Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua 1 điểm
Bài viết Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua 1 điểm với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua 1 điểm.
Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua 1 điểm
A. Phương pháp giải
Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm M(x0; y0) . Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M :
- Nếu điểm M ∈ d thì đường thẳng d’ trùng với đường thẳng d.
- Nếu điểm M không thuộc d; ta làm như sau :
+ Bước 1: Do đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M nên d’//d
⇒ đường thẳng d’ có dạng : ax + by + c’ = 0 ( c’ ≠ c)
+ Bước 2: Lấy một điểm A thuộc d. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua M .
Khi đó điểm A’ thuộc đường thẳng d’.
+ Bước 3: Thay tọa độ điểm A’vào phương trình đường thẳng d’ ta tìm được c’. Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d’.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: 2x + 3y - 2 = 0 và điểm M( 2; -1). Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M .
A. 2x + 3y = 0 B. 2x + 3y - 1 = 0 C. 2x + 3y + 2 = 0 D. 2x + 3y - 4 = 0
Lời giải
+ Do đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M nên đường thẳng d’ song song với đường thẳng d.
⇒ Đường thẳng d’ có dạng: 2x + 3y + c = 0 ( c ≠ -2) .
+ Lấy điểm A(1; 0) thuộc đường thẳng d.
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua M thì M là trung điểm của AA’
⇒ Tọa độ điểm A’ : 
⇒ A’(3; -2)
+ Vì điểm A’ thuộc đường thẳng d’nên thay tọa độ điểm A’ vào đường thẳng d’ ta được :
2.3 + 3.(-2) + c = 0 ⇔ c = 0 .
Vậy phương trình đường thẳng d’là 2x + 3y = 0
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x - y + 2 = 0 và điểm M (1; 3) .Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M ?
A. x - y = 0 B. x - y + 2 = 0 C. x - y + 3 = 0 D. x - y - 4 = 0
Lời giải
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được :
1 - 3 + 2 = 0 ( đúng )
⇒ Điểm M thuộc đường thẳng d.
⇒ Phép đối xứng qua điểm M biến đường thẳng d thành chính nó.
Vậy phương trình đường thẳng d’ cần tìm là d’ ≡ d: x - y + 2 = 0
Chọn B.
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: 3x + y - 4 = 0 và điểm M( 0; 2). Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M .
A. 3x + y + 4 = 0 B. 3x + y - 1 = 0 C. 3x + y = 0 D. 3x + y - 4 = 0
Lời giải
+ Do đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M nên đường thẳng d’ song song với đường thẳng d.
⇒ Đường thẳng d’có dạng: 3x + y + c = 0 ( c ≠ - 4) .
+ Lấy điểm A(0; 4) thuộc đường thẳng d.
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua M thì M là trung điểm của AA’
⇒ Tọa độ điểm A’: 
⇒ A’(0; 0 )
+ Vì điểm A’ thuộc đường thẳng d’nên thay tọa độ điểm A’ vào đường thẳng d’ ta được : 3.0 + 0 + c ⇔ c = 0 .
Vậy phương trình đường thẳng d’ là 3x + y = 0
Chọn C.
Ví dụ 4: Cho đường thẳng d: x - y + 4 = 0 và đường thẳng d’:
. Hỏi có bao nhiêu điểm M thỏa mãn qua đối xứng tâm M biến đường thẳng d thành đường thẳng d’.
A. 0 B. 1. C. 2 D. Vô số
Lời giải
+ Ta đưa đường thẳng d’ về dạng tổng quát:
Đường thẳng ( d’) : 
⇒ Phương trình ( d) : 1(x - 0) - 1(y - 4) = 0 hay x - y + 4 = 0.
⇒ đường thẳng d trùng với đường thẳng d’.
+ Để qua đối xứng tâm M biến đường thẳng d thành d’ - tức là biến đường thẳng d thành chính nó thì điểm M phải nằm trên đường thẳng d.
⇒ Có vô số điểm M thỏa mãn đầu bài- đó là các điểm nằm trên đường thẳng d.
Chọn D.
Ví dụ 5 : Cho đường thẳng d: 2x + 3y - 6 = 0 và đường thẳng d’. 2x + 3y + 8 = 0 . Có điểm M sao cho qua đối xứng tâm M biến đường thẳng d thành đường thẳng d’. Hỏi điểm M thuộc đường thẳng nào?
