Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng
Bài viết Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng.
Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng
A. Phương pháp giải
Để giải các bài toán cực trị liên quan tới đường thẳng ta sử dụng các phương pháp:
+ Sử dụng bất đẳng thức tam giác; bất đẳng thức Cosi.
+ Biểu thức : A2 + b ≥ b và -A2 + b ≤ b
+ Tính chất y = ax2 + bx + c
- Nếu a > 0 hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 
- Nếu a < 0 thì hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x =
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tồn tại điểm M(x;y) trên đường thẳng d: 
sao cho x2 + y2 nhỏ nhất.
Tính 2x - y?
A. – 1 B. 0 C. 1 D. 2
Lời giải
+ Điểm M thuộc d nên tọa độ M(1 - 2t; 1 + t).
⇒ x2 + y2 = (1 - 2t)2 + (1 + t)2 = 1 - 4t + 4t2 + 1 + 2t + t2
= 5t2 - 2t + 2
+ Biểu thức f(t) = 5t2 - 2t + 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi t =
Vậy x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất là 
khi t = 
. Khi đó tọa độ điểm M( 
; 
)
⇒ 2x - y = 0
Chọn B.
Ví dụ 2: Tìm trên trục hoành điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P đến các điểm
A( 1; 1) và B( 2; - 4) nhỏ nhất?
A. P(
; 0)
B. P( 
; 0)
C. P( 
; 0)
D. P( 
; 0)
Lời giải
+ Nhận xét: A và B nằm khác phía so với Ox.
+ Phương trình AB: 
⇒ Phương trình AB: 5(x - 1) + 1(y - 1) = 0 hay 5x + y - 6 = 0.
+ Gọi H là giao điểm của AB và trục Ox. Tọa độ H là nghiệm hệ:
⇒ H(
; 0)
+ Với ba điểm A; P và B bất kì ta có: PA + PB ≥ AB
⇒ (PA + PB)min khi và chỉ khi 3 điểm A; P và B thẳng hàng
⇒ P ≡ H
Chọn A.
Ví dụ 3: Tìm trên trục hoành điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P đến A(1 ; 1) và
B(3 ; 3) là nhỏ nhất?
A. P( 
; 0)
B. P( 
; 0)
C. P(
; 0)
D. P( 
; 0)
Lời giải
+ Nhận xét : Hai điểm A và B nằm cùng phía so với trục Ox.
+ Gọi A1 đối xứng với A qua trục Ox. Suy ra A1 (1; -1)
+ Phương trình A1B: 
⇒ Phương trình A1B: 2(x - 1) – 1(y + 1) = 0 hay 2x - y - 3 = 0.
+ Gọi H là giao điểm của A1B và Ox nên tọa độ H là nghiệm hệ:
⇒ H(
; 0)
+ ta có: PA + PB = PA1 + PB ≥ AB
⇒ PA + PBmin ⇔ A1; P; B thẳng hàng
⇔ P ≡ H.
Chọn B.
Ví dụ 4: Cho điểm M( 4; 1). Một đường thẳng d đi qua M cắt Ox; Oy theo thứ tự tại
A( a; 0)
và B( 0; b) với a;b > 0. Viết phương trình đường thẳng d sao cho diện tích tam giác OAB nhỏ nhất?
A. 5x + 4y + 8 = 0 B. 2x + 3y - 8 = 0 C. x + 4y - 8 = 0 D. x + 4y + 8 = 0
Lời giải
+ Đường thẳng d qua A(a;0) và B(0;b).
⇒ Phương trình đoạn chắn AB: 
= 1
Vì M thuộc d nên : 
= 1 (1)
+ ta có diện tích tam giác OAB là:
S = 
OA.OB =
ab (vì tam giác OAB vuông tại O).
+ Từ (1) suy ra: 1 =
≥ 2.
( Bất đẳng thức Cosi)
⇔ ab ≥ 16 nên S ≥ 8
⇒ Smin = 8.
Dấu “=” đặt được khi: 
Khi đó phương trình đường thẳng (d) là x + 4y - 8 = 0
Chọn C.
Ví dụ 5: Cho điểm M( 4; 1). Một đường thẳng d đi qua M cắt Ox; Oy theo thứ tự tại
A( a; 0) và
B( 0; b) với a;b > 0. Viết phương trình đường thẳng d sao cho OA + OB nhỏ nhất?
A. x + 2y - 6 = 0 B. 2x + 3y - 8 = 0 C. x + 4y - 8 = 0 D. x + 4y +8 = 0
Lời giải
+ Đường thẳng d qua A( a; 0) và B( 0; b).
⇒ Phương trình đoạn chắn AB:
= 1
Vì M thuộc d nên :
= 1 (1)
+ Từ (1) suy ra: a = 
⇒ điều kiện b > 1.
Khi đó: OA + OB = a + b=
+ b = 
+ b + 4
=
+ b - 1 + 5 ≥ 2.
+ 5 = 9 ( bất đẳng thức cosi)
⇒ (OA+ OB)min = 9. Dấu “=” đạt được khi
= b - 1 = 2 nên a = 6 và b = 3
Khi đó phương trình đường thẳng d: x + 2y - 6 = 0.
Chọn A.
Ví dụ 6: Cho điểm M( 4; 1). Một đường thẳng d đi qua M cắt Ox; Oy theo thứ tự tại
A(a ; 0) và B( 0; b) với a; b > 0. Viết phương trình đường thẳng d sao cho
nhỏ nhất?
A. 5x + 2y - 6 = 0 B. 2x + 3y - 8 = 0 C. x + 4y - 8 = 0 D. 4x + 2y - 17 = 0
Lời giải
+ Đường thẳng d qua A( a; 0) và B( 0; b).
⇒ Phương trình đoạn chắn AB:
= 1
Vì M thuộc d nên :
= 1 (1)
+ Áp dụng bất đẳng thức bunhia scopki (ax + by)2 ≤ (a2 + b2).(x2 + y2).
⇒ 1 = (
)2 ≤ (42 + 12).
⇒
≥ 
Vậy
nhỏ nhất là
; đạt được khi: 
Khi đó phương trình đường thẳng d là: 4x + 2y - 17 = 0
Chọn D.
Ví dụ 7: Cho điểm M(3; -2) và đường thẳng (d): 2x - y = 0. Tìm điểm A trên d sao khoảng cách AM là ngắn nhất?
A. A(
; -
).
B. A( -
; 
).
C. A(
;
).
D. Tất cả sai
Lời giải
+ Điểm A thuộc d nên A( t; 2t) .
+ Để khoảng cách AM ngắn nhất thì A là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d.
⇒ Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AM.
+ Đường thẳng AM: 
⇒ Phương trình AM: 1(x - 3) + 2( y + 2) = 0 hay x + 2y + 1 = 0
+ Đường thẳng AM và d cắt nhau tại A nên tọa độ A là nghiệm hệ:
⇒ A( -
;
).
Chọn B.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Tìm trên đường thẳng d: 
điểm M( x; y) sao cho x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất?
A. M( 
; - 
)
B. M( 
; - 
)
C. M(
;
)
D. Đáp án khác
Lời giải:
Đáp án: A
+ Điểm M(1 + 2t; 1 + 3t) thuộc d.
⇒ x2 + y2 = (1 + 2t)2 + (1 + 3t)2
= 1 + 4t + 4t2 + 1 + 6t + 9t2 = 13t2 + 10t + 2.
+ Biểu thức f(t) = 13t2 + 10t + 2 đạt giá trị nhỏ nhất tại t =
= 
⇒( x2 + y2)min = 
đạt được khi t =
⇒ Tọa độ điểm M(
; -
)
Câu 2: Tìm trên trục hoành điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P đến các điểm A(2;3) và B(1; -2) nhỏ nhất?
A. P(
; 0)
B. P(
; 0)
C. P( 
; 0)
D. P(
; 0)
Lời giải:
Đáp án: C
+ Nhận xét: A và B nằm khác phía so với Ox.
+ Phương trình AB: 
⇒ Phương trình AB: 5(x - 2) - 1(y - 3) = 0 hay 5x – y - 7 = 0.
+ Gọi H là giao điểm của AB và trục Ox. Tọa độ H là nghiệm hệ:
⇒ H(
; 0)
+ Với ba điểm A; P và B bất kì ta có: PA + PB ≥ AB
⇒ (PA + PB)min khi và chỉ khi 3 điểm A; P và B thẳng hàng
⇒ P ≡ H
Câu 3: Tìm trên trục hoành điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P đến A(3; 1) và B(1; 4) là nhỏ nhất?
A. P(
; 0)
B. P(
; 0)
C. P(
; 0)
D. P(
; 0)
Lời giải:
Đáp án: C
+ Nhận xét : Hai điểm A và B nằm cùng phía so với trục Ox.
+ Gọi A1 đối xứng với A qua trục Ox. Suy ra A1 (3; -1)
+ Phương trình A1B: 
⇒ Phương trình A1B: 5(x - 3) + 2(y + 1) = 0 hay 5x + 2y - 13 = 0.
+ Gọi H là giao điểm của A1B và Ox nên tọa độ H là nghiệm hệ:
⇒ H(
; 0)
+ ta có: PA + PB = PA1 + PB ≥ AB
⇒ PA + PBmin ⇔ A1; P; B thẳng hàng
⇔ P ≡ H.
Câu 4: Cho điểm M(1; 16). Một đường thẳng d đi qua M cắt Ox; Oy theo thứ tự tại
A(a; 0) và
B(0; b) với a;b > 0. Viết phương trình đường thẳng d sao cho diện tích tam giác OAB nhỏ nhất?
A. 
= 1
B. 2x + 3y - 8 = 0
C. 
= 1
D. x + 4y + 8 = 0
Lời giải:
Đáp án: C
+ Đường thẳng d qua A(a; 0) và B(0; b).
⇒ Phương trình đoạn chắn AB:
= 1
Vì M thuộc d nên : 
= 1 (1)
+ ta có diện tích tam giác OAB là:
S =
OA.OB =
ab (vì tam giác OAB vuông tại O).
+ Từ (1) suy ra: 1 =
≥ 2.
( Bất đẳng thức Cosi)
⇔ ab ≥ 64 nên S ≥ 32
⇒ Smin = 32.
Dấu “=” đặt được khi: 
Khi đó phương trình đường thẳng (d) là
= 1
Câu 5: Cho điểm M(16;1). Một đường thẳng d đi qua M cắt Ox; Oy theo thứ tự tại
A(a; 0) và B(0; b)
với a;b > 0. Viết phương trình đường thẳng d sao cho OA + OB nhỏ nhất?
A. x + 4y - 20 = 0 B. 2x + 3y - 8 = 0 C. x + 4y - 8 = 0 D. x + 4y +8 = 0
Lời giải:
Đáp án: A
+ Đường thẳng d qua A(a; 0) và B(0; b).
⇒ Phương trình đoạn chắn AB:
= 1
Vì M thuộc d nên : 
= 1 (1)
+ Từ (1) suy ra: a = 
⇒ điều kiện b > 1.
Khi đó: OA + OB = a + b =
+ b = 
+ b + 16
=
+ b - 1 + 17 ≥ 2.
+ 17 = 25 ( bất đẳng thức cosi)
⇒ (OA + OB)min = 25. Dấu “=” đạt được khi
= b - 1 nên a = 20 và b = 5
Khi đó phương trình đường thẳng d: 
= 1 hay x + 4y - 20 = 0
Câu 6: Cho điểm M( 1; 1). Một đường thẳng d đi qua M cắt Ox; Oy theo thứ tự tại
A(a; 0) và B(0; b)
với a;b > 0. Viết phương trình đường thẳng d sao cho
nhỏ nhất?
A. 5x + 2y - 6 = 0 B. 2x + 3y - 8 = 0 C. x + 4y - 8 = 0 D. x + y - 2 = 0
Lời giải:
Đáp án: D
+ Đường thẳng d qua A(a; 0) và B(0; b).
⇒ Phương trình đoạn chắn AB:
= 1
Vì M thuộc d nên : 
= 1 (1)
+ Áp dụng bất đẳng thức bunhia scopki (ax + by)2 ≤ (a2 + b2).(x2 + y2).
⇒ 1 = (
)2 ≤ (12 + 12).
⇒
≥
Vậy
nhỏ nhất là
; đạt được khi: 
Khi đó; phương trình đường thẳng d là: x + y - 2 = 0
Câu 7: Cho điểm M(2; -1) và đường thẳng (d): x + 2y - 3 = 0. Tìm điểm A trên d sao khoảng cách AM là ngắn nhất?
A. A(
; -
).
B. A(
;
).
C. A(
;
).
D. Tất cả sai
Lời giải:
Đáp án: B
+ Điểm A thuộc d nên A(3 - 2t; t) .
+ Để khoảng cách AM ngắn nhất thì A là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d.
⇒ Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AM.
+ Đường thẳng AM: 
⇒ Phương trình AM: 2(x - 2) - 1(y + 1) = 0 hay 2x - y - 5 = 0.
+ Đường thẳng AM và d cắt nhau tại A nên tọa độ A là nghiệm hệ:
⇒ A(
;
).
Câu 8: Cho ba điểm A( -6 ; 3) ; B(0 ; -1) và C( 3 ; 2). Điểm M trên đường thẳng
d: 2x - y + 3 = 0
mà | MA→ + MB→ + MC→| nhỏ nhất là:
A. M(
; 
)
B. M(
; 
)
C. M(
; 
)
D. M( -
;
)
Lời giải:
Đáp án: D
M(x; y) ∈ D => M(x; 2x + 3). Suy ra: MA→ = ( - x - 6; - 2x), MB→ = ( - x; - 2x - 4),
MC→ = ( - x + 3; - 2x - 1).
Do đó: MA→ + MB→ + MC→ = ( -3x - 3; -6x - 5)
| MA→ + MB→ + MC→| = 
| MA→ + MB→ + MC→| nhỏ nhất ⇔ f(x) = 45x2 + 78x + 34 nhỏ nhất ⇔
Ghi chú. Giải cách khác: MA→ + MB→ + MC→ = 3MG→ nên:
| MA→ + MB→ + MC→| nhỏ nhất ⇔ MG→ nhỏ nhất.
Mà G(-1;
), M(x; 2x + 3) nên ta có:
|MG→| = MG = 
nhỏ nhất ⇒ x = -
⇒ y =
⇒ M( -
;
)
Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:
- Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng
- Tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua đường thẳng
- Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
- Tìm điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
- Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua 1 điểm
- Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
- Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10
Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official
Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 10 Global Success
- Giải Tiếng Anh 10 Friends Global
- Giải sgk Tiếng Anh 10 iLearn Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 10 Explore New Worlds
- Lớp 10 - Kết nối tri thức
- Soạn văn 10 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - KNTT
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - KNTT
- Giải sgk Toán 10 - KNTT
- Giải sgk Vật lí 10 - KNTT
- Giải sgk Hóa học 10 - KNTT
- Giải sgk Sinh học 10 - KNTT
- Giải sgk Địa lí 10 - KNTT
- Giải sgk Lịch sử 10 - KNTT
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - KNTT
- Giải sgk Tin học 10 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 10 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - KNTT
- Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 10 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - CTST
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - CTST
- Giải Toán 10 - CTST
- Giải sgk Vật lí 10 - CTST
- Giải sgk Hóa học 10 - CTST
- Giải sgk Sinh học 10 - CTST
- Giải sgk Địa lí 10 - CTST
- Giải sgk Lịch sử 10 - CTST
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - CTST
- Lớp 10 - Cánh diều
- Soạn văn 10 (hay nhất) - Cánh diều
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - Cánh diều
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - Cánh diều
- Giải sgk Toán 10 - Cánh diều
- Giải sgk Vật lí 10 - Cánh diều
- Giải sgk Hóa học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Sinh học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Địa lí 10 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch sử 10 - Cánh diều
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 10 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - Cánh diều
