

⇒ đường thẳng có VTCP là u→( 5 ; 2).

Chọn C.

Ví dụ 5 : Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A(2 ; 3) và B( 4 ;1)

A. n→ = (2; -2)    B. n→ = (2; -1)    C. n→ = (1; 1)    D. n→ = (1; -2)

Lời giải

Đường thẳng AB nhận vecto AB→( 2; -2) làm VTCP nên đường thẳng d nhận vecto

n→( 1; 1) làm VTPT.

Chọn C.

Ví dụ 6. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox

A. u₁→ = (1; 0).    B. u₂→ = (0; -1)    C. u₃→ = (1; 1)    D. u₄→ = (1; - 1)

Lời giải

Trục Ox có phương trình là y= 0; đường thẳng này có VTPT n→( 0;1)

⇒ đường thẳng này nhận vecto u→( 1; 0) làm VTCP.

⇒ một đường thẳng song song với Ox cũng có VTCP là u₁→=(1; 0).

Chọn A.

Ví dụ 7: Cho đường thẳng d đi qua A( 1; 2) và điểm B(2; m) . Tìm m để đường thẳng d nhận u→( 1; 3) làm VTCP?

A. m = - 2    B. m = -1    C. m = 5    D. m = 2

Lời giải

Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng d nhận vecto AB→( 1; m - 2) làm VTCP.

Lại có vecto u→( 1; 2) làm VTCP của đường thẳng d. Suy ra hai vecto u→ và AB→ cùng phương nên tồn tại số k sao cho: u→ = kAB→

⇒

Vậy m= 5 là giá trị cần tìm .

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho đường thẳng d đi qua A(- 2; 3) và điểm B(2; m + 1) . Tìm m để đường thẳng d nhận u→( 2; 4) làm VTCP?

A. m = - 2    B. m = -8    C. m = 5    D. m = 10

Lời giải

Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng d nhận vecto AB→( 4; m - 2) làm VTCP.

Lại có vecto u→(2; 4) làm VTCP của đường thẳng d. Suy ra hai vecto u→ và ab→ cùng phương nên tồn tại số k sao cho: u→ = kAB→

Vậy m = 10 là giá trị cần tìm .

Chọn D.

Ví dụ 9. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A( a; 0) và B( 0; b)

A. u→( -a; b)    B. u→( a; b)    C. u→( a + b; 0)    D. u→( - a; - b)

Lời giải

Đường thẳng AB đi qua điểm A và B nên đường thẳng này nhận AB→(-a;b) làm vecto chỉ phương.

Chọn A.

Ví dụ 10 . Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là u→ = (-2; -5) . Đường thẳng ∆ vuông góc với d có một vectơ chỉ phương là:

A. u₁→ = (5; -2)    B. u₂→ = (-5; 2)    C. u₃→ = (2; 5)    D. u₄→ = (2; -5)

Lời giải

Khi hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia nên :

Lại có hai vecto u_∆→( -2; -5) và u→( 2;5) cùng phương nên đường thẳng ∆ nhận vecto u→( 2; 5) làm VTCP.

Chọn C.

Ví dụ 11. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u→ = (3; -4). Đường thẳng ∆ song song với d có một vectơ pháp tuyến là:

A. n₁→ = (4; 3)    B. n₂→ = (- 4; 3)    C. n₃→ = (3; 4)    D. n₄→ = (3; - 4)

Lời giải

Khi hai đường thẳng song song với nhau thì VTCP ( VTPT) của đường thẳng này cũng là VTCP (VTPT) của đường thẳng kia nên:

→ u_∆→ = u_d→ = (3; -4) → n_∆→ = (4; 3)

Chọn A

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Oy?

A. u₁→ = (1; 0).    B. u₂→ = (0; 1)    C. u₃→ = (1; 1)    D. u₄→ = (1; -1)

Lời giải:

Đáp án: B

Trục Oy có phương trình tổng quát là : x= 0. Đường thẳng này nhận vecto n→(1;0) làm VTPT.

⇒ Đường thẳng x= 0 nhận vecto u→( 0; 1) làm VTCP.

⇒ Một đường thẳng song song với Oy cũng có VTCP là j→(0;1)

Câu 2: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2) và B( -3;6)

A. u→( 1; 1)    B. u→( 1; -1)    C. u→( 2; -3)    D. u→(- 1; 2)

Lời giải:

Đáp án: B

Đường thẳng AB đi qua hai điểm A và B nên nhận vecto AB→( -4; 4) VTCP .

Lại có hai vecto AB→( -4;4) và u→( 1; -1) là hai vecto cùng phương .

⇒ đường thẳng AB nhận vecto u→( 1; -1) làm VTCP.

Câu 3: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O( 0; 0) và điểm M( a; b)

A. u→( 0; a + b)    B. u→( a; b)    C. u→( a; - b)    D. u→( -a; b)

Lời giải:

Đáp án: B

Đường thẳng OM đi qua điểm M và O nên đường thẳng này nhận OM→( a;b) làm vecto chỉ phương.

Câu 4: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; -8) và B(3; -6)

A. n₁→ = (2; 2).    B. n₂→ = (0; 0)    C. n₃→ = (8; -8)    D. n₄→ = (2; 3)

Lời giải:

Đáp án: C

Đường thẳng AB đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vectơ AB( 2;2) làm VTCP.

