Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng - Toán lớp 10



Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng

A. Phương pháp giải

Cho 2 đường thẳng cắt nhau: (d1) A1x + b1y + C1 = 0 và (d2): A2x + B2y + C2 = 0.

Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng đó là:

Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Chú ý:

Cho đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0 và hai điểm A(xA; yA); B(xB;yB ).

Đặt f(x;y) = Ax + By + C:

+ A và B nằm về cùng một phía đối với ∆ ⇔ f(xA; yA). f(xB; yB) > 0

+ A và B nằm khác phía đối với ∆ ⇔ f(xA; yA). f(xB; yB) < 0

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng d: x + 2y + 3 = 0 và d’: 2x + y + 3 = 0. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là:

A. x + y = 0 và x – y + 4 = 0 .    B. x - y + 4 = 0 và x + y - 2 = 0 .

C. x + y + 2 = 0 và x - y = 0    D. x + y + 1 = 0 và x - y - 3 = 0 .

Hướng dẫn giải

Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là:

Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy phương trình các đường phân giác tạo bởi d và d’ là :

x - y = 0 và x + y + 2 = 0

Chọn C.

Ví dụ 2. Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi 2 đường thẳng ∆1: x + 2y - 3 = 0 và ∆2: 2x – y + 3 = 0.

A. x + 3y - 2 = 0 và x = 3y.    B. 3x = - y và x - 3y - 6 = 0.

C. 3x + y = 0 và –x + 3y - 6 = 0.    D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Gọi M(x; y) là điểm thuộc đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng đã cho.

⇒ d(M,Δ1) = d(M,Δ2) ⇒ Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ x + 2y - 3 = ± (2x - y + 3) ⇒ Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB: 2x - y + 4 = 0; AC: x - 2y - 6 = 0 và hai điểm B; C thuộc Ox. Phương trình phân giác ngoài của góc BAC là

A. 3x - 3y - 2 = 0    B. x + y + 10 = 0    C. 3x + 3y + 2 = 0    D. x + y - 2 = 0

Hướng dẫn giải:

Do hai điểm B và C thuộc Ox nên tọa độ hai điểm đó là : B(-2; 0) và C(6; 0).

Gọi M( x; y) thuộc đường phân giác của góc BAC

Ta có: d(M, AB) = d(M, AC) ⇔ Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ |2x - y + 4| = |x - 2y - 6|

Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

+ Xét vị trí của hai điểm B và C đối với đường thẳng x + y + 10 = 0.

Ta có : (-2 + 0 + 10).( 6 + 0 + 10) > 0 nên hai điểm B và C nằm cùng phía so với đường thẳng x + y + 10 = 0.

Suy ra đường thẳng x + y + 10 = 0 là đường phân giác ngoài của góc BAC.

Chọn B.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2) , B( 1; 2) và C(3; 6 ) . Phương trình đường phân giác trong của góc A là:

A. 2x + y - 2 = 0    B. x - 2y + 4 = 0    C. 2x + y - 4 = 0    D. Đáp án khác

Lời giải

+ Ta viết phương trình đường thẳng AB và AC:

Đường thẳng AB : Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ ( AB) : 0(x - 0) + 1(y - 2) = 0 hay y - 2 = 0

Đường thẳng AC : Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ ( AC) : 4(x - 0) – 3(y - 2) = 0 hay 4x - 3y + 6 = 0

Suy ra các đường phân giác góc A là: Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇔ |4x - 3y + 6| = 5|y - 2|

Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Đặt f( x; y) = x - 2y + 4

⇒ f( B).f( C) =( 1 - 2.2 + 4) ( 3 - 2.6 + 4) = -5 < 0

⇒ B và C nằm khác phía so với đường thẳng : x - 2y + 4 = 0.

suy ra đường phân giác trong góc A là x - 2y + 4 = 0

Chọn B.

Ví dụ 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A( 1; 5) ; B( -4; -5) và C( 4; -1) . Phương trình đường phân giác ngoài của góc A là:

A. y + 5 = 0    B. y - 5 = 0    C. x + 1 = 0    D. x - 1 = 0

Lời giải

+ Ta viết phương trình đường thẳng AB và AC:

Đường thẳng AB : Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ ( AB) : 2( x - 1) – 1.( y - 5) = 0 hay 2x - y + 3 = 0

Đường thẳng AC : Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ ( AC) : 2( x - 1) + 1( y - 5) = 0 hay 2x + y - 7 = 0

Suy ra các đường phân giác góc A là: Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇔ |2x - y + 3| = |2x + y - 7|

Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Đặt f( x; y) = y - 5

⇒ f(B).f(C) = ( -5 - 5).( -1 - 5) = 60 > 0

⇒ B và C nằm cùng phía so với đường thẳng : y - 5 = 0.

suy ra đường phân giác ngoài góc A là y - 5 = 0

Chọn B.

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x - 4y - 3 = 0 và d2 : 12x + 5y - 12 = 0. Phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2 là:

A. 3x + 11y - 3 = 0    B. 11x - 3y - 11 = 0    C. 3x - 11y - 3 =0    D. 11x + 3y - 11 = 0

Lời giải

Các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2 là:

Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ 13|3x - 4y - 3| = 5|12x + 5y - 12| .

Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Gọi I là giao điểm của d1 và d2; tọa độ I là nghiệm hệ

Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ I( 1;0)

+ Gọi đường thẳng d: 3x + 11y - 3 = 0. Lấy điểm M(-10; 3) thuộc đường thẳng d.

Gọi H là hình chiếu của M lên d1.

Ta có: IM = Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

MH = d(M;d1 ) = Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 9

Suy ra Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Suy ra d: 3x + 11y - 3 = 0 là đường phân giác góc tù nên đường phân giác góc nhọn là 11x - 3y - 11 = 0.

Chọn B.

Ví dụ 7. Cho đường thẳng d: 3x + 4y – 5 = 0 và 2 điểm A( 1; 3) ; B( 2; m) . Tìm m để A và B nằm cùng phía đối với d?

A. m < 0    B. m > - Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    C. m > 1    D. m = - Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Hướng dẫn giải

Hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d khi và chỉ khi:

( 3 + 12 - 5)( 6 + 4m - 5) < 0 hay m > - Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB: x + y - 1 = 0;
AC: 7x - y + 2 = 0 và BC: 10x + y - 19 = 0. Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC.

A. 12x + 4y - 3 = 0    B. 2x + 6y + 7 = 0    C. 12x + 6y - 7 = 0    D. 2x - 6y +7 = 0

Đáp án: D

Trả lời:

+ AB và BC giao nhau tại B nên tọa độ của B là nghiệm hệ :

Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ B( 2; -1)

+ AC và BC cắt nhau tại C nên tọa độ C là nghiệm hệ:

Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ C(1; 9)

+ Phương trình các đường phân giác góc A là:

Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Đặt f1( x; y) = 2x - 6y + 7 ta có f1(B) . f1( C) < 0

Suy ra B và C nằm khác phía so với d1 và cùng phía so với d2.

Vậy phương trình đường phân giác trong góc A là: 2x - 6y + 7 = 0

Câu 2: Cho tam giác ABC có A(-2; -1); B(-1; 3) và C( 6; 1).Viết phương trình đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC.

A. x - y + 1 = 0    B. 5x + 3y + 9 = 0    C. 3x + 3y - 5 = 0    D. x + y + 3 = 0

Đáp án: D

Trả lời:

+ Phương trình đường thẳng AB: Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình AB: 4( x + 2) – 1( y + 1) = 0 hay 4x - y + 7 = 0

+ Phương trình đường thẳng AC: Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình AC: 1( x + 2) - 4( y + 1) = 0 hay x - 4y – 2 = 0

+ Phương trình các đường phân giác góc A là:

Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Đặt f1( x; y) = x + y + 3 ta có: f1(B).f1(C) > 0

Suy ra B và C nằm cùng phía so với d1 và khác phía so với d2.

