Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song (vuông góc) với 1 đường thẳng

---

---

Bài viết Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song (vuông góc) với 1 đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song (vuông góc) với 1 đường thẳng.

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song (vuông góc) với 1 đường thẳng

A. Phương pháp giải

+ Hai đường thẳng song song có cùng VTCP và có cùng VTPT.

+ Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại.

+ Cho đường thẳng d: ax + by + c= 0 và d’// d thì đường thẳng d’ có dạng :
ax + by + c’ = 0 ( c’≠ c) .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm M( -2; 3) và vuông góc với đường thẳng (d’) : 3x - 4y + 1 = 0 là:

A.    B.    C.    D. 4x + 3y - 1 = 0 .

Lời giải

Ta có (d) ⊥ (d'): 3x - 4y + 1 = 0 ⇒ VTCP u_d→ = (3; -4)

Đường thẳng (d) :

Suy ra (t ∈ R)

Chọn B.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(2; 0); B( 0; 3)và C( -3;-1). Đường thẳng đi qua điểm B và song song với AC có phương trình tham số là:

A.    B.    C.    D.

Lời giải

Gọi d là đường thẳng qua B và song song với AC. Ta có

Đường thẳng (d):

nên d: (t ∈ R)

Chọn A.

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(3; 2); P(4; 0) và Q(0; -2). Đường thẳng đi qua điểm A và song song với PQ có phương trình tham số là:

A.    B.    C.    D.

Lời giải

+ Gọi d là đường thẳng qua A và song song với PQ.

Ta có:

+ Cho t= -2 ta được điểm M (-1; 0) thuộc d.

Đường thẳng (d):

⇒ Phương trình tham số của đường thẳng d:

Chọn C.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có đỉnh
A(-2; 1)và phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là . Viết phương trình tham số của đường thẳng chứa cạnh AB.

A.    B.    C.    D.

Lời giải

Do ABCD là hình bình hành nên AB//CD

⇒ Đường thẳng AB:

⇒ Phương trình tham số của AB:

Chọn B.

Ví dụ 5. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(-3; 5) và song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

A.    B.    C.    D.

Lời giải

Phương trình đường phân giác góc phần tư (I) : x - y = 0

Đường thẳng này nhận VTPT là n→(1 ; -1) và nhận VTCP u→(1 ;1)

Đường thẳng d song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất nên d nhận u→(1 ;1) làm VTCP.

⇒ Phương trình tham số của đường thẳng d:

Chọn B.

Ví dụ 7. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(4; -7) và song song với trục Ox.

A.    B.    C.    D.

Lời giải

Phương trình trục Ox là y = 0. Đường thẳng này nhận vecto n→( 0 ;1) làm VTPT và vecto u→(1 ; 0) làm VTCP.

Do đường thẳng d// Ox nên đường thẳng d nhận u→(1 ;0) làm VTCP.

⇒ Phương trình tham số của đường thẳng d là :

Chọn D.

Ví dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1 ; 4); B( 3; 2) và C( 7; 3). Viết phương trình tham số của đường trung tuyến CM của tam giác.

A.    B.    C.    D.

Lời giải

Do M là trung điểm của AB nên tọa độ của điểm M là:

Đường trung tuyến CM:

⇒ Phương trình tham số của CM:

Chọn C.

Ví dụ 9: Cho tam giác ABC có M, N và P lần lượt là trung điểm của AB; BC và AC. Viết phương trình tham số của đường thẳng AC biết M(1; 3); N( - 2; 0) và P( -3; 1)?

A.    B.    C.    D. Tất cả sai

Lời giải

Do M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ MN// AC.

Đường thẳng AC:

⇒ Phương trình tham số của đường thẳng AC:

Chọn A.

Ví dụ 10: Cho hai đường thẳng d và ∆ vuông góc với nhau.Biết đường thẳng
∆: và điểm A( -2; 0) thuộc đường thẳng d. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.

A. 2x + 3y + 4 = 0    B.    C.    D. Đáp án khác

Lời giải

+ Đường thẳng ∆ nhận vecto u_∆→( 2; 3) làm VTCP.

+ Do đường thẳng d vuông góc đường thẳng ∆ nên :

(d):

⇒ Phương trình chính tắc của đường thẳng d:

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M( -2; 3) và vuông góc với đường thẳng ∆: x - 3y = 0.

A. x - 3y + 1 = 0    B.    C.    D.

Lời giải:

Đáp án: D

+ Đường thẳng ∆ nhận VTPT n_∆→( 1; -3) .

+ Do hai đường thẳng d và ∆ vuông góc với nhau nên đường thẳng d nhận n_∆→ làm VTCP.

⇒ Đường thẳng (d):

⇒ Phương trình tham số của đường thẳng d:

Câu 2: Cho hai đường thẳng (a): x + y - 2 = 0 và ( b): 2x + 3y - 5. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua giao điểm của hai đường thẳng (a); (b) đồng thời đường thẳng d song song với đường thẳng (a)?

A.    B.    C.    D. Đáp án khác

Lời giải:

Đáp án: C

+ Giao điểm A của hai đường thẳng ( a) và (b) là nghiệm hệ phương trình :

⇒ A( 1;1).

+ Đường thẳng (a) có VTPT n_a→( 1;1) làm VTPT.

+ Do đường thẳng d// a nên đường thẳng d nhận n_a→( 1;1) làm VTPT suy ra một VTCP của (d) là u→( 1; -1) .

Đường thẳng (d):

⇒ Phương trình tham số của đường thẳng d là;

Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A có phương trình đường thẳng BC: x + y - 10 = 0. Biết điểm M(5;5) là trung điểm của BC. Viết phương trình chính tắc đường trung tuyến xuất phát từ A của tam giác ABC?

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

Đáp án: A

+ Do tam giác ABC là tam giác cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao.

⇒ AM và BC vuông góc với nhau.

+ Mà đường thẳng BC nhận vecto n→( 1; 1) làm VTPT nên đường thẳng AM nhận
u→( 1;1) làm VTCP.

+ Đường thẳng AM:

⇒ Phương trình chính tắc của AM:

Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 4); B( 5; 0) và
C( 2; 1). Trung tuyến BM của tam giác đi qua điểm N có hoành độ bằng 20 thì tung độ bằng:

A. - 12    B. -    C. - 13    D. -

Lời giải:

Đáp án: B

Do M là trung điểm của AC nên tọa độ của điểm M là:

Đường trung tuyến BM:

⇒ Phương trình tham số của CM:

Ta có: N(20; y_N ) ∈ BM ⇒

Câu 5: Đường thẳng d đi qua điểm M(0; -2) và có vectơ chỉ phương u→ = ( 3; 0) có phương trình tổng quát là:

A. d: x = 0    B. d: y + 2 = 0    C. d: y - 2 = 0    D. d: x – 2 = 0

Lời giải:

Đáp án: B

Đường thẳng d có VTCP là u→(3; 0) nên nhận vecto n→(0; 1) làm VTPT

⇒ đường thẳng d:

⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:

0(x - 0) + 1.(y + 2) = 0 hay y + 2 = 0

Câu 6: Đường thẳng d đi qua điểm M(-1 ; 2) và vuông góc với đường thẳng
∆ : 2x + y - 3 = 0 có phương trình tổng quát là:

A. 2x + y - 7 = 0    B. x - 2y + 4 = 0    C. x + 2y = 0    D. x - 2y + 5 = 0.

Lời giải:

Đáp án: D

Đường thẳng ∆ có VTPT là n_∆→( 2; 1)

Do d và ∆ vuông góc với nhau nên đường thẳng d nhận vecto u→ = n_∆→ = ( 2; 1) làm VTCP. Do đó; một VTPT của đường thẳng d là : n_d→( 1; -2).

(d):

⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:

1( x + 1) – 2( y - 2) = 0 hay x - 2y + 5 = 0

Câu 7: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A( 2;-3) và song song với đường thẳng d :

A. 2x - 3y = 0    B. 3x + 2y = 0    C. 2x + 3y + 1 = 0    D. 3x - 2y = 0

Lời giải:

Đáp án: B

Đường thẳng d có VTCP u→( -2; 3) ⇒ một VTPT của d: n→( 3; 2)

Do đường thẳng ∆// d nên đường thẳng ∆ nhận n→( 3; 2) làm VTPT.

