Cách tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng (cực hay)

---

---

Bài viết Cách tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng.

Cách tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng (cực hay)

A. Phương pháp giải

Cho trước điểm A(x₀; y₀) và phương trình đường thẳng d: ax + by + c = 0 có VTPT
n→( a; b). Tìm hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d:

+ Bước 1: Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng d.

+ Bước 2: Lập phương trình tổng quát của AH

AH:

⇒ phương trình AH: b(x - x₀) - a(y - y₀) = 0

+ Bước 3: AH và d cắt nhau tại H nên tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:

Từ hệ phương trình trên ta suy ra tọa độ điểm H.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm A( 1; 2) và đường thẳng (d): x + 2y - 3 = 0 .Tìm hình chiếu của A lên đường thẳng d.

A. ( 1; -2)    B. (- ; )    C. ( ; )    D. Đáp án khác

Lời giải

+ Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng (d) .

+ Lập phương trình đường thẳng AH:

(AH) :

⇒ Phương trình ( AH) : 2(x - 1) – 1.( y - 2) = 0 hay 2x - y = 0

+ Hai đường thẳng AH và d cắt nhau tại H nên tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:

Chọn C.

Ví dụ 2: Cho điểm A( 2; 0) và đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Tìm hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d.

A. ( 2; -1)    B. (2; 0)    C. (1; -2)    D. (-2; -1)

Lời giải

Ta có: 2 + 0 - 2 = 0 nên điểm A thuộc đường thẳng d.

⇒ Hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d chính là điểm A.

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có A( 0; -2).Gọi I ( 2; 4) là trung điểm của AB và J( -4; 2) là trung điểm của AC. Gọi hình chiếu của điểm A lên BC là H. Viết phương trình đường thẳng AH?

A. 6x + 2y - 3 = 0    B. 6x + 2y + 4 =0    C. 2x - y + 1 = 0    D. Tất cả sai

Lời giải

+ Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .

+ Do H là hình chiếu của A lên BC

⇒ AH vuông góc BC (2).

Từ(1) và ( 2) suy ra: AH vuông góc IJ

+ Lập phương trình AH:

⇒ ( AH): 6(x - 0) + 2( y + 2) = 0 hay 6x + 2y + 4 = 0.

Chọn B.

Ví dụ 4: Toạ độ hình chiếu của M(4; 1) trên đường thẳng ∆: x - 2y + 4 = 0 là:

A. ( 14; -19)    B. ( 2; 3)    C. ( ; )    D. (- ; )

Lời giải

+ Đường thẳng ∆ có 1 VTPT n→(1; -2)

Gọi H( 2t - 4; t) là hình chiếu của M trên đường thẳng ∆ thì MH→(2t - 8; t - 1)

⇒ Hai vecto MH→ và n→(2; -3) cùng phương nên:

⇒ H( ; )

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho đường thẳng ∆: và điểm M(3; 3) . Tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng ∆ là:

A. (4; -2)    B. (1; 0)    C. (-2; 2)    D. (7; -4)

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.

Ta có: H ∈ ∆ ⇒ H(1 + 3t; - 2t), MH→ = (- 2 + 3t; - 3 - 2t)

Đường thẳng có vectơ chỉ phương là u→( 3; -2) .

Do H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ nên hai đường thẳng MH và ∆ vuông góc với nhau

⇒ MH→.u→ = 0 ⇔ 3( -2 + 3t ) – 2( -3 - 2t) = 0

⇔ -6 + 9t + 6 + 4t = 0 ⇔ 13t = 0 ⇔ t = 0

⇒ H ( 1; 0)

Chọn B.

Ví dụ 6: Tìm hình chiếu của A( 3;-4) lên đường thẳng d:

A. ( 1; 2)    B. (4; -2)    C. ( -1; 2)    D. ( -1; -3)

Lời giải

+ Lấy điểm H(2 + 2t; -1 - t) thuộc d.

