Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng - Toán lớp 10



Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng

A. Phương pháp giải

Cho trước điểm A(x0; y0) và phương trình đường thẳng d: ax + by + c = 0 có VTPT
n( a; b). Tìm hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d:

+ Bước 1: Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng d.

+ Bước 2: Lập phương trình tổng quát của AH

AH: Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ phương trình AH: b(x - x0) - a(y - y0) = 0

+ Bước 3: AH và d cắt nhau tại H nên tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:

Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Từ hệ phương trình trên ta suy ra tọa độ điểm H.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm A( 1; 2) và đường thẳng (d): x + 2y - 3 = 0 .Tìm hình chiếu của A lên đường thẳng d.

A. ( 1; -2)    B. (- Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    C. ( Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    D. Đáp án khác

Lời giải

+ Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng (d) .

+ Lập phương trình đường thẳng AH:

(AH) : Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình ( AH) : 2(x - 1) – 1.( y - 2) = 0 hay 2x - y = 0

+ Hai đường thẳng AH và d cắt nhau tại H nên tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:

Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Chọn C.

Ví dụ 2: Cho điểm A( 2; 0) và đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Tìm hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d.

A. ( 2; -1)    B. (2; 0)    C. (1; -2)    D. (-2; -1)

Lời giải

Ta có: 2 + 0 - 2 = 0 nên điểm A thuộc đường thẳng d.

⇒ Hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d chính là điểm A.

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có A( 0; -2).Gọi I ( 2; 4) là trung điểm của AB và J( -4; 2) là trung điểm của AC. Gọi hình chiếu của điểm A lên BC là H. Viết phương trình đường thẳng AH?

A. 6x + 2y - 3 = 0    B. 6x + 2y + 4 =0    C. 2x - y + 1 = 0    D. Tất cả sai

Lời giải

+ Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .

+ Do H là hình chiếu của A lên BC

⇒ AH vuông góc BC (2).

Từ(1) và ( 2) suy ra: AH vuông góc IJ

+ Lập phương trình AH: Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ ( AH): 6(x - 0) + 2( y + 2) = 0 hay 6x + 2y + 4 = 0.

Chọn B.

Ví dụ 4: Toạ độ hình chiếu của M(4; 1) trên đường thẳng ∆: x - 2y + 4 = 0 là:

A. ( 14; -19)    B. ( 2; 3)    C. (Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    D. (- Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

Lời giải

+ Đường thẳng ∆ có 1 VTPT n(1; -2)

Gọi H( 2t - 4; t) là hình chiếu của M trên đường thẳng ∆ thì MH(2t - 8; t - 1)

⇒ Hai vecto MHn(2; -3) cùng phương nên:

Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ H(Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho đường thẳng ∆: Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án và điểm M(3; 3) . Tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng ∆ là:

A. (4; -2)    B. (1; 0)    C. (-2; 2)    D. (7; -4)

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.

Ta có: H ∈ ∆ ⇒ H(1 + 3t; - 2t), MH = (- 2 + 3t; - 3 - 2t)

Đường thẳng có vectơ chỉ phương là u( 3; -2) .

Do H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ nên hai đường thẳng MH và ∆ vuông góc với nhau

MH.u = 0 ⇔ 3( -2 + 3t ) – 2( -3 - 2t) = 0

⇔ -6 + 9t + 6 + 4t = 0 ⇔ 13t = 0 ⇔ t = 0

⇒ H ( 1; 0)

Chọn B.

Ví dụ 6: Tìm hình chiếu của A( 3;-4) lên đường thẳng d: Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

A. ( 1; 2)    B. (4; -2)    C. ( -1; 2)    D. ( -1; -3)

Lời giải

+ Lấy điểm H(2 + 2t; -1 - t) thuộc d.

