Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Siêu sale sách Toán - Văn - Anh Vietjack 25-12 trên Shopee mall

Bài viết Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Quảng cáo

1. Phương pháp giải

+ Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm M ( x₀; y₀). Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là: d(M; d) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

+ Cho điểm A( x_A; y_A) và điểm B( x_B; y_B) . Khoảng cách hai điểm này là :

AB = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng d chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa hoặc bài tập có giải

Ví dụ 1: Khoảng cách từ điểm M( 1; -1) đến đường thẳng ( a) : 3x - 4y - 21 = 0 là:

A. 1 B. 2 C. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng D.

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ( a) là:

d(M;a) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng =

Chọn D.

Ví dụ 2: Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 1 là:

A. 4,8 B. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng C. 1 D. 6

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 1 ⇔ 8x + 6y - 48 = 0

⇒ Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d là :

d( O; d) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 4,8

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 3: Khoảng cách từ điểm M(2; 0) đến đường thẳng Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là:

A. 2 B. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng C. D.

Hướng dẫn giải

+ Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

(d) : Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

⇒ Phương trình ( d) : 4( x - 1) – 3( y - 2) = 0 hay 4x - 3y + 2 = 0

+ Khoảng cách từ điểm M đến d là:

d( M; d) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 2

Chọn A.

Ví dụ 4. Đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O(0; 0) và tiếp xúc với đường thẳng
(d): 8x + 6y + 100 = 0. Bán kính R của đường tròn (C) bằng:

A. R = 4 B. R = 6 C. R = 8 D. R = 10

Lời giải

Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) nên khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng d chính là bán kính R của đường tròn

⇒ R= d(O; d) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 10

Chọn D.

Ví dụ 5 . Khoảng cách từ điểm M( -1; 1) đến đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0 bằng:

A. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng B. 1 C. D.

Lời giải

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:

d( M; d) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng =

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 6. Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng (a): x - 3y + 4 = 0 và
(b): 2x + 3y - 1 = 0 đến đường thẳng ∆: 3x + y + 16 = 0 bằng:

A. 2√10 B. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng C. D. 2

Lời giải

Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng ( a) và ( b) tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình :

Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ⇒ A( -1; 1)

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là :

d( A; ∆) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng =

Chọn C

Ví dụ 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A( 1; 2) ; B(0; 3) và C(4; 0) . Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A bằng:

A. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng B. 3 C. D.

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng BC:

Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

⇒ ( BC) : 3(x - 0) + 4( y - 3) = 0 hay 3x + 4y - 12 = 0

⇒ chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

d( A; BC) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng =

Chọn A.

Ví dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; -4); B(1; 5) và C(3;1) . Tính diện tích tam giác ABC.

A. 10 B. 5 C. √26 D. 2√5

Lời giải

+ Phương trình BC:

Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

⇒Phương trình BC: 2( x - 1) + 1( y - 5) = 0 hay 2x + y - 7 = 0

⇒ d( A;BC) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = √5

+ BC = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 2√5

⇒ diện tích tam giác ABC là: S = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng .d( A; BC).BC = .√5.2√5 = 5

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ 9: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng d₁ : 4x - 3y + 5 = 0 và
d₂: 3x + 4y – 5 = 0, đỉnh A( 2; 1). Diện tích của hình chữ nhật là:

A. 1. B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải

+ Nhận xét : điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.

⇒ Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A(2; 1) đến hai đường thẳng trên, do đó diện tích hình chữ nhật bằng

S = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 2 .

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Khoảng cách từ điểm M( 2;0) đến đường thẳng Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là:

A. 2 B. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng C. D.

Lời giải:

Đáp án: A

+ Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

(d) : Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

=> Phương trình (d) : 4( x - 1) – 3( y - 2) = 0 hay 4x - 3y + 2 = 0.

+ Khi đó khoảng cách từ M đến d là:

d(M, d)= Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 2

Câu 2: Đường tròn ( C) có tâm I ( -2; -2) và tiếp xúc với đường thẳng
d: 5x + 12y - 10 = 0. Bán kính R của đường tròn ( C) bằng:

A. R = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng B. R = C. R = 44 D. R =

Lời giải:

Đáp án: A

Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) nên khoảng cách từ tâm đường tròn ( C) đến đường thẳng d chính là bán kính đường tròn.

=> R = d(I; d) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng =

Câu 3: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng (a) : 4x - 3y + 5 = 0 và
(b) : 3x + 4y - 5 = 0. Biết hình chữ nhật có đỉnh A( 2 ;1). Diện tích của hình chữ nhật là:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải:

Đáp án: B

Ta thấy: điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.

Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A đến hai đường thẳng trên.

Độ dài 2 cạnh là: d( A; a) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 2; d(A; b) = = 1

do đó diện tích hình chữ nhật bằng : S = 2.1 = 2

Câu 4: Cho hai điểm A( 2; -1) và B( 0; 100) ; C( 2; -4) .Tính diện tích tam giác ABC ?

A. 3 B. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng C. D. 147

Lời giải:

Đáp án: A

+ Phương trình đường thẳng AC: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

=> Phương trình AC: 1( x - 2) + 0.(y + 1) = 0 hay x - 2= 0..

