Cách tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua đường thẳng (cực hay)
Bài viết Cách tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua đường thẳng.
Cách tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua đường thẳng (cực hay)
A. Phương pháp giải
Cho điểm A và đường thẳng (d): ax + by + c = 0 . Tìm điểm M đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d):
+ Bước 1: Lập phương trình đường thẳng AM:
⇒ Phương trình (AM) .
+ Bước 2: Gọi H là hình chiếu của A trên d. Khi đó AM và d giao nhau tại H nên tọa độ H là nghiệm hệ phương trình:
+ Bước 3: Do M đối xứng với A qua d nên H là trung điểm của AM.
Áp dụng công thức trung điểm đoạn thẳng ta được:
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: 2x - 3y + 3 = 0 và M( 8; 2) . Tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua d là:
A. ( -4; 8 ) B. (-4; -8 ) C. ( 4; 8) D. (4; -8)
Lời giải
+Phương trình đường thẳng MM’:
⇒ ( MM’) : 3( x - 8) + 2( y - 2) = 0 hay 3x + 2y - 28 = 0
+ Gọi H là hình chiếu của M lên d. Khi đó MM’ và d cắt nhau tại H nên tọa độ H là nghiệm hệ :
⇒ H(6; 5)
+ Khi đó H là trung điểm của đoạn MM’. Áp dụng công thức trung điểm ta suy ra
. Vậy M’( 4; 8) .
Chọn C.
Ví dụ 2: Cho điểm M(1; 2) và đường thẳng d: 2x + y - 5 = 0. Toạ độ của điểm đối xứng với điểm M qua d là:
A. (
; 
)
B. (- 
; 
)
C. (0; 
)
D. (
; - 5)
Lời giải
Ta thấy M ∉ d .
Gọi H( a; b) là hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d MH→( a - 1; b - 2) .
Ta có đường thẳng d: 2x + y - 5 = 0 nên có vtpt: n→(2;1)
Suy ra u→( -1; 2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
Do đó H(
; 
) .
Gọi M’( x; y) đối xứng với M qua đường thẳng d . Khi đó ta có: H là trung điểm của MM’
Ta có: 
Vậy tọa độ điểm đối xứng với M qua d là M'(
;
) .
Chọn A.
Ví dụ 3 : Cho đường thẳng d: 2x - 3y + 3 = 0 và M( 8; 2) . Tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua d là
A. ( -4; 8) B. ( -4; -8) C. ( 4; 8) D. ( 4; -8)
Lời giải
+ Do M’ đối xứng với M qua d nên MM’ vuông góc với d.
+ Đường thẳng MM’: 
⇒ MM’: 3( x - 8) + 2( y - 2) = 0 hay 3x + 2y - 28 = 0
+ Gọi H là giao điểm của MM’ và d. Khi đó tọa độ H là nghiệm hệ :
⇒ H( 6; 5)
+ Do M’ đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM’. Tọa độ điểm M’ là:
⇒ M’( 4; 8)
Chọn C.
Ví dụ 4: Cho điểm A( 1; 2) và đường thẳng (d): x + 2y - 3 = 0 .Tìm điểm đối xứng với A qua đường thẳng d.
A. ( 1; -2)
B. ( 
; 
)
C. ( 
; 
)
D. Đáp án khác
Lời giải
+ Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng (d) .
+ Lập phương trình đường thẳng AH:
( AH) : 
⇒ Phương trình ( AH) : 2( x - 1) – 1.( y - 2) = 0 hay 2x - y = 0
+ Hai đường thẳng AH và d cắt nhau tại H nên tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:
+ Gọi B đối xứng với A qua d. Khi đó; H là trung điểm của AB.
⇒ Tọa độ điểm B là: 
⇒ B(
;
)
Chọn B.
Ví dụ 5: Cho điểm A( 2; 0) và đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d.
A. ( 2; -1) B. (2; 0) C. ( 1; -2) D. (-2; -1)
Lời giải
Ta có: 2 + 0 - 2 = 0 nên điểm A thuộc đường thẳng d.
⇒ Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d chính là điểm A.
Chọn B.
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có A( 0; -2).Gọi I ( 2; 4) là trung điểm của AB và J( -4; 2) là trung điểm của AC. Gọi điểm A’ đối xứng điểm A qua BC. Viết phương trình đường thẳng AA’?