Ta có AH→ = (2t - 1; -t + 3)

Vectơ chỉ phương của d là u→( 2; -1)

+Do H là hình chiếu của A trên d

⇔ AH ⊥ d ⇔ u→.AH→ = 0 ⇔ 2(2t - 1) - (- t + 3) = 0 ⇔ t = 1

+ Với t = 1 ta có H( 4; -2)

Vậy hình chiếu của A trên d là H( 4; -2).

Chọn B.

Ví dụ 7: Cho đường thẳng ∆: . Hoành độ hình chiếu của M( 4; 5) trên ∆ gần nhất với số nào sau đây ?

A. 1,1    B. 1,2    C. 1,3    D. 1,5

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.

Ta có: H ∈ ∆ nên H( 2 - 3t; 1 + 2t) và MH→( -2 - 3t; -4 + 2t)

Đường thẳng ∆có vectơ chỉ phương là u→(3; - 2) .

u→ ⊥ MH→ ⇔ u→.MH→ = 0 ⇔ 3(-2 - 3t) - 2(-4 + 2t) = 0 ⇔ -13t + 2 = 0 ⇔ t =
⇒ H( ; )

⇒ Hoành độ của điểm H là .

Chọn D.

Ví dụ 8: Cho tam giác BAC có AB = 3; BC = 3√3 và góc B = 30⁰.Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Tìm mệnh đề đúng?

A. H nằm trong đoạn BC thỏa mãn: BH = 2 HC

B. AH = .

C. BH = 2.

D. Tất cả sai

Lời giải

+ Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có:

AC² = AB² + BC² – 2.AC.BC.Cos B

= 3² + (3√3 )² - 2.3.3√3.cos30⁰ = 9

⇒ AC = 3 nên AB = AC = 3

⇒ Tam giác BAC cân tại A.

+ AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến

⇒ H là trung điểm của BC: BH = CH =

+ Xét tam giác vuông AHB có: AH = AB.sinB = 3.sin30⁰ = 1,5.

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho điểm A( -1; 2) và đường thẳng ∆: . Tìm điểm M trên ∆ sao cho AM ngắn nhất.

A. ( 1; -3)    B. ( 1; 3)    C. (0; 5)    D. (4; 0)

Lời giải:

Đáp án: C

Lấy điểm M ( t - 2; - t - 3) thuộc ∆

⇒ AM =

Ta có: ( t + 2)2 ≥ 0 với mọi t nên 2( t + 2)2 + 18 ≥ 18

⇒ AM =

⇒ AM ngắn nhất là √18 khi và chỉ khi : t + 2 = 0 hay t = 2.

Khi đó tọa độ điểm M( 0 ; 5) .

Câu 2: Toạ độ hình chiếu của M(4; 1) trên đường thẳng d: x - 2y + 4 = 0 là:

A. ( ; )    B. ( ; )    C. ( ; )    D. ( ; )

Lời giải:

Đáp án: C

Đường thẳng d có 1 VTPT n→(1; -2).

Gọi H( 2t - 4; t) là hình chiếu của M( 4; 1) trên đường thẳng d thì MH→(2t – 8; t - 1)

Và n→(1; -2) cùng phương khi và chỉ khi

→ H( ; ).

Câu 3: Cho tam giác ABC có A(1; 3).Gọi I(2; 1) là trung điểm của AB và J( -1; 0) là trung điểm của AC. Gọi hình chiếu của điểm A lên BC là H ( x; y). Tính x + 2y?

A. 0    B. - 1    C. 2    D. 3

Lời giải:

Đáp án: A

+ Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .

+ Do H là hình chiếu của A lên BC

⇒ AH vuông góc BC (2).

Từ(1) và ( 2) suy ra: AH vuông góc IJ

+ Lập phương trình AH:

⇒ ( AH): - 3( x - 1) – 1( y - 3) = 0 hay 3x + y - 6 = 0.

+ Phương trình IJ:

⇒ Phương trình IJ: 1( x - 2) – 3( y - 1) = 0 hay x - 3y + 1 = 0.

+ Gọi giao điểm của IJ và AH là M. Tọa độ điểm M là nghiệm hệ :

+ Lại có M là trung điểm AH ( vì MI // BH và I là trung điểm AB)

⇒ Tọa độ điểm H: ⇒ x + 2y = 0

Câu 4: Toạ độ hình chiếu của M(- 2; 1) trên đường thẳng ∆: 2x - y + 4 = 0 là:

A. ( ; - )    B. ( ; )    C. ( - ; )    D. (1; 0)

Lời giải:

Đáp án: C

+ Đường thẳng ∆ có 1 VTPT n→( 2; -1)

Gọi H( t; 2t + 4) là hình chiếu của M trên đường thẳng ∆ thì MH→( t + 2; 2t + 3)

⇒ Hai vecto MH→ và n→( 2; -1) cùng phương nên:

⇔ - t - 2 = 4t + 6 ⇔ t = -

⇒ Tọa độ điểm H( - ; )

Câu 5: Cho đường thẳng ∆: và điểm M(2; -3). Tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng ∆ là:

A. (4; -2)    B. (-0,8; -4,4)    C. (-2,2; 4)    D. (7; -4,4)

Lời giải:

Đáp án: B

Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.

Ta có: H thuộc ∆ nên H( -3 + t ; -2t) ⇒ MH→( t - 5 ; 3 - 2t)

Đường thẳng có vectơ chỉ phương là u→( 1; -2) .

Do H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ nên hai đường thẳng MH và ∆ vuông góc với nhau

⇒ MH→ . u→ = 0 ⇔ 1(t - 5) – 2( 3 - 2t) = 0

⇔ t - 5 - 6 + 4t = 0 ⇔ 5t = 11 ⇔ t = 2,2

⇒ H (- 0,8; - 4,4)

Câu 6: Tìm hình chiếu của A( 1; 2) lên đường thẳng d: x - 3y + 6 = 0

A. H( 1; 2)    B. H( ; )    C. H( ; )    D. H( ; )

Lời giải:

Đáp án: B

+ Lấy điểm H(3t - 6; t) thuộc d.

Ta có AH→( 3t - 7; t - 2)

Vectơ pháp tuyến của d là u→( 1; -3)

+Do H là hình chiếu của A trên d nên hai vecto AH→ và u→ cùng phương :

⇔ ⇔ - 3( 3t - 7) = 1(t - 2)

⇔ - 9t + 21 = t - 2 ⇔ t =

+ Với t = ta có H( ; )

Câu 7: Cho đường thẳng ∆: . Hoành độ hình chiếu của M(1; 2) trên ∆ gần nhất với số nào sau đây ?

A. -0,56    B. 0,32    C. 1,3    D. 0,85

Lời giải:

Đáp án: D

Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.

Ta có: H ∈ ∆ nên H( 2 - 3t; 1 + 2t) và MH→( 1 - 3t; 2t - 1 )

Đường thẳng ∆có vectơ chỉ phương là u→(3; - 2) .

Hai vecto MH→ và u→ vuông góc với nhau nên : MH→ . u→ = 0

⇔ 3( 1 - 3t) – 2( 2t - 1) = 0 ⇔ 3 - 9t - 4t + 2 = 0

⇔ t = 5/13

⇒ Hoành độ của điểm H là 2 - 3t = 11/13

Câu 8: Cho tam giác ABC có AB = 4; BC = 4√2 và góc B = 45⁰.Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Tìm mệnh đề đúng?

A. H nằm trong đoạn BC thỏa mãn: BH = 3HC

B. AH = 2

C. BH = 2.

D. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Lời giải:

Đáp án: D

+ Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có:

AC² = AB² + BC² – 2.AC.BC.CosB

= 4² + (4√2)² - 2.4.4√2.cos45⁰ = 16

⇒ AC = 4 nên AB = AC = 4 và AB² + AC² = BC²

⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.

+ AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến

⇒ H là trung điểm của BC: AH = BH = CH = BC/2 = 2√2

⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho điểm A(–3; –3) và đường thẳng (d): 2x + y + 4 = 0. Tìm hình chiếu của A lên đường thẳng d.

Hướng dẫn giải:

Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng (d) .

+ Lập phương trình đường thẳng AH:

AH đi qua điểm A(–3; –3) và nhận VTCP (2; 1) nên có VTPT là (1; –2).

