Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng



Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng

A. Phương pháp giải

Quảng cáo
2005 - Toán Lý Hóa

Để giải các bài toán cực trị liên quan tới đường thẳng ta sử dụng các phương pháp:

+ Sử dụng bất đẳng thức tam giác; bất đẳng thức Cosi.

+ Biểu thức : A2 + b ≥ b và -A2 + b ≤ b

+ Tính chất y = ax2 + bx + c

    - Nếu a > 0 hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10

    - Nếu a < 0 thì hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tồn tại điểm M(x;y) trên đường thẳng d: Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 sao cho x2 + y2 nhỏ nhất. Tính 2x - y?

A. – 1    B. 0    C. 1    D. 2

Lời giải

+ Điểm M thuộc d nên tọa độ M(1 - 2t; 1 + t).

⇒ x2 + y2 = (1 - 2t)2 + (1 + t)2 = 1 - 4t + 4t2 + 1 + 2t + t2

= 5t2 - 2t + 2

+ Biểu thức f(t) = 5t2 - 2t + 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi t = Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10

Vậy x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất là Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 khi t = Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 . Khi đó tọa độ điểm M( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 )

⇒ 2x - y = 0

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ 2: Tìm trên trục hoành điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P đến các điểm
A( 1; 1) và B( 2; - 4) nhỏ nhất?

A. P( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; 0)    B. P( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; 0)    C. P( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; 0)    D. P( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; 0)

Lời giải

+ Nhận xét: A và B nằm khác phía so với Ox.

+ Phương trình AB: Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10

⇒ Phương trình AB: 5(x - 1) + 1(y - 1) = 0 hay 5x + y - 6 = 0.

+ Gọi H là giao điểm của AB và trục Ox. Tọa độ H là nghiệm hệ:

Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ⇒ H(Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; 0)

+ Với ba điểm A; P và B bất kì ta có: PA + PB ≥ AB

⇒ (PA + PB)min khi và chỉ khi 3 điểm A; P và B thẳng hàng

⇒ P ≡ H

Chọn A.

Ví dụ 3: Tìm trên trục hoành điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P đến A(1 ; 1) và
B(3 ; 3) là nhỏ nhất?

A. P( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; 0)    B. P( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; 0)    C. P( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; 0)    D. P( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; 0)

Lời giải

+ Nhận xét : Hai điểm A và B nằm cùng phía so với trục Ox.

+ Gọi A1 đối xứng với A qua trục Ox. Suy ra A1 (1; -1)

+ Phương trình A1B: Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10

⇒ Phương trình A1B: 2(x - 1) – 1(y + 1) = 0 hay 2x - y - 3 = 0.

+ Gọi H là giao điểm của A1B và Ox nên tọa độ H là nghiệm hệ:

Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ⇒ H( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; 0)

+ ta có: PA + PB = PA1 + PB ≥ AB

⇒ PA + PBmin ⇔ A1; P; B thẳng hàng

⇔ P ≡ H.

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ 4: Cho điểm M( 4; 1). Một đường thẳng d đi qua M cắt Ox; Oy theo thứ tự tại
A( a; 0) và B( 0; b) với a;b > 0. Viết phương trình đường thẳng d sao cho diện tích tam giác OAB nhỏ nhất?

A. 5x + 4y + 8 = 0    B. 2x + 3y - 8 = 0    C. x + 4y - 8 = 0    D. x + 4y + 8 = 0

Lời giải

+ Đường thẳng d qua A(a;0) và B(0;b).

⇒ Phương trình đoạn chắn AB: Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 = 1

Vì M thuộc d nên : Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 = 1 (1)

+ ta có diện tích tam giác OAB là:

S = Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 OA.OB = Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ab (vì tam giác OAB vuông tại O).

+ Từ (1) suy ra: 1 = Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ≥ 2.Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ( Bất đẳng thức Cosi)

⇔ ab ≥ 16 nên S ≥ 8

⇒ Smin = 8.

Dấu “=” đặt được khi: Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10

Khi đó phương trình đường thẳng (d) là x + 4y - 8 = 0

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho điểm M( 4; 1). Một đường thẳng d đi qua M cắt Ox; Oy theo thứ tự tại
A( a; 0) và B( 0; b) với a;b > 0. Viết phương trình đường thẳng d sao cho OA + OB nhỏ nhất?

A. x + 2y - 6 = 0    B. 2x + 3y - 8 = 0    C. x + 4y - 8 = 0    D. x + 4y +8 = 0

Lời giải

+ Đường thẳng d qua A( a; 0) và B( 0; b).

⇒ Phương trình đoạn chắn AB: Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 = 1

Vì M thuộc d nên : Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 = 1 (1)

+ Từ (1) suy ra: a = Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ⇒ điều kiện b > 1.

Khi đó: OA + OB = a + b= Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 + b = Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 + b + 4

= Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 + b - 1 + 5 ≥ 2.Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 + 5 = 9 ( bất đẳng thức cosi)

⇒ (OA+ OB)min = 9. Dấu “=” đạt được khi Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 = b - 1 = 2 nên a = 6 và b = 3

Khi đó phương trình đường thẳng d: x + 2y - 6 = 0.

Chọn A.

Ví dụ 6: Cho điểm M( 4; 1). Một đường thẳng d đi qua M cắt Ox; Oy theo thứ tự tại
A(a ; 0) và B( 0; b) với a; b > 0. Viết phương trình đường thẳng d sao cho Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 nhỏ nhất?

A. 5x + 2y - 6 = 0    B. 2x + 3y - 8 = 0    C. x + 4y - 8 = 0    D. 4x + 2y - 17 = 0

Lời giải

+ Đường thẳng d qua A( a; 0) và B( 0; b).

⇒ Phương trình đoạn chắn AB: Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 = 1

Vì M thuộc d nên : Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 = 1 (1)

+ Áp dụng bất đẳng thức bunhia scopki (ax + by)2 ≤ (a2 + b2).(x2 + y2).

⇒ 1 = (Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 )2 ≤ (42 + 12).Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10

Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10

Vậy Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 nhỏ nhất là Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; đạt được khi: Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10

Khi đó phương trình đường thẳng d là: 4x + 2y - 17 = 0

Chọn D.

Ví dụ 7: Cho điểm M(3; -2) và đường thẳng (d): 2x - y = 0. Tìm điểm A trên d sao khoảng cách AM là ngắn nhất?

A. A(Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; - Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ).    B. A( - Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ).    C. A( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ).    D. Tất cả sai

Lời giải

+ Điểm A thuộc d nên A( t; 2t) .

+ Để khoảng cách AM ngắn nhất thì A là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d.

⇒ Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AM.

+ Đường thẳng AM: Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10

⇒ Phương trình AM: 1(x - 3) + 2( y + 2) = 0 hay x + 2y + 1 = 0

+ Đường thẳng AM và d cắt nhau tại A nên tọa độ A là nghiệm hệ:

Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ⇒ A( - Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ).

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm trên đường thẳng d: Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 điểm M( x; y) sao cho x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất?

A. M( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; - Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 )    B. M( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; - Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 )    C. M( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 )    D. Đáp án khác

Đáp án: A

Trả lời:

+ Điểm M(1 + 2t; 1 + 3t) thuộc d.

⇒ x2 + y2 = (1 + 2t)2 + (1 + 3t)2

= 1 + 4t + 4t2 + 1 + 6t + 9t2 = 13t2 + 10t + 2.

+ Biểu thức f(t) = 13t2 + 10t + 2 đạt giá trị nhỏ nhất tại t = Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 = Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10

⇒( x2 + y2)min = Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 đạt được khi t = Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10

⇒ Tọa độ điểm M( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; - Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 )

Câu 2: Tìm trên trục hoành điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P đến các điểm A(2;3) và B(1; -2) nhỏ nhất?

A. P( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; 0)    B. P( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; 0)    C. P( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; 0)    D. P( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; 0)

Đáp án: C

Trả lời:

+ Nhận xét: A và B nằm khác phía so với Ox.

+ Phương trình AB: Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10

⇒ Phương trình AB: 5(x - 2) - 1(y - 3) = 0 hay 5x – y - 7 = 0.

+ Gọi H là giao điểm của AB và trục Ox. Tọa độ H là nghiệm hệ:

Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ⇒ H(Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; 0)

+ Với ba điểm A; P và B bất kì ta có: PA + PB ≥ AB

⇒ (PA + PB)min khi và chỉ khi 3 điểm A; P và B thẳng hàng

⇒ P ≡ H

Câu 3: Tìm trên trục hoành điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P đến A(3; 1) và B(1; 4) là nhỏ nhất?

A. P( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; 0)    B. P( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; 0)    C. P( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; 0)    D. P( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; 0)

Đáp án: C

Trả lời:

+ Nhận xét : Hai điểm A và B nằm cùng phía so với trục Ox.

+ Gọi A1 đối xứng với A qua trục Ox. Suy ra A1 (3; -1)

+ Phương trình A1B: Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10

⇒ Phương trình A1B: 5(x - 3) + 2(y + 1) = 0 hay 5x + 2y - 13 = 0.

+ Gọi H là giao điểm của A1B và Ox nên tọa độ H là nghiệm hệ:

Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ⇒ H( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; 0)

+ ta có: PA + PB = PA1 + PB ≥ AB

⇒ PA + PBmin ⇔ A1; P; B thẳng hàng

⇔ P ≡ H.

Câu 4: Cho điểm M(1; 16). Một đường thẳng d đi qua M cắt Ox; Oy theo thứ tự tại
A(a; 0) và B(0; b) với a;b > 0. Viết phương trình đường thẳng d sao cho diện tích tam giác OAB nhỏ nhất?

A. Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 = 1    B. 2x + 3y - 8 = 0    C. Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 = 1    D. x + 4y + 8 = 0

Đáp án: C

Trả lời:

+ Đường thẳng d qua A(a; 0) và B(0; b).

⇒ Phương trình đoạn chắn AB: Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 = 1

Vì M thuộc d nên : Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 = 1 (1)

+ ta có diện tích tam giác OAB là:

S = Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 OA.OB = Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ab (vì tam giác OAB vuông tại O).

+ Từ (1) suy ra: 1 = Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ≥ 2.Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ( Bất đẳng thức Cosi)

⇔ ab ≥ 64 nên S ≥ 32

⇒ Smin = 32.

Dấu “=” đặt được khi: Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10

Khi đó phương trình đường thẳng (d) là Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 = 1

Câu 5: Cho điểm M(16;1). Một đường thẳng d đi qua M cắt Ox; Oy theo thứ tự tại
A(a; 0) và B(0; b) với a;b > 0. Viết phương trình đường thẳng d sao cho OA + OB nhỏ nhất?

A. x + 4y - 20 = 0    B. 2x + 3y - 8 = 0    C. x + 4y - 8 = 0    D. x + 4y +8 = 0

Đáp án: A

Trả lời:

+ Đường thẳng d qua A(a; 0) và B(0; b).

⇒ Phương trình đoạn chắn AB: Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 = 1

Vì M thuộc d nên : Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 = 1 (1)

+ Từ (1) suy ra: a = Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ⇒ điều kiện b > 1.

Khi đó: OA + OB = a + b = Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 + b = Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 + b + 16

= Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 + b - 1 + 17 ≥ 2.Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 + 17 = 25 ( bất đẳng thức cosi)

⇒ (OA + OB)min = 25. Dấu “=” đạt được khi Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 = b - 1 nên a = 20 và b = 5

Khi đó phương trình đường thẳng d: Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 = 1 hay x + 4y - 20 = 0

Câu 6: Cho điểm M( 1; 1). Một đường thẳng d đi qua M cắt Ox; Oy theo thứ tự tại
A(a; 0) và B(0; b) với a;b > 0. Viết phương trình đường thẳng d sao cho Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 nhỏ nhất?