Ta có AH = (2t - 1; -t + 3)

Vectơ chỉ phương của d là u( 2; -1)

+Do H là hình chiếu của A trên d

⇔ AH ⊥ d ⇔ u.AH = 0 ⇔ 2(2t - 1) - (- t + 3) = 0 ⇔ t = 1

+ Với t = 1 ta có H( 4; -2)

Vậy hình chiếu của A trên d là H( 4; -2).

Chọn B.

Ví dụ 7: Cho đường thẳng ∆: Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án . Hoành độ hình chiếu của M( 4; 5) trên ∆ gần nhất với số nào sau đây ?

A. 1,1    B. 1,2    C. 1,3    D. 1,5

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.

Ta có: H ∈ ∆ nên H( 2 - 3t; 1 + 2t) và MH( -2 - 3t; -4 + 2t)

Đường thẳng ∆có vectơ chỉ phương là u(3; - 2) .

uMHu.MH = 0 ⇔ 3(-2 - 3t) - 2(-4 + 2t) = 0 ⇔ -13t + 2 = 0 ⇔ t = Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án
⇒ H(Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

⇒ Hoành độ của điểm H là Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án .

Chọn D.

Ví dụ 8: Cho tam giác BAC có AB = 3; BC = 3√3 và góc B = 300.Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Tìm mệnh đề đúng?

A. H nằm trong đoạn BC thỏa mãn: BH = 2 HC

B. AH = Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án .

C. BH = 2.

D. Tất cả sai

Lời giải

+ Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có:

AC2 = AB2 + BC2 – 2.AC.BC.Cos B

= 32 + (3√3 )2 - 2.3.3√3.cos300 = 9

⇒ AC = 3 nên AB = AC = 3

⇒ Tam giác BAC cân tại A.

+ AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến

⇒ H là trung điểm của BC: BH = CH = Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

+ Xét tam giác vuông AHB có: AH = AB.sinB = 3.sin300 = 1,5.

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho điểm A( -1; 2) và đường thẳng ∆: Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án . Tìm điểm M trên ∆ sao cho AM ngắn nhất.

A. ( 1; -3)    B. ( 1; 3)    C. (0; 5)    D. (4; 0)

Đáp án: C

Trả lời:

Lấy điểm M ( t - 2; - t - 3) thuộc ∆

⇒ AM = Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Ta có: ( t + 2)2 ≥ 0 với mọi t nên 2( t + 2)2 + 18 ≥ 18

⇒ AM = Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ AM ngắn nhất là √18 khi và chỉ khi : t + 2 = 0 hay t = 2.

Khi đó tọa độ điểm M( 0 ; 5) .

Câu 2: Toạ độ hình chiếu của M(4; 1) trên đường thẳng d: x - 2y + 4 = 0 là:

A. (Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    B. (Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    C. (Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    D. (Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

Đáp án: C

Trả lời:

Đường thẳng d có 1 VTPT n(1; -2).

Gọi H( 2t - 4; t) là hình chiếu của M( 4; 1) trên đường thẳng d thì MH(2t – 8; t - 1)

n(1; -2) cùng phương khi và chỉ khi

Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án → H(Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ).

Câu 3: Cho tam giác ABC có A(1; 3).Gọi I(2; 1) là trung điểm của AB và J( -1; 0) là trung điểm của AC. Gọi hình chiếu của điểm A lên BC là H ( x; y). Tính x + 2y?

A. 0    B. - 1    C. 2    D. 3

Đáp án: A

Trả lời:

+ Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .

+ Do H là hình chiếu của A lên BC

⇒ AH vuông góc BC (2).

Từ(1) và ( 2) suy ra: AH vuông góc IJ

+ Lập phương trình AH: Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ ( AH): - 3( x - 1) – 1( y - 3) = 0 hay 3x + y - 6 = 0.

+ Phương trình IJ: Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình IJ: 1( x - 2) – 3( y - 1) = 0 hay x - 3y + 1 = 0.