Lại có: AB→( 2;2) và n→( 8; -8) vuông góc với nhau( vì tích vô hướng của hai vecto đó bằng 0)

⇒ đường thẳng AB nhận vecto n→( 8; -8) là VTPT.

Câu 5: Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u→ = (2; -1). Trong các vectơ sau, vectơ nào là một vectơ pháp tuyến của d?

A. n→( -1; 2)    B. n→(1; -2)    C. n→(-3; 6)    D. n→( 3;6)

Lời giải:

Đáp án: D

Đường thẳng d có VTCP là u→( 2;-1) nên đường thẳng này có VTPT là n→( 1;2) .

Lại có vecto n'→(3;6) cùng phương với vecto n→ nên đường thẳng đã cho nhận vecto

n'→(3;6) làm VTPT.

Câu 6: Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n→ = (4; -2) . Trong các vectơ sau, vectơ nào là một vectơ chỉ phương của d?

A. u₁→ = (2; -4)    B. u₂→ = (-2; 4)    C. u₃→ = (1; 2)    D. u₄→ = (2; 1)

Lời giải:

Đáp án: C

Đường thẳng d có VTPT n→( 4; -2) nên có VTCP u→(2;4) .

Mà u→( 2;4) và v→( 1;2) cùng phương nên đường thẳng đã cho nhận v→( 1;2) làm VTCP.

Câu 7: Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u→ = (3; -4). Đường thẳng ∆ vuông góc với d có một vectơ pháp tuyến là:

A. n₁→ = (4; 3)    B. n₂→ = (-4; -3)    C. n₃→ = (3; 4)    D. n₄→ = (3; - 4)

Lời giải:

Đáp án: D

Khi hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia nên :

→ n_∆→ = u_d→ = (3; -4)

Câu 8: Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n→ = (-2; -5) . Đường thẳng song song với d có một vectơ chỉ phương là:

A. u₁→ = (5; -2)    B. u₂→ = (-5; -2)    C. u₃→ = (2; 5)    D. u₄→ = (2; -5)

Lời giải:

Đáp án: A

Khi hai đường thẳng song song với nhau thì VTCP ( VTPT) của đường thẳng này cũng là VTCP (VTPT) của đường thẳng kia nên:

→ n_∆→ = u_d→ = (-2; -5) → u_∆→ = (5; -2)

Câu 9: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d ?

A. u₁→ = (6; 0) .    B. u₂→ = (-6; 0).    C. u₃→ = (2; 6).    D. u₄→ = (0; 1).

Lời giải:

Đáp án: D

Đường thẳng d: nên VTCP u→ = (0; 6) = 6(0; 1)

Ta chọn u→ = (0 ; 1)

Câu 10: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d:

A. n₁→ = (2; -1) .    B. n₂→ = (-1; 2) .    C. n₃→ = (1; -2) .    D. n₄→ = (1; 2) .

Lời giải:

Đáp án: D

d: → u_d→ = (2; -1) → n_d→ = (1; 2)

Câu 11: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d: 2x - 3y + 2018 = 0

A. u₁→ = (-3; -2) .    B. u₂→ = (2; 3) .    C. u₃→ = (-3; 2) .    D. u₄→ = (2; -3) .

Lời giải:

Đáp án: A

Đường thẳng d: 2x - 3y + 2018 = 0 có VTPT n_d→ = (2; -3)nên u_d→ = (3; 2) là một VTCP của d.

⇒ Vecto ( - 3; -2) cũng là VTCP của đường thẳng d.

Câu 12: Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A( -3; 2); B(-3; 3) có một vectơ pháp tuyến là:

A. n₁→ = (6; 5).    B. n₂→ = (0; 1) .    C. n₃→ = (-3; 5) .    D. n₄→ = (-1; 0) .

Lời giải:

Đáp án: B

Gọi d là trung trực đoạn AB.

Suy ra đường thẳng d vuông góc với AB.

⇒ AB→( 0;1) là một VTPT của đường thẳng d.

Câu 13: Cho đường thẳng d đi qua A(-1; 2) và điểm B(m; 3) . Tìm m để đường thẳng d nhận u→( -2; 1) làm VTCP?

A. m = - 2    B. m = -1    C. m = - 3    D. m = 2

Lời giải:

Đáp án: C

Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng d nhận vecto AB→( m + 1; 1) làm VTCP.

Lại có vecto u→( -2; 1) làm VTCP của đường thẳng d. Suy ra hai vecto u→ và AB→ cùng phương nên tồn tại số k sao cho: u→ = kAB→

Vậy m = - 3 là giá trị cần tìm .

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(2; –4) và B(–3; –7).

Bài 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm M(a ;b).

Bài 3. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A(9; 4) và B(10; 7).

Bài 4. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}(5;-3)$. Tìm vectơ pháp tuyến của d.

Bài 5. Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{u}(-2;7)$. Tìm vectơ chỉ phương của d.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng
• Cách chuyển dạng phương trình đường thẳng: tổng quát sang tham số, chính tắc
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song (vuông góc) với 1 đường thẳng
• Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng
• Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---