+ Độ dài AC = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 3 và khoảng cách từ B đến AC là:

d(B; AC) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 2

=> Diện tích tam giác ABC là : S = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng AC.d( B;AC) = .3.2 = 3 .

Câu 5: Khoảng cách từ A(3; 1) đến đường thẳng Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng gần với số nào sau đây ?

A. 0, 85 B. 0,9 C. 0,95 D. 1

Lời giải:

Đáp án: B

Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

(d): Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

=> ( d): 2(x - 1) + 1( y - 3) = 0 hay 2x + y - 5 = 0

=> d(A, d) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ≈ 0,894

Câu 6: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng 4x - 3y + 5 = 0 và
3x + 4y + 5 = 0 đỉnh A(2; 1) . Diện tích của hình chữ nhật là

A. 6 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải:

Đáp án: A

+ Khoảng cách từ đỉnh A(2; 1) đến đường thẳng 4x - 3y + 5 = 0 là Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 2

+ Khoảng cách từ đỉnh A(2; 1) đến đường thẳng 3x + 4y + 5 = 0 là Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 3

=> Diện tích hình chữ nhật bằng 2.3 = 6

Câu 7: Tính diện tích hình bình hành ABCD biết A( 1; -2) ; B( 2; 0) và D( -1; 3)

A. 6 B. 4,5 C. 3 D. 9

Lời giải:

Đáp án: D

+ Đường thẳng AB: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

=> Phương trình AB: 2(x - 1) – 1(y + 2) = 0 hay 2x – y - 4 = 0

+ độ dài đoạn AB: AB = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = √5

Khoảng cách từ D đến AB: d( D; AB)= Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng =

=> Diện tích hình chữ nhật ABCD là S = AB.d( D; AB) = √5. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 9

Câu 8: Tính khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳn (d) : x + y - 2 = 0 và
( ∆) : 2x + 3y - 5 = 0 đến đường thẳng (d’) : 3x - 4y + 11 = 0

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải:

Đáp án: B

+ Giao điểm A của hai đường thẳng d và ∆ là nghiệm hệ phương trình

Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng => A( 1; 1)

+ Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d’) là :

d( A; d’) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 2

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm A(2; 3) đến đường thẳng d: 5x – 3y – 2 = 0.

Hướng dẫn giải:

Khoảng cách từ điểm A(2; 3) đến đường thẳng d: 5x – 3y – 2 = 0 là:

d(A; d) = $\frac{|5.2 - 3.3 - 2|}{\sqrt{5^{2} + {(- 3)}^{2}}} = \frac{\sqrt{34}}{34}$ .

Bài 2. Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: 3x + 2y – 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: 3x + 2y – 1 = 0 là:

d(O; d) = $\frac{|5.0 + 2.0 - 1|}{\sqrt{5^{2} + 2^{2}}} = \frac{\sqrt{29}}{29}$ .

Bài 3. Tính khoảng cách từ điểm A(–5; 2) đến đường thẳng d: 2x –y + 5 = 0.

Hướng dẫn giải:

Khoảng cách từ điểm A(–5; 2) đến đường thẳng d: 2x –y + 5 = 0 là:

d(A; d) = $\frac{|2. (- 5) - 1.2 + 5|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{7 \sqrt{5}}{5}$ .

Bài 4. Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5$ .

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d: $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5 \Leftrightarrow \frac{x}{3} + \frac{y}{2} - 5 = 0$

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5$ là:

d(O; d) = $\frac{|\frac{0}{3} + \frac{0}{2} - 5|}{\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}} = \frac{30 \sqrt{13}}{13}$ .

Bài 5. Tính khoảng cách từ điểm B(3; –5) đến đường thẳng {x = 2 + 3t; y = 5 – 2t}.

Hướng dẫn giải:

Xét đường thẳng d: {x = 2 + 3t; y = 5 – 2t}

2x + 3y = 2(2 + 3t) + 3(5 – 2t) = 4 + 6t + 15 – 6t = 19

Do đó 2x + 3y - 19 = 0

Khoảng cách từ điểm B(3; –5) đến đường thẳng d: 2x + 3y – 19 = 0 là:

d(B; d) = $\frac{|2.3 + 3. (- 5) - 19|}{\sqrt{2^{2} + 3^{2}}} = \frac{28 \sqrt{13}}{13}$ .

Bài 6. Đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O(0; 0) và tiếp xúc với đường thẳng (d): 8x + 6y + 100 = 0. Tính Bán kính R của đường tròn (C).

Bài 7. Tính Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng a: x - 3y + 4 = 0 và b: 2x + 3y - 1 = 0 đến đường thẳng d: 3x + y + 16 = 0.

Bài 8. Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng (d₁): 2x – 3y + 6 = 0 và (d₂): 5x + 3y – 2 = 0, đỉnh A(3; 5). Tính diện tích của hình chữ nhật.

Bài 9. Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng (a): 3x – 2y + 1 = 0 và (b): 4x + 3y – 3 = 0. Biết hình chữ nhật có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng a: 2x – 3y + 2 = 0 và b: 4x + 3y – 3 = 0. Tính diện tích của hình chữ nhật.

Bài 10. Đường tròn (C) có tâm I (–2; –2) và tiếp xúc với đường thẳng d: 5x + 12y – 10 = 0. Tính bán kính R của đường tròn (C).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.