⇒Phương trình AH: (x + 3) – 2(y + 3) = 0 hay x – 2y – 3 = 0

+ Hai đường thẳng AH và d cắt nhau tại H nên tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}2x+y+4=0\\ x-2y-3=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-2\end{array}\right.\right.$

Vậy tọa độ hình chiếu của A lên d là H(–1; –2).

Bài 2. Cho tam giác ABC có A(–7; 10). Gọi I(–4; 2) là trung điểm của AB và J(–2; 1) là trung điểm của AC. Gọi hình chiếu của điểm A lên BC là H. Viết phương trình đường thẳng AH?.

Hướng dẫn giải:

+ Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ // BC ( 1) .

+ Do H là hình chiếu của A lên BC

⇒ AH vuông góc BC (2).

Từ(1) và ( 2) suy ra: AH vuông góc IJ

+ Lập phương trình AH: 

AH đi qua điểm A(–7; 10) và nhận VTPT $\overrightarrow{IJ}(-6;-1)$.

⇒ ( AH): –6(x + 7) – (y – 10) = 0 hay –6x – y – 32 = 0.

Bài 3. Tìm toạ độ hình chiếu của M(–2; –10) trên đường thẳng ∆: x + 9y + 7 = 0.

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng ∆ có  VTPT là $\overrightarrow{n}$(7; 9)

Gọi H(–9t –7; t) là hình chiếu của M trên đường thẳng ∆ thì $\overrightarrow{MH}=(-9t-9;t+10)$

Suy ra $\overrightarrow{MH}=(-9t-9;t+10)$ và $\overrightarrow{n}$(7; 9) cùng phương nên:

$\frac{-9t-9}{7}=\frac{t+10}{9}\iff t=\frac{-151}{88}$

Do đó $H\left(\frac{743}{88};\frac{729}{88}\right)$.

Bài 4. Cho đường thẳng ∆: $\left\{\begin{array}{l}x=-6+t\\ y=10-10t\end{array}\right.$ và điểm M(6; 5) . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng ∆.

Hướng dẫn giải:

Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.

Ta có: H ∈ ∆ ⇒ H(–6 + t; 10 – 10t), $\overrightarrow{MH}(-12+t;5-10t)$.

Đường thẳng có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}(1;-10)$.

Do H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ nên hai đường thẳng MH và ∆ vuông góc với nhau

$\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{u}$ = 0  hay (–12 + t) – 10(5 – 10t) = 0

Suy ra $t=\frac{62}{101}$

Do đó $H\left(\frac{-544}{101};\frac{390}{101}\right)$.

Bài 5. Tìm hình chiếu của A( 3;–4) lên đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=-3+6t\\ y=7-9t\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.

Ta có: H ∈ ∆ nên H(–3 + 6t; 7 – 9t), $\overrightarrow{AH}(-6+6t;11-9t)$.

Đường thẳng có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}(6;-9)$.

Do H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ nên hai đường thẳng AH và ∆ vuông góc với nhau

Suy ra $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u}$ = 0 nên 6(–6 + 6t) – 9(11 – 9t) = 0 hay $t=\frac{15}{13}$

Do đó $H\left(\frac{51}{13};\frac{-44}{13}\right)$.

Bài 6. Cho điểm A(–1; 7) và đường thẳng (d): 6x + 3y – 3 = 0. Tìm hình chiếu của A lên đường thẳng d.

Bài 7. Cho tam giác ABC có A(–7; –3). Gọi I(5; –4) là trung điểm của AB và J(–5; –9) là trung điểm của AC. Gọi hình chiếu của điểm A lên BC là H. Viết phương trình đường thẳng AH.

Bài 8. Tìm toạ độ hình chiếu của M(10; 4) trên đường thẳng ∆: x + 4y = 0..

Bài 9. Cho đường thẳng ∆: $\left\{\begin{array}{l}x=-7+3t\\ y=2+9t\end{array}\right.$và điểm M(–3; 5). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng ∆.

Bài 10. Tìm hình chiếu của A(6; 3) lên đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=6+9t\\ y=7+2t\end{array}\right.$

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng
• Tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
• Tìm điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
• Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua 1 điểm
• Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng
• Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---