A. 6x + 2y - 3 = 0 B. 6x + 2y + 4 =0 C. 2x - y + 1 = 0 D. Tất cả sai
Lời giải
+ Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .
+ Do A’ đối xứng với A qua BC
⇒ AA’ vuông góc BC (2).
Từ(1) và ( 2) suy ra: AA’ vuông góc IJ
+ Lập phương trình AA’:
⇒ ( AA’): 6(x - 0) + 2( y + 2) = 0 hay 6x + 2y + 4 = 0.
Chọn B.
Ví dụ 7: Cho đường thẳng ∆ : 
và điểm M(1; 2). Tìm điểm đối xứng với M qua đường thẳng ∆ là:
A. (4; -2)
B. M’(- 
; 
)
C. M’(
;
)
D. M’(
; 
)
Lời giải
Gọi M’ đối xứng với M qua ∆.
+ Đường thẳng MM’: 
⇒ Phương trình đường thẳng MM’:
3(x - 1) – 2(y - 2)= 0 hay 3x - 2y + 1 = 0.
+ Giao điểm H của đường thẳng MM’ và ∆ là nghiệm hệ:
+ Điểm M đối xứng M’ qua ∆ nên H là trung điểm MM’. Suy ra tọa độ điểm M’:
⇒ M’(-
;
)
Chọn B.
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có AB = 6; BC = 6√2 và góc B = 450.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua BC. Tìm mệnh đề sai?
A. Tứ giác ACA’B là hình thoi
B. AA’ = 3
C. BA’ = 6
D. Tứ giác ACA’B là hình bình hành
Lời giải
+ Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có:
AC2 = AB2 + BC2 – 2.AC.BC.Cos B
= 62 + (6√2)2 - 2.6.6√2.cos450 = 36
⇒ AC = 6 nên AB = AC = 6 và AB2 + AC2 = BC2
⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.
+ Gọi H là chân đường cao hạ từ điểm A lên BC.
AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến
⇒ H là trung điểm của BC: AH = BH = CH = BC/2 = 3√2 ⇒ AA’= 6√2
+ Do A’ đối xứng với điểm A qua BC nên H là trung điểm của AA’ và AA’; BC vuông góc với nhau.
Tứ giác ACA’B có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
⇒ ACA’B là hình bình hành.
Lại có hai đường chéo AA’; BC vuông góc với nhau nên ACA’B là hình thoi.
⇒ B sai
Chọn B.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A( 3;-4) qua đường thẳng d:
A. ( 4; -2) B. (5; 0) C. ( -1; 2) D. ( -1; -3)
Lời giải:
Đáp án: B
+ Trước tiên ta tìm hình chiếu của A lên d.
Gọi điểm H(2 + 2t; -1 - t) thuộc d là hình chiếu của A.
Ta có AH→( 2t - 1; 3 - t).
Vectơ chỉ phương của d là u→( 2; -1)
+Do H là hình chiếu của A trên d nên AH vuông góc với d
⇔ u→ . AH→ = 0 ⇔ 2( 2t - 1) – 1( 3 - t) = 0
⇔ 4t- 2- 3+ t= 0 ⇔ t= 1
⇒ H( 4; -2)
Vậy hình chiếu của A trên d là H( 4; -2).
+ Do A’ đối xứng với A qua d nên H là trung điểm của AA’.
⇒ Tọa độ điểm A’ là: 
Câu 2: Cho đường thẳng ∆: 
. Hoành độ điểm M’ đối xứng với M( 4; 5) qua ∆ gần nhất với số nào sau đây ?
A. 1,12 B. - 0, 91 C. 1,31 D. - 0,92
Lời giải:
Đáp án: D
+ Ta tìm hình chiếu của M trên ∆.
Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.
Ta có: H ∈ ∆ nên H( 2 - 3t; 1 + 2t) và MH→( -2 - 3t; -4 + 2t)
Đường thẳng ∆có vectơ chỉ phương là u→(3; - 2) .
MH→ ⊥ u→ ⇔ MH→ . u→ = 0 ⇔ 3(-2 - 3t) - 2(-4 + 2t) = 0 ⇔ -13t + 2 = 0 ⇔ t =
⇒ 
+ Ta tìm điểm M’ đối xứng với M qua ∆.
Ta có H là hình chiếu của M trên ∆ trên M là trung điểm của MM’. Suy ra tọa độ điểm M’ là:
⇒ Hoành độ điểm M’ xấp xỉ - 0,92
Câu 3: Tìm điểm M’ đối xứng với M(4; 1) qua đường thẳng d: x - 2y + 4 = 0 là:
A. (
; 
)
B. (
; 
)
C. (
; 
)
D. (
;
)
Lời giải:
Đáp án: C
Đường thẳng d có 1 VTPT n→( 1; -2).
+ Ta tìm hình chiếu của M trên d.
Gọi H( 2t - 4; t) là hình chiếu của M( 4; 1) trên đường thẳng d.
Suy ra MH vuông góc d nên hai vecto MH→(2t – 8; t- 1) và n→(1; -2) cùng phương.
Do đó: 
+ Điểm M’ đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM’. Suy ra tọa độ điểm M’ là:
⇒ M’(
;
)
Câu 4: Cho tam giác ABC có A(1; 3).Gọi I(2; 1) là trung điểm của AB và J( -1; 0) là trung điểm của AC. Tìm điểm K đối xứng với điểm A qua IJ?
A. K(
; - 
)
B. K(
;
)
C. K( -
; -
)
D. K(
; 
)
Lời giải:
Đáp án: A
+ Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .
+Gọi H là hình chiếu của A lên IJ
⇒ AH vuông góc IJ .
+ Lập phương trình AH: 
⇒ ( AH): - 3( x - 1) – 1( y - 3) = 0 hay 3x + y - 6 = 0.
+ Phương trình IJ: 
⇒ Phương trình IJ: 1( x - 2) – 3( y - 1) = 0 hay x - 3y + 1 = 0.
+ Giao điểm của IJ và AH là H. Tọa độ điểm H là nghiệm hệ :
+ Gọi điểm K đối xứng với A qua IJ. Khi đó; H là trung điểm của AK
⇒ Tọa độ điểm K: 
⇒ K(
; -
)
Câu 5: Cho điểm M(- 2; 1) và đường thẳng ∆: 2x - y + 4 = 0.Gọi điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng ∆. Khi đó điểm M’ nằm trên đường thẳng nào?
A. x + 2y - 3 = 0 B. 2x + 4y - 3 = 0 C. x + 2y = 0 D. x + 2y - 6 = 0
Lời giải:
Đáp án: C
+ Đường thẳng ∆ có 1 VTPT n→( 2; -1)
Gọi H( t; 2t + 4) là hình chiếu của M trên đường thẳng ∆ thì MH→( t + 2; 2t + 3)
⇒ Hai đường thẳng MH và ∆ vuông góc với nhau nên hai vecto MH→ và n→( 2; -1) cùng phương. Suy ra: 
⇔ - t - 2 = 4t + 6 ⇔ t = -
⇒ Tọa độ điểm H( -
; 
) .
+ Do điểm M’ đối xứng với M qua ∆ nên H là trung điểm của MM’. Suy ra tọa độ điểm M’:
⇒ M’(-
;
)
⇒ điểm M’thuộc đường thẳng: x + 2y = 0
Câu 6: Cho đường thẳng ∆: 
và điểm M(2; -3); điểm A(-0,6; -1,8). Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua đường thẳng ∆. Tính độ dài AM’
A. 3 B. 4 C. 5 D. √17
Lời giải:
Đáp án: C
+ Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.
Ta có: H thuộc ∆ nên H( -3 + t ; - 2t) ⇒ MH→( t- 5 ; 3 - 2t)
Đường thẳng có vectơ chỉ phương là u→( 1; -2) .
Do H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ nên hai đường thẳng MH và ∆ vuông góc với nhau
⇒ MH→ . u→ = 0 ⇔ 1(t - 5) – 2( 3 - 2t) = 0
⇔ t - 5 - 6 + 4t = 0 ⇔ 5t = 11 ⇔ t = 2,2
⇒ H (- 0,8; - 4,4) .
+ Điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng ∆ nên H là trung điểm của MM’. Suy ra tọa độ điểm M’:
⇒ M’( -3,6; -5,8).
Độ dài đoạn AM’ là:
= 5
Câu 7: Tìm điểm đối xứng với điểm A( 1; 2) qua đường thẳng d:
= 1
A. H( 1; 2)
B. H( 
; 
)
C. H( -
; 
)
D. H( 
; 
)
Lời giải:
Đáp án: D
+ Phương trình tổng quát của đường thẳng d: 2x - 6y + 12 = 0 hay x - 3y + 6 = 0
+ Lấy điểm H(3t - 6; t) thuộc d -là hình chiếu vuông góc của A lên d.