A. 5x + 2y - 6 = 0    B. 2x + 3y - 8 = 0    C. x + 4y - 8 = 0    D. x + y - 2 = 0

Đáp án: D

Trả lời:

+ Đường thẳng d qua A(a; 0) và B(0; b).

⇒ Phương trình đoạn chắn AB: Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 = 1

Vì M thuộc d nên : Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 = 1 (1)

+ Áp dụng bất đẳng thức bunhia scopki (ax + by)2 ≤ (a2 + b2).(x2 + y2).

⇒ 1 = (Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 )2 ≤ (12 + 12).Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10

Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10

Vậy Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 nhỏ nhất là Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; đạt được khi: Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10

Khi đó; phương trình đường thẳng d là: x + y - 2 = 0

Câu 7: Cho điểm M(2; -1) và đường thẳng (d): x + 2y - 3 = 0. Tìm điểm A trên d sao khoảng cách AM là ngắn nhất?

A. A( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; - Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ).    B. A( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ).    C. A( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ).    D. Tất cả sai

Đáp án: B

Trả lời:

+ Điểm A thuộc d nên A(3 - 2t; t) .

+ Để khoảng cách AM ngắn nhất thì A là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d.

⇒ Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AM.

+ Đường thẳng AM: Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10

⇒ Phương trình AM: 2(x - 2) - 1(y + 1) = 0 hay 2x - y - 5 = 0.

+ Đường thẳng AM và d cắt nhau tại A nên tọa độ A là nghiệm hệ:

Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ⇒ A( Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ).

Câu 8: Cho ba điểm A( -6 ; 3) ; B(0 ; -1) và C( 3 ; 2). Điểm M trên đường thẳng
d: 2x - y + 3 = 0 mà | MA + MB + MC| nhỏ nhất là:

A. M(Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 )    B. M(Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 )    C. M(Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 )    D. M( - Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 )

Đáp án: D

Trả lời:

M(x; y) ∈ D => M(x; 2x + 3). Suy ra: MA = ( - x - 6; - 2x), MB = ( - x; - 2x - 4),
MC = ( - x + 3; - 2x - 1).

Do đó: MA + MB + MC = ( -3x - 3; -6x - 5)

| MA + MB + MC| = Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10

| MA + MB + MC| nhỏ nhất ⇔ f(x) = 45x2 + 78x + 34 nhỏ nhất ⇔ Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10

Ghi chú. Giải cách khác: MA + MB + MC = 3MG nên:

| MA + MB + MC| nhỏ nhất ⇔ MG nhỏ nhất.

Mà G(-1; Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ), M(x; 2x + 3) nên ta có:

|MG| = MG = Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 nhỏ nhất ⇒ x = - Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ⇒ y = Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ⇒ M( - Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 ; Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng - Toán lớp 10 )

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

GIẢM GIÁ 75% KHÓA HỌC VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 199K cho teen 2k5 tại khoahoc.vietjack.com

Toán lớp 10 - Thầy Phạm Như Toàn

4.5 (243)

799,000đs

250,000 VNĐ

Vật Lý 10 - Thầy Quách Duy Trường

4.5 (243)

799,000đ

250,000 VNĐ

Tiếng Anh lớp 10 - Thầy Quang Hưng

4.5 (243)

799,000đ

250,000 VNĐ

Hóa Học lớp 10 - Cô Nguyễn Thị Thu

4.5 (243)

799,000đs

250,000 VNĐ

Hóa học lớp 10 - cô Trần Thanh Thủy

4.5 (243)

799,000đ

250,000 VNĐ

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp


2005 - Toán Lý Hóa