(d):

⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:

3( x - 2) + 2( y + 3) = 0 ⇔ 3x + 2y = 0

Câu 8: Cho tam giác ABC có A(1;2) ;B( 3;0) và C( 2; -4) . Đường thẳng d đi qua B và song song với AC có phương trình tổng quát là:

A. x - 6y - 3 = 0    B. x + 6y - 3 = 0    C. 6x + y – 18 = 0    D. Đáp án khác

Lời giải:

Đáp án: C

Đường thẳng d: ⇒

⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:

6(x - 3) + 1(y - 0) = 0 hay 6x + y – 18 = 0

Câu 9: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M( -1; 0) và vuông góc với đường thẳng ∆ :

A. 2x + y + 2 = 0.    B. 2x - y + 2 = 0.    C. x - 2y + 1 = 0.    D. x + 2y + 1 = 0.

Lời giải:

Đáp án: C

Đường thẳng ∆ có VTCP u_∆→( 1; -2) .

Do đường thẳng d vuông góc với ∆ nên d nhận u_∆→ làm VTPT

Đường thẳng d:

⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:

1( x + 1) – 2( y - 0) = 0 ⇔ x - 2y + 1 = 0

Câu 10: Đường thẳng d đi qua điểm M( -2; 1) và vuông góc với đường thẳng
∆ : có phương trình tham số là:

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

Đáp án: B

Đường thẳng ∆ có VTCP u_∆→( -3; 5).

Do đường thẳng d vuông góc với ∆ nên d nhận u_∆→ làm VTPT

Đường thẳng d:

⇒ Phương trình tham số của d: (t ∈ R).

Câu 11: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M(3; -1) và vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ hai.

A. x + y - 4 = 0    B. x - y - 4 = 0    C. x + y + 4 = 0    D. x - y + 4 = 0

Lời giải:

Đáp án: B

Đường phân giác góc phần tư thứ hai là ∆: x + y = 0. Đường thẳng này nhận vecto
n→( 1; 1 ) làm VTPT.

Do đường thẳng d vuông góc với đường thẳng ∆ nên đường thẳng d nhận vecto
u_d→ = (1; 1) làm VTPT.

Đường thẳng d:

⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:

1(x - 3) – 1(y + 1) = 0 ⇔ x - y - 4 = 0

Câu 12: Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M(6; -10) và vuông góc với trục Oy.

A. y + 10 = 0 .    B. x – 6 = 0.    C. x + y = -4    D. y - 10 = 0

Lời giải:

Đáp án: A

Do đường thẳng d vuông góc với trục Oy nên suy ra đường thẳng d song song với trục Ox.

Trục Ox có phương trình là: y = 0.

⇒ đường thẳng d có dạng y + c = 0 ( c ≠ 0) .

Mà đường thẳng d đi qua điểm M( 6; -10) nên ta có: -10 + c = 0 ⇔ c= 10

Vậy phương trình đường thẳng d: y + 10 = 0

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M(2; 10) và vuông góc với đường thẳng ∆: 2x – 2y = 0.

Bài 2. Cho đường thẳng d đi qua điểm M(–1; –8) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(8;-6)$. Tìm phương trình tổng quát của đường thẳng d?

Bài 3. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M(3; 6) và vuông góc với đường thẳng ∆: 9x – 4y = 10.

Bài 4. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(2; 3) và song song với đường thẳng d$\left\{\begin{array}{l}x=4-6t\\ y=-7+t\end{array}\right.$.

Bài 5. Cho tam giác ABC có A(6; –7) ;B(–3; 3) và C(–1; 0) . Tìm phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua B và song song với AC.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Cách tìm vecto chỉ phương của đường thẳng
• Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng
• Cách chuyển dạng phương trình đường thẳng: tổng quát sang tham số, chính tắc
• Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng
• Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---