Ta có AH→( 3t - 7; t - 2)
Vectơ pháp tuyến của d là n→( 1; -3) .
+Do H là hình chiếu của A trên d nên hai vecto AH→ và n→ cùng phương :
⇔ 
⇔ - 3( 3t - 7) = 1( t - 2)
⇔ - 9t + 21 = t - 2 ⇔ t = 
+ Với t =
ta có H(
;
)
+ Gọi điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d. Suy ra H là trung điểm của AA’.
⇒ Tọa độ điểm A’: 
⇒ M’(
;
)
Câu 8: Cho tam giác ABC có AB = 1; BC = 1√2 và góc B = 450.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua BC. Tìm mệnh đề sai?
A. Tứ giác ACA’B là vuông
B. AA’ = 2
C. BA’ = 1
D. Tứ giác ACA’B là hình bình hành
Lời giải:
Đáp án: B
+ Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có:
AC2 = AB2 + BC2 – 2.AC.BC.Cos B
= 12 + (1√2)2 - 2.1.1√2.cos450 = 1
⇒ AC = 1 nên AB = AC = 1 và AB2 + AC2 = BC2
⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.
+ Gọi H là chân đường cao hạ từ điểm A lên BC.
⇒ AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến
⇒ H là trung điểm của BC: AH = BH = CH =
⇒ AA’= √2
+ Do A’ đối xứng với điểm A qua BC nên H là trung điểm của AA’ và AA’; BC vuông góc với nhau.
Tứ giác ACA’B có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
⇒ ACA’B là hình bình hành.
Lại có hai đường chéo AA’; BC vuông góc với nhau nên ACA’B là hình thoi.
Tam giác ABC vuông cân nên 
= 900
⇒ Tứ giác ACA’B là hình vuông.
⇒ B sai
D. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho đường thẳng d: 2x + 3y + 5 = 0 và M(2; 6) . Tìm tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua d.
Bài 2. Cho điểm M(3; 4) và đường thẳng d: 3x + 2y – 5 = 0. Tìm toạ độ của điểm đối xứng với điểm M qua d.
Bài 3. Cho đường thẳng d: 3x – 5y + 6 = 0 và M(2; 6) Tìm tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua d.
Bài 4. Cho đường thẳng d: {x = 1 + 2t; y = 3 – 2t} và điểm M(3; 5). Tìm điểm đối xứng với M qua đường thẳng d.
Bài 5. Tìm điểm B đối xứng với điểm A(3; –4) qua đường thẳng d: {x = 5 – 4t; y = t + 2}.
Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:
- Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng
- Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
- Tìm điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
- Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua 1 điểm
- Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng
- Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
- Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10
Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official
Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 10 Global Success
- Giải Tiếng Anh 10 Friends Global
- Giải sgk Tiếng Anh 10 iLearn Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 10 Explore New Worlds
- Lớp 10 - Kết nối tri thức
- Soạn văn 10 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - KNTT
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - KNTT
- Giải sgk Toán 10 - KNTT
- Giải sgk Vật lí 10 - KNTT
- Giải sgk Hóa học 10 - KNTT
- Giải sgk Sinh học 10 - KNTT
- Giải sgk Địa lí 10 - KNTT
- Giải sgk Lịch sử 10 - KNTT
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - KNTT
- Giải sgk Tin học 10 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 10 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - KNTT
- Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 10 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - CTST
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - CTST
- Giải Toán 10 - CTST
- Giải sgk Vật lí 10 - CTST
- Giải sgk Hóa học 10 - CTST
- Giải sgk Sinh học 10 - CTST
- Giải sgk Địa lí 10 - CTST
- Giải sgk Lịch sử 10 - CTST
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - CTST
- Lớp 10 - Cánh diều
- Soạn văn 10 (hay nhất) - Cánh diều
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - Cánh diều
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - Cánh diều
- Giải sgk Toán 10 - Cánh diều
- Giải sgk Vật lí 10 - Cánh diều
- Giải sgk Hóa học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Sinh học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Địa lí 10 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch sử 10 - Cánh diều
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 10 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - Cánh diều