A. 2x + 3y + 1 = 0 B. 2x + 3y + 2 = 0 C. 2x - 3y - 2 = 0 D. 2x - 3y = 0
Lời giải
Gọi tọa độ điểm M (a; b).
+ Lấy điểm A( 3; 0) thuộc đường thẳng d,
+ Gọi điểm A’ đối xứng với A qua M . Khi đó A’ thuộc đường thẳng d’.
+ Ta có M là trung điểm AA’ nên ta có tọa độ của A’ và B’ là
+ Mà A’( 2a - 3; 2b) ; thuộc đường thẳng d’: 2x + 3y + 8 = 0 nên thay tọa độ điểm này vào phương trình d’ ta được :
2(2a - 3) + 3.2b + 8 = 0 hay 4a + 6b + 2 ⇔ 2a + 3b + 1 = 0
⇒ Điểm M thuộc đường thẳng 2x + 3y + 1 = 0
Chọn A.
Ví dụ 6: Cho đường thẳng d: 3x - y + 9 = 0 và điểm M( 2; -1). Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M .
A. 3x - y = 0 B. 3x - y - 1 = 0 C. 3x - y + 2 = 0 D. 3x - y - 23 = 0
Lời giải
+ Do đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M nên đường thẳng d’ song song với đường thẳng d.
⇒ Đường thẳng d’có dạng: 3x - y + c = 0 ( c ≠ 9) .
+ Lấy điểm A(- 3; 0) thuộc đường thẳng d.
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua M thì M là trung điểm của AA’
⇒ Tọa độ điểm A’: 
⇒ A’(7; -2)
+ Vì điểm A’ thuộc đường thẳng d’nên thay tọa độ điểm A’ vào đường thẳng d’ta được : 3.7 - (-2) + c = 0 ⇔ c = - 23 .
Vậy phương trình đường thẳng d’là 3x - y - 23 = 0
Chọn D.
Ví dụ 7: Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d: 2x - 5y + 10 = 0 qua điểm A( 5; 4)?
A. 2x - 5y + 20 = 0 B. 2x - 5y + 1 = 0 C. 2x - 5y + 10 = 0 D. 2x - 5y + 8 = 0
Lời giải
+ Ta có: 2.5 - 5.4 + 10 = 0
⇒ điểm A thuộc đường thẳng d.
⇒ Qua phép đối xứng tâm A biến đường thẳng d thành chính nó.
Chọn C.
Ví dụ 8 : Cho hai đường thẳng d1 : x + y - 1 = 0 ; d2 : x - 3y + 3 = 0. Phương trình đường thẳng d đối xứng với d1 qua đường thẳng d2 là:
A. x - 7y + 1 = 0 B. x + 7y + 1 = 0 C. 7x + y + 1 = 0 D. 7x - y + 1 = 0
Lời giải:
+ Giao điểm của d1 và d2 là nghiệm của hệ
⇒ A(0; 1)
Lấy M(1; 0) ∈ d1 . Tìm M’ đối xứng M qua d2
+ Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với d2:
∆: 
⇒ Phương trình ∆: 3(x - 1) + 1(y - 0) = 0 hay 3x + y - 3 = 0
+ Gọi H là giao điểm của ∆ và đường thẳng d2. Tọa độ H là nghiệm của hệ
+Ta có H là trung điểm của MM’. Từ đó suy ra tọa độ
+Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A và M’ : điểm đi qua A(0 ;1), vectơ chỉ phương vectơ pháp tuyến
Chọn D.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho đường thẳng d: 2x - 5y + 10= 0 và điểm M( 1; 1). Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M .
A. 2x - 5y = 0 B. 2x - 5y + 1 = 0 C. 2x - 5y - 4 = 0 D. 2x - 5y + 4 = 0
Lời giải:
Đáp án: C
+ Do đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M nên đường thẳng d’ song song với đường thẳng d.
⇒ Đường thẳng d’có dạng: 2x - 5y + c = 0 ( c ≠ 10) .
+ Lấy điểm A(0; 2) thuộc đường thẳng d.
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua M thì M là trung điểm của AA’
⇒ Tọa độ điểm A’: 
⇒ A’(2; 0 )
+ Vì điểm A’ thuộc đường thẳng d’nên thay tọa độ điểm A’ vào đường thẳng d’ ta được : 2.2 - 5.0 + c ⇔ c = - 4 .