+ Gọi giao điểm của IJ và AH là M. Tọa độ điểm M là nghiệm hệ :

Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

+ Lại có M là trung điểm AH ( vì MI // BH và I là trung điểm AB)

⇒ Tọa độ điểm H: Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ x + 2y = 0

Câu 4: Toạ độ hình chiếu của M(- 2; 1) trên đường thẳng ∆: 2x - y + 4 = 0 là:

A. ( Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; - Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    B. ( Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    C. ( - Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    D. (1; 0)

Đáp án: C

Trả lời:

+ Đường thẳng ∆ có 1 VTPT n( 2; -1)

Gọi H( t; 2t + 4) là hình chiếu của M trên đường thẳng ∆ thì MH( t + 2; 2t + 3)

⇒ Hai vecto MHn( 2; -1) cùng phương nên:

Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ - t - 2 = 4t + 6 ⇔ t = - Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Tọa độ điểm H( - Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

Câu 5: Cho đường thẳng ∆: Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án và điểm M(2; -3). Tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng ∆ là:

A. (4; -2)    B. (-0,8; -4,4)    C. (-2,2; 4)    D. (7; -4,4)

Đáp án: B

Trả lời:

Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.

Ta có: H thuộc ∆ nên H( -3 + t ; -2t) ⇒ MH( t - 5 ; 3 - 2t)

Đường thẳng có vectơ chỉ phương là u( 1; -2) .

Do H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ nên hai đường thẳng MH và ∆ vuông góc với nhau

MH . u = 0 ⇔ 1(t - 5) – 2( 3 - 2t) = 0

⇔ t - 5 - 6 + 4t = 0 ⇔ 5t = 11 ⇔ t = 2,2

⇒ H (- 0,8; - 4,4)

Câu 6: Tìm hình chiếu của A( 1; 2) lên đường thẳng d: x - 3y + 6 = 0

A. H( 1; 2)    B. H( Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    C. H( Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    D. H( Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

Đáp án: B

Trả lời:

+ Lấy điểm H(3t - 6; t) thuộc d.

Ta có AH( 3t - 7; t - 2)

Vectơ pháp tuyến của d là u( 1; -3)

+Do H là hình chiếu của A trên d nên hai vecto AHu cùng phương :

Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ - 3( 3t - 7) = 1(t - 2)

⇔ - 9t + 21 = t - 2 ⇔ t = Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

+ Với t = Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ta có H( Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

Câu 7: Cho đường thẳng ∆: Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án . Hoành độ hình chiếu của M(1; 2) trên ∆ gần nhất với số nào sau đây ?

A. -0,56    B. 0,32    C. 1,3    D. 0,85

Đáp án: D

Trả lời:

Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.

Ta có: H ∈ ∆ nên H( 2 - 3t; 1 + 2t) và MH( 1 - 3t; 2t - 1 )

Đường thẳng ∆có vectơ chỉ phương là u(3; - 2) .

Hai vecto MHu vuông góc với nhau nên : MH . u = 0

⇔ 3( 1 - 3t) – 2( 2t - 1) = 0 ⇔ 3 - 9t - 4t + 2 = 0

⇔ t = 5/13

⇒ Hoành độ của điểm H là 2 - 3t = 11/13

Câu 8: Cho tam giác ABC có AB = 4; BC = 4√2 và góc B = 450.Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Tìm mệnh đề đúng?

A. H nằm trong đoạn BC thỏa mãn: BH = 3HC

B. AH = 2

C. BH = 2.

D. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Đáp án: D

Trả lời:

+ Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có:

AC2 = AB2 + BC2 – 2.AC.BC.CosB

= 42 + (4√2)2 - 2.4.4√2.cos450 = 16

⇒ AC = 4 nên AB = AC = 4 và AB2 + AC2 = BC2

⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.

+ AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến

⇒ H là trung điểm của BC: AH = BH = CH = BC/2 = 2√2

⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp