Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước



Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

- Để viết được phương trình đường thẳng d cần xác định được hai yếu tố:

    + Một điểm A thuộc đường thẳng d.

    + Một VTPT hoặc một VTCP của đường thẳng.

- Hai đương thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia.

- Hai đường thẳng song song có cùng VTPT; VTCP.

- Nhớ đến các tính chất của hình vuông; hình chữ nhật ; hình thoi...đường trung bình của tam giác...

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có M ( 1; 3) ; N( 3; -1) và P( -1; 5) lần lượt là trung điểm của AB; BC; AC. Viết phương trình AB.

A. 2x + 3y - 1 = 0    B. 2x - 3y + 3 = 0    C. 3x + 2y - 9 = 0    D. 2x - 3y + 1 = 0

Lời giải

Do N và P lần lượt là trung điểm của BC và AC nên NP là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ NP// AB.

Đường thẳng AB: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10

⇒ Phương trình AB: 3( x - 1) + 2( y - 3) = 0 hay 3x + 2y – 9 = 0

Chọn C.

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD, biết A( -2; 1) và phương trình đường thẳng CD là 3x - 4y - 5 = 0. Phương trình tham số của đường thẳng AB là:

A. Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10    B. Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10    C. Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10    D. Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10

Lời giải

Vì ABCD là hình bình hành nên AB//CD.

Do đó đường thẳng AB: đi qua A (-2; 1) và nhận vtpt của CD là (3; -4) làm vtpt.

⇒ đường thẳng AB có vtcp (-4; -3) nên phương trình tham số của đường thẳng AB là

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ 3: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Phương trình các cạnh và đường cao của tam giác là: AB: 7x - y + 4 = 0, BH: 2x + y - 4 = 0 và AH: x - y - 2 = 0. Phương trình đường cao CH của tam giác ABC là:

A. 7x + y - 2 = 0    B. 7x - y = 0    C. x - 7y - 2 = 0    D. x + 7y - 2 = 0

Lời giải

+ Ta có BH và CH cắt nhau tại H nên tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình

Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 ⇒ H(2; 0)

+ Ta có H là trực tâm tam giác ABC nên CH vuông góc AB.

⇒ CH nhận VTPT của AB làm VTCP.

⇒ Đường thẳng CH : Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10

⇒ Phương trình đường thẳng CH :

1( x - 2) + 7( y - 0) = 0 hay x + 7y - 2 = 0

Chọn D

Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC biết trực tâm H(1; 1) và phương trình cạnh
AB: 5x - 2y + 6 = 0, phương trình cạnh AC: 4x + 7y - 21 = 0 . Phương trình cạnh BC là

A. 4x - 2y + 1 = 0    B. x - 2y + 14 = 0    C. x + 2y - 14 = 0    D. x - 2y - 14 = 0

Lời giải

+ Ta có AB và AC cắt nhau tại A nên tọa độ điểm A là nghiệm hệ :

Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 ⇒ A( 0; 3)

+ Do BH vuông góc AC nên đường thẳng BH nhận nAC( 4;7) làm VTCP

⇒ một VTPT của AC: ( 7; -4) .

Đường thẳng BH: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10

⇒ Phương trình BH: 7( x - 1) – 4( y - 1) = 0 hay 7x - 4y - 3 = 0

+ Do AB và BH cắt nhau tại B nên tọa độ B là nghiệm hệ:

Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10

+ Phương trình ( BC) : Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10

Suy ra (BC): (x + 5) - 2(y + Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 ) = 0 ⇔ x - 2y - 14 = 0

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 5 : Cho tam giác ABC có A(4; -2). Đường cao BH: 2x + y - 4 = 0 và đường cao CK: x - y - 3 = 0. Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A.

A. 4x + 5y - 6 = 0    B. 4x - 5y - 26 = 0    C. 4x + 3y - 10 = 0    D. 4x - 3y - 22 = 0

Lời giải

Gọi AI là đường cao kẻ từ đỉnh A.

Gọi H1 là trực tâm của tam giác ABC, khi đó tọa độ điểm H1 thỏa mãn hệ phương trình

Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10

+ Đường cao AI qua H1(Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 ; - Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 ) và nhận n = (4; 5) làm VTPT

⇒ AI: 4(x - Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 ) + 5(y + Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 ) = 0 ⇔ 4x + 5y - 6 = 0

Chọn A.

Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD có phương trình các cạnh AB : x + 3y - 4 = 0 và AC: 2x - 3y + 1 = 0. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I( 2; -3). Viết phương trình cạnh CD?

A. x + 3y + 18 = 0    B. x + 3y - 17 = 0    C. x + 3y - 6 = 0    D. x + 3y - 2 = 0

Lời giải

+ Hai đường thẳng AB và AC cắt nhau tại A nên tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình :

Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 ⇒ A(1; 1)

+ Do ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

⇒ I là trung điểm của AC.

⇒ Tọa độ điểm C(3; -7).

+ Đường thẳng CD// AB nên phương trình đường thẳng CD có dạng:

    x + 3y + c = 0 ( c khác -4)

Lại có điểm C( 3; -7) thuộc CD nên: 3 + 3.(-7) + c = 0 ⇔ c = 18.

Vậy phương trình CD: x + 3y + 18 = 0.

Chọn A

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có B( 3; 5) ; đường cao và đường trung tuyến kẻ từ A có phương trình ( AH) 2x - 5y + 4 = 0 và ( AM) x + y - 5 = 0. Viết phương trình cạnh AB?

A. 11x + 5y - 43 = 0    B. 2x – 5y + 1 = 0    C. 10x - y + 19 = 0    D. 4x - 7y + 19 = 0

Lời giải

+ Đường cao và đường trung tuyến kẻ từ A cắt nhau tại A nên tọa độ điểm A là nghiệm hệ :

Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 ⇒ A( 3; 2)

+ Phương trình BC:
Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10

⇒ Phương trình BC: 5( x - 4) + 2(y + 1) = 0 hay 5x + 2y - 18 = 0

+ Đường trung tuyến AM và BC cắt nhau tại trung điểm M của BC nên tọa độ điểm M:

Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10

+ M là trung điểm BC nên tọa độ điểm B(Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 ; Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 )

+ Đường thẳng AB: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10

⇒ Phương trình AB: 11( x - 3) + 5( y - 2) = 0 hay 11x + 5y - 43 = 0

Chọn A.

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC vuông tại C biết 2 điểm A( -1; 2) và B( 3; 4) và
C( 2m - 1; m). Viết phương trình đường trung tuyến CM?

A. x + 2y - 7 = 0    B. 13x – 14y + 29 = 0    C. Cả A và B đúng    D. Đáp án khác

Lời giải

+ Gọi M là trung điểm của AB; tọa độ điểm M là:

Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 ⇒ M( 1; 3) .

+ Ta có: AC( 2m; m - 2); BC( 2m - 4 ;m - 4)

Do tam giác ABC vuông tại C nên AC . BC = 0

⇔ 2m( 2m - 4) – (m - 2) ( m - 4) = 0

⇔ 4m2 – 8m - m2 + 4m + 2m - 8 = 0

⇔ 3m2 – 2m - 8 = 0 ⇔ m = 2 hoặc m = Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10

+ Với m = 2 thì C( 3; 2)

Đường trung tuyến CM: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10

⇒ Phương trình CM: 1( x - 3) + 2( y - 2) = 0 hay x + 2y - 7 = 0

+ Với m= Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 thì C( Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 ; Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 )

Đường trung tuyến AM: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10

⇒ Phương trình CM: 13(x - 1) - 14( y - 3) = 0 hay 13x – 14y + 29 = 0 .

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho tam giác ABC có B(0; -3); C( 1; -2); phương trình đường cao BH:
x - 2y + 3 = 0 và đường trung tuyến AM: x + y - 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB?

A. 2x - 3y + 9 = 0    B. 7x + 2y + 6 = 0    C. 5x - 4y + 2 = 0    D. Tất cả sai

Đáp án: B

Trả lời:

+ Đường thẳng AC:

Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10

⇒ Phương trình AC: 2(x - 1)+ 1( y + 2) = 0 hay 2x + y = 0

+ Hai đường thẳng AC và AM cắt nhau tại A nên tọa độ điểm A là nghiệm hệ:

Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 ⇒ A( -2; 4)

+ Đường thẳng AB: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10

⇒ Phương trình AB: 7( x + 2) + 2(y - 4) = 0 hay 7x + 2y + 6 = 0

Câu 2: Cho hình thoi ABCD và AC cắt BD tại I( 2; 3). Phương trình AB: 2x - y + 4 = 0 và BC: x + y + 2 = 0. Viêt phương trình AC?

A. 4x + 3y - 17 = 0    B. 2x + 3y - 9 = 0    C. 3x - 4y + 1 = 0    D. x + 5y - 6 = 0

Đáp án: A

Trả lời:

+ Hai đường thẳng AB và BC cắt nhau tại B nên tọa độ điểm B là nghiệm hệ :

Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 ⇒ B( -2; 0)

+ Do ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

⇒ Đường thẳng AC: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10

⇒ PHương trình AC: 4(x - 2) + 3(y - 3) = 0 hay 4x + 3y - 17 = 0

Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao CK: x + 3y - 6 = 0; đường phân giác AM: x + y - 4 = 0 biết điểm B( 1; 0) . Viết phương trình đường cao xuất phát từ đỉnh B?

A. 2x + y - 2 = 0    B. 2x + y- 7 = 0    C. x - 3y + 9 = 0    D. 7x - y - 7 = 0

Đáp án: B

Trả lời:

+ Do tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác AM đồng thời là đường cao.

+ Tam giác ABC có hai đường cao AM và CK. Gọi giao điểm hai đường cao là H.

⇒ H là trực tâm tam giác và tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình :

Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 ⇒ H( 3; 1).

+ Đường cao xuất phát từ đỉnh B chính là đường thẳng BH.

Đường thẳng BH: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10

⇒ Phương trình BH: 2( x - 3) + 1(y - 1) = 0 hay 2x + y - 7 = 0

Câu 4: Cho hình vuông ABCD có phương trình AB: x - y + 6 = 0 và AD: x + y = 0; tọa độ điềm C( 1; -5) . Viết phương trình BD?

A. x + 2y - 3 = 0    B. x + 2y = 0    C. x - 2y + 1 = 0    D. x - 2y - 1 = 0

Đáp án: D

Trả lời:

+ Hai đường thẳng AB và AD cắt nhau tại A nên tọa độ A là nghiệm hệ”

Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 ⇒ A( -3; 3) .

+ Gọi I là trung điểm của AC nên tọa độ điểm I :

Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 ⇒ I( - 1; - 1).

+ Đường thẳng BD: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10

⇒ Phương trình BD: 1( x + 1) - 2( y + 1) = 0 hay x - 2y - 1 = 0

Câu 5: Cho tam giác ABC biết AB: x + y - 1 = 0; AC: x - y + 3 = 0 và trọng tâm G(1; 2). Viết phương trình BC?

A. x + 2 = 0    B. y + 1 = 0    C. 2x + 3y - 1 = 0    D. -x + 3y - 1 = 0

Đáp án: B

Trả lời:

+ Hai đường thẳng AB và AC cắt nhau tại A nên tọa độ điểm A là nghiệm hệ

Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 ⇒ A( -1; 2).

+ Điểm B( a; 1 - a) thuộc đường thẳng AB và điểm C( b; b + 3) thuộc đường thẳng AC.

+ Do G( 1; 2) là trọng tâm tam giác nên ta có:

Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 ⇔ a = b = 2

⇒ Điểm B( 2; -1) và C( 2; 5) .

+ Đường thẳng BC: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10

⇒ Phương trình BC: 0( x - 2) + 1( y + 1) = 0 hay y + 1 = 0

Câu 6: Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình của AB: x - 2y + 3 = 0, đường thẳng AD qua gốc tọa độ O , và tâm hình chữ nhật là I( 2; -2 ). Viết phương trình CD?

A. x + 2y - 3 = 0    B. x - 2y - 15 = 0    C. x - 2y + 1 = 0    D. x - 2y + 6 = 0

Đáp án: B

Trả lời:

+ Đường thẳng AD:Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10

⇒ Phương trình AD: 2( x - 0) + 1( y - 0) = 0 hay 2x + y = 0

+ Hai đường thẳng AB và AD cắt nhau tại A nên tọa độ A là nghiệm hệ :

Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 ⇒ A ( Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 ; Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 )

+ Do I là tâm hình chữ nhật nên I là trung điểm AC.

⇒ Tọa độ C( Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 ; Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 ) .

+ Đường thẳng CD // AB nên có dạng ( CD) : x - 2y + c = 0 ( c ≠ 5) .

Mà C thuộc CD nên Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 - 2.(Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10 ) + c = 0 ⇒ c = -15

Vậy phương trình CD: x - 2y - 15 = 0.

Câu 7: Cho tam giác ABC có trung điểm của AB là I( 1; 3) , trung điểm AC là J( -3; 1). Điểm A thuộc Oy và đường BC qua gốc tọa độ O . Viết phương trình đường thẳng CI?

A. 3x - 2y + 3 = 0    B. 3x + 2y - 9 = 0    C. 6x - 7y + 15 = 0    D. 5x - 2y + 1 = 0

Đáp án: C

Trả lời:

+ Phương trình IJ: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10

⇒ Phương trình IJ: 1(x - 1) – 2( y - 3) = 0 hay x - 2y + 5 = 0.

+ Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và CA nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra: IJ// BC

+ Đường thẳng IJ// BC nên BC có dạng: x - 2y + c = 0 (c ≠ 5) .

Do BC qua O nên : 0 - 2.0 + c = 0 ⇔ c = 0

Vậy phương trình BC: x - 2y = 0.

+ Điểm A( 0; a) thuộc trục Oy.

Do J ( - 3; 1) là trung điểm của AC nên C( - 6; 2 - a).

Mà điểm C thuộc BC nên : - 6 - 2( 2 - a) = 0 ⇔ a = 5.

⇒ Tọa độ điểm C( -6; - 3).

+ Đường thẳng CI: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10

⇒ Phương trình CI: 6(x - 1) – 7(y - 3) = 0 hay 6x - 7y + 15 = 0

Câu 8: Cho tam giác ABC có M; N và P lần lượt là trung điểm của AB; AC và BC. Biết M( 2; -1); N( - 2; -1) và P ( 0; 3).Viết phương trình đường trung trực d của đoạn thẳng BC?

A. x = 0    B. x + y - 3 = 0    C. 2x - y + 3 = 0    D. y - 3 = 0

Đáp án: C

Trả lời:

+ Do M và N là trung điểm của AB và AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC và MN// BC ( 1).

Mà d là đường trung trực của BC nên d vuông góc BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra: MN vuông góc d.

+ Đường thẳng d: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10

⇒ Phương trình d: 0(x - 0) + 1( y - 3) = 0 hay y - 3 = 0

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

GIẢM GIÁ 75% KHÓA HỌC VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 199K cho teen 2k5 tại khoahoc.vietjack.com

Toán lớp 10 - Thầy Phạm Như Toàn

4.5 (243)

799,000đs

250,000 VNĐ

Vật Lý 10 - Thầy Quách Duy Trường

4.5 (243)

799,000đ

250,000 VNĐ

Tiếng Anh lớp 10 - Thầy Quang Hưng

4.5 (243)

799,000đ

250,000 VNĐ

Hóa Học lớp 10 - Cô Nguyễn Thị Thu

4.5 (243)

799,000đs

250,000 VNĐ

Hóa học lớp 10 - cô Trần Thanh Thủy

4.5 (243)

799,000đ

250,000 VNĐ

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp


2005 - Toán Lý Hóa