Vậy phương trình đường thẳng d’là 2x - 5y - 4 = 0
Câu 2: Cho đường thẳng d: x + 3y - 6 = 0 và đường thẳng d’: x + 3y - 2 = 0 . Có điểm M sao cho qua đối xứng tâm M biến đường thẳng d thành đường thẳng d’. Hỏi điểm M thuộc đường thẳng nào?
A. x + 3y - 4 = 0 B. x + 3y + 2 = 0 C. x - 3y - 2 = 0 D. x - 3y = 0
Lời giải:
Đáp án: A
Gọi tọa độ điểm M (a; b).
+ Lấy điểm A( 3; 1) thuộc đường thẳng d,
+ Gọi điểm A’ đối xứng với A qua M . Khi đó A’ thuộc đường thẳng d’.
+ Ta có M là trung điểm AA’ nên ta có tọa độ của A’ và B’ là
+ Mà A’( 2a - 3; 2b - 1) ; thuộc đường thẳng d’: x + 3y - 2 = 0 nên thay tọa độ điểm này vào phương trình d’ ta được :
2a - 3 + 3(2b - 1) – 2 = 0 hay 2a + 6b - 8 = 0 ⇔ a + 3b - 4 = 0
⇒ Điểm M thuộc đường thẳng x + 3y - 4 = 0
Câu 3: Cho đường thẳng d: 
và đường thẳng d’: 
. Hỏi có bao nhiêu điểm M thỏa mãn qua đối xứng tâm M biến đường thẳng d thành đường thẳng d’.
A. 0 B. 1. C. 2 D. Vô số
Lời giải:
Đáp án: D
+ Đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:
(d)
⇒ Phương trình đường thẳng d: 3( x – 1) + 4( y + 3) = 0
Hay 3x + 4y + 9 = 0
+ Ta đưa đường thẳng d’ về dạng tổng quát:
Đường thẳng ( d’) : 
⇒ Phương trình ( d) : 3(x + 3) + 4(y - 0) = 0 hay 3x + 4y + 9 = 0.
⇒ đường thẳng d trùng với đường thẳng d’.
+ Để qua đối xứng tâm M biến đường thẳng d thành d’- tức là biến đường thẳng d thành chính nó thì điểm M phải nằm trên đường thẳng d.
⇒ Có vô số điểm M thỏa mãn đầu bài- đó là các điểm nằm trên đường thẳng d.
Câu 4: Cho đường thẳng d: x - 5y + 5 = 0 và điểm M ( 5; 2) .Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M ?
A. x - 5y = 0 B. x - 5y + 2 = 0 C. x - 5y + 3 = 0 D. x - 5y + 5 = 0
Lời giải:
Đáp án: D
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được :
5 - 5.2 + 5 = 0 ( đúng )
⇒ Điểm M thuộc đường thẳng d.
⇒ Phép đối xứng qua điểm M biến đường thẳng d thành chính nó.
Vậy phương trình đường thẳng d’ cần tìm là d’ ≡d: x - 5y + 5 = 0
Câu 5: Cho đường thẳng d: 4x - y + 8 = 0 và điểm M( 2; -1). Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M .
A. 4x - y - 26 = 0 B. 4x - y - 10 = 0 C. 4x - y + 20 = 0 D. 4x - y - 4 = 0
Lời giải:
Đáp án: A
+ Do đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M nên đường thẳng d’ song song với đường thẳng d.
⇒ Đường thẳng d’có dạng: 4x - y + c = 0 ( c ≠ 8 ) .
+ Lấy điểm A(-2; 0) thuộc đường thẳng d.
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua M thì M là trung điểm của AA’
⇒ Tọa độ điểm A’: 
⇒ A’(6; -2)
+ Vì điểm A’ thuộc đường thẳng d’ nên thay tọa độ điểm A’ vào đường thẳng d’ ta được : 4.6 - (-2) + c = 0 ⇔ c = - 26.
Vậy phương trình đường thẳng d’là 4x - y - 26 = 0
Câu 6: Cho đường thẳng d: 
và điểm M ( 7; -4) .Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M ?
A. 2x - 3y - 4 = 0 B. 2x - 3y = 0 C. 2x + 3y + 4 = 0 D. 2x + 3y - 2 = 0
Lời giải:
Đáp án: D
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được :
⇒ t= 2
⇒ Điểm M thuộc đường thẳng d.
⇒ Phép đối xứng qua điểm M biến đường thẳng d thành chính nó.
Vậy phương trình đường thẳng d’ cần tìm là d’ ≡d.
Ta viết đường thẳng d về dạng tổng quát:
( d) : 
⇒ Phương trình đường thẳng d: 2( x - 1) + 3( y - 0) = 0 hay 2x + 3y - 2 = 0
Câu 7: Cho đường thẳng (d): x - 2y + 3 = 0 và A(3; 4). Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho AM= 5?
A. M( 1; -1)
B. M(
; 
)
C. M(-1; 1)
D. Cả B và C đúng
Lời giải:
Đáp án: D
Gọi tọa độ điểm M(a;b).
Do M thuộc d nên a - 2b + 3 = 0 (1).
Khoảng cách hai điểm A và M là: AM= 
= 5
⇔ (a - 3)2 + ( b - 4)2 = 25 (2)
Từ (1) suy ra: a = 2b - 3 thế vào ( 2) ta được: ( 2b - 3 - 3)2 + (b - 4)2= 25
⇔ ( 2b - 6)2 + (b - 4)2 = 25
⇔ 4b2 – 24b + 36 + b2 - 8b + 16 - 25 = 0
⇔ 5b2 - 32b + 27 = 0 ⇔ b = 1 hoặc
b =
+ Với b = 1 thì a = - 1 ⇒ M(-1; 1)
+ Với b =
⇒ a =
⇒ M(
;
)
Vậy có hai điểm M thỏa mãn là M( -1; 1) và M(
;
)
Câu 8: Cho hai đường thẳng d: 2x - y + 3 = 0 và ∆: x + 3y - 2 = 0. Phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua ∆ là:
A. 11x + 13y - 2 = 0 B. 11x - 2y + 13 = 0 C. 13x - 11y + 2 = 0 D. 11x + 2y - 13 = 0
Lời giải:
Đáp án: B
+ Giao điểm của d và ∆ là nghiệm của hệ
⇒ A( - 1; 1)
+Lấy M(0; 3) ∈ d . Tìm M’ đối xứng M qua ∆
Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với ∆:
+Gọi H là giao điểm của ∆’ và đường thẳng ∆. Tọa độ H là nghiệm của hệ
+ Ta có H là trung điểm của MM’.
Từ đó suy ra tọa độ 
+ Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua 2 điểm A và M’: điểm đi qua A(-1 ;1), vectơ chỉ phương
vectơ pháp tuyến 
d' : 
(x + 1) - 
(y - 1) = 0 ⇔ 11x - 2y + 13 = 0
Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:
- Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng
- Tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua đường thẳng
- Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
- Tìm điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
- Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng
- Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
- Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10
Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official
Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 10 Global Success
- Giải Tiếng Anh 10 Friends Global
- Giải sgk Tiếng Anh 10 iLearn Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 10 Explore New Worlds
- Lớp 10 - Kết nối tri thức
- Soạn văn 10 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - KNTT
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - KNTT
- Giải sgk Toán 10 - KNTT
- Giải sgk Vật lí 10 - KNTT
- Giải sgk Hóa học 10 - KNTT
- Giải sgk Sinh học 10 - KNTT
- Giải sgk Địa lí 10 - KNTT
- Giải sgk Lịch sử 10 - KNTT
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - KNTT
- Giải sgk Tin học 10 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 10 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - KNTT
- Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 10 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - CTST
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - CTST
- Giải Toán 10 - CTST
- Giải sgk Vật lí 10 - CTST
- Giải sgk Hóa học 10 - CTST
- Giải sgk Sinh học 10 - CTST
- Giải sgk Địa lí 10 - CTST
- Giải sgk Lịch sử 10 - CTST
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - CTST
- Lớp 10 - Cánh diều
- Soạn văn 10 (hay nhất) - Cánh diều
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - Cánh diều
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - Cánh diều
- Giải sgk Toán 10 - Cánh diều
- Giải sgk Vật lí 10 - Cánh diều
- Giải sgk Hóa học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Sinh học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Địa lí 10 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch sử 10 - Cánh diều
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 10 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - Cánh diều