Vậy phương trình đường phân giác ngoài góc A là: x + y + 3 = 0.

Câu 3: Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi đường thẳng
∆: x + y = 0 và trục hoành Ox.

A. (1 + √2)x + y = 0 ; x - (1 - √2)y = 0 .    B. (1 + √2)x + y = 0; x + (1 - √2)y = 0 .

C. (1 + √2)x - y = 0; x + (1 - √2)y = 0 .    D. Tất cả sai

Đáp án: D

Trả lời:

Gọi M(x; y) là điểm thuộc đường phân giác

Theo đầu bài ta có: d( M; ∆) = d( M; Ox)

Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇔ |x + y| = √2|y|

Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Câu 4: Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi 2 đường thẳng ∆1: x + 2y - 3 = 0 và ∆2: 2x - y + 3 = 0 .

A. 3x + y = 0 và x - 3y = 0 .    B. 3x + y = 0 và x + 3y - 6 = 0.

C. 3x + y = 0 và – x + 3y - 6 = 0.    D. 3x + y + 6 = 0 và x - 3y - 6 = 0.

Đáp án: C

Trả lời:

Gọi M(x; y) là điểm thuộc đường phân giác

⇒ d(M; ∆1) = d(M; ∆2) ⇒ Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ x + 2y - 3 = ±(2x - y + 3) ⇒ Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Câu 5: Cho hai đường thẳng d : x + 2y + 3 = 0 và d’ : 2x + y + 3 = 0. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là

A. x + y = 0 ; x - y + 2 = 0    B. x - y = 0 ; x + y + 2 = 0

C. x + y + 2 = 0 ; x - y = 0    D. x + y - 2 = 0 ; x - y - 1 = 0

Đáp án: C

Trả lời:

Ta có: M(x ; y) thuộc đường phân giác khi và chỉ khi :

d(M; d) = d(M; d') ⇔ Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇔ |x + 2y + 3| = |2x + y + 3| ⇔ Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Câu 6: Cho tam giác ABC có A(1; -2); B( 2; 2) và C(5; -3). Viết phương trình đường phân giác trong xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC?

A. 5x + 3y + 1 = 0    B. 3x + 2y + 1 = 0    C. x + y + 1 = 0    D. 5x + 2y - 1 = 0

Đáp án: A

Trả lời:

+Ta có: AB = Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

AC = Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

⇒ Đường phân giác trong xuất phát từ A đồng thời là đường trung tuyến.

+ Gọi M là trung điểm BC; tọa độ M :

Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

+ Đường thẳng AM: Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ Phương trình AM: 5( x - 1) + 3( y + 2) = 0 hay 5x + 3y + 1 = 0

Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -1) ; B( -1;3) và C( 4; -1) . Phương trình đường phân giác ngoài của góc A là:

A. y + 5 = 0    B. x + 2y = 0    C. x + 1 = 0    D. 2x - y - 5 = 0

Đáp án: B

Trả lời:

+ Ta viết phương trình đường thẳng AB và AC:

Đường thẳng AB : Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ ( AB) : 4(x - 2) + 3( y + 1) = 0 hay 4x + 3y - 5 = 0

Đường thẳng AC : Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇒ ( AC) : 0(x - 2) + 1( y + 1) = 0 hay y + 1 = 0

Suy ra các đường phân giác góc A là: Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇔ |4x + 3y - 5| = 5|y + 1|

Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Đặt f( x; y) = 2x - y - 5

⇒ f( B).f( C) = (- 2 - 3 - 5).( 2.4 + 1 - 5) = -40 < 0

⇒ B và C nằm khác phía so với đường thẳng 2x - y - 5 = 0

suy ra đường phân giác ngoài góc A là x + 2y = 0

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp