Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía
Bài viết Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía.
Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía
A. Phương pháp giải
Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và hai điểm M( xM; yM); N(xN; yN) không nằm trên d. Khi đó:
+ Hai điểm M ; N nằm cùng phía đối với đường thẳng d khi và chỉ khi:
( axM + byM + c) .( axN + byN + c) > 0
+ Hai điểm M ; N nằm khác phía đối với đường thẳng d khi và chỉ khi:
( axM + byM + c) .( axN + byN + c) < 0
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x+ 2y- 10 =0 và hai điểm A( 1; -3) và B( 5;-4) . Chọn mệnh đề đúng :
A. Hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.
B. Hai điểm A và B nằm khác phía so với đường thẳng d.
C. Có một điểm nằm trên đường thẳng d.
D. Khoảng cách hai điểm AB là 5.
Lời giải
Đặt f( x; y) = x + 2y - 10.
+ Ta có f(1; -3) = 1 + 2.(-3) - 10 = -15
Và f( 5; -4) = 5 + 2.(-4) - 10 = - 13
⇒ f( 1; -3) . f( 5; -4) > 0
⇒ Hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.
+ Khoảng cách hai điểm A và B là: AB = 
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: 2x - y + 1 = 0 và ba điểm A(0; -3); B( -1; -1) và C(-3; 2) .
Tìm mệnh đề sai?
A. Hai điểm A và C nằm khác phía so với đường thẳng d.
B. Có ít nhất một điểm nằm trên đườngthẳng d.
C. Có không ít hơn hai điểm không thuộc đường thẳng d
D. Hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.
Lời giải
Đặt f( x; y) = 2x - y + 1.
f(0; -3) = 2.0 - (-3) + 1 = 4
f(-1; -1) = 2.(-1) – (-1) + 1 = 0
f(-3; 2) = 2.(-3) – 2 + 1 = - 7
Suy ra:
Hai điểm A và C nằm khác phía so với đường thẳng d.
Điểm B thuộc đường thẳng d; hai điểm A và C không thuộc đường thẳng d.
⇒ A; B và C đúng ; D sai.
Chọn D.
Ví dụ 3. Cho đường thẳng d: 3x + 4y – 5 = 0 và 2 điểm A( 1; 3) ; B( 2; m) . Tìm m để A và B nằm cùng phía đối với d?
A. m < 0
B. m > - 
C. m > 1
D. m = -
Hướng dẫn giải
Hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d khi và chỉ khi:
( 3 + 12 - 5)(6 + 4m - 5) < 0 hay m > -
Chọn B.
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x + 4y - 5 = 0 và hai điểm A( 1; 3) và B ( 2; m). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để A và B nằm cùng phía đối với d?
A. m < 0 .
B. m > -
C. m > - 1
D. m = -
Lời giải
Đặt f( x; y) = 3x + 4y - 5.
Để hai điểm A và B nằm cùng phía đối với d khi và chỉ khi:
f(A).f( B) > 0 ⇔ ( 3.1 + 4.3 - 5).( 3.2 + 4.m - 5) > 0
⇔ 10.( 1 + 4m) > 0 ⇔ 1 + 4m > 0 ⇔ m > -
Chọn B.
Ví dụ 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 4x - 7y + m = 0 và hai điểm A( 1; 2) và B(-3; 4). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để d và đoạn thẳng AB có điểm chung.
A. 10 ≤ m ≤ 40 B. m > 40 hoặc m < 10 C. 10 < m < 40 D. m < 10
Lời giải
Đoạn thẳng AB và d: 4x - 7y + m = 0 có điểm chung khi và chỉ khi
Điểm A( hoặc điểm B) thuộc đường thẳng d hoặc hai điểm A và B nằm khác phía so với đường thẳng d.
+ Nếu A thuộc đường thẳng d thì: 4.1 - 7.2 + m = 0 ⇔ m = 10.
+ Nếu điểm B thuộc đường thẳng d thì: 4.(-3) – 7. 4 + m = 0 ⇔ m = 40.
+ Nếu hai điểm A và B nằm khác phía so với đường thẳng d khi đó đoạn thẳng AB sẽ cắt đường thẳng d.
⇒ ( 4xA - 7yA + m) .( 4xB - 7yB + m) < 0
⇔ ( m - 10) .( m - 40) < 0 ⇔ 10 < m < 40.
Kết hợp các trường hợp, vậy để đường thẳng d có điểm chung với đoạn thẳng AB thì
10 ≤ m ≤ 40.
Chọn A.
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng
d: 
và hai điểm A(1; 2) ; B(-2; m). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để A và B nằm cùng phía đối với d?
A. m > 13 B. m ≥ 13 C. m < 13 D. m = 13
Lời giải
Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát
(d) 
⇒ Phương trình (d) : 3( x - 2) + 1.(y - 1) = 0
Hay ( d) : 3x + y - 7 = 0
Khi đó để hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d khi và chỉ khi :
(3xA + yA - 7)(3xB + yB - 7) > 0 ⇔ -2(m - 13) > 0 ⇔ m < 13.
Chọn C.
Ví dụ 7 : Cho đường thẳng d : 3x - 2y + 2 = 0 và ba điểm A( 1 ; 2) ; B( 2 ; -1) ; C(-1 ; -1) . Hỏi đường thẳng d cắt cạnh nào của tam giác BAC ?
A. AB B. BC C. AC D. Không cắt cạnh nào
Lời giải
Đặt f( x ; y) = 3x - 2y + 2.
⇒ f(1 ; 2) = 3.1 - 2.2 + 2 = 1
f(2; -1) = 3.2 - 2.(-1) + 2 = 10
f(-1; -1) = 3.(-1) – 2(-1) + 2 = 1
⇒ f( 1 ; 2).f( 2 ; -1) > 0 nên hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.
Tương tự ; hai điểm A và C nằm cùng phía so với đường thẳng d.
Hai điểm B và C nằm cùng phía so với đường thẳng d.
Vậy đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác ABC.
Chọn D.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho đường thẳng d: x - 5y + 1 = 0 và ba điểm A( 0; -2), B( 1; -3); C(-4; 2). Hỏi đường thẳng d cắt mấy cạnh của tam giác ABC?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Lời giải:
Đáp án: C
Đặt f(x; y) = x - 5y + 1
Suy ra: f( 0; -2) = 0 - 5.(-2) + 1 = 11
f(1; -3) = 1- 5.(-3) + 1 = 17 và f( -4; 2) = - 4 - 5.2 + 1 = - 13
⇒ f( 0; -2) .f( 1; -3) > 0 nên hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.
f(0; -2).f( -4; 2) < 0 nên hai điểm A và C nằm khác phía so với đường thẳng d.
f( 1; -3). f(-4; 2)< 0 nên hai điểm B và C nằm khác phía so với đường thẳng d.
Vậy đường thẳng d cắt hai cạnh của tam giác ABC là AC và BC.
Câu 2: Cho đường thẳng d: 3x - 5y + 1 = 0 và hai điểm A( 0; -2); B( 3; 2). Tìm mệnh đề sai.
A. Hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.
B. Khoảng cách hai điểm A và B là AB = 5.
C. Đoạn thẳng AB cắt đường thẳng d.
D. Có ít nhất một điểm thuộc đường thẳng d
Lời giải:
Đáp án: A
+ Khoảng cách hai điểm A và B là: AB = 
= 5
⇒ B đúng .
+ Đặt f( x; y) = 3x - 5y + 1.
⇒ f( 0; -2) = 3.0 - 5.(-2) + 1 = 11
f( 3; 2) = 3.3 - 5.2 + 1 = 0
Suy ra: điểm B thuộc đường thẳng d và đoạn thẳng AB cắt đường thẳng d tại điểm B.
Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d:
và hai điểm A( 1; 2); B( -3; 4) . Tìm m để d cắt đoạn thẳng AB.
A. m < 3 B. m = 3 C. m > 3 D. Không tồn tại m.
Lời giải:
Đáp án: B
Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quat
( d) : 
⇒ Phương trình đường thẳng ( d):
1(x - m) + 2( y - 1) = 0 hay x + 2y – m - 2 = 0
Đoạn thẳng AB cắt d khi và chỉ khi một trong hai điểm A; B thuộc đường thẳng ( d) hoặc hai điểm này nằm khác phía so với đường thẳng d
⇔ (xA + 2yA - m - 2)(xB + 2yB - m - 2) ≤ 0 ⇔ (3 - m)2 ≤ 0 ⇔ m = 3
Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A( 1; 3);B( - 2; 4) và C(-1; 5) . Đường thẳng d: 2x - 3y + 6 = 0 cắt cạnh nào của tam giác đã cho?
A. Cạnh AC. B. Cạnh AB. C. Cạnh BC. D. Không cạnh nào.
Lời giải:
Đáp án: D
Đặt f( x; y) = 2x - 3y + 6.
⇒ f[A(1; 3)] = 2.1 - 3.3 + 6 = - 1 < 0
f[ B(-2; 4)] = 2.(-2) – 3.4 + 6 = - 10 < 0
và f[C(- 1; 5)] = 2.(-1) - 3.5 + 6 = -11 < 0
⇒ f(A). f(B) > 0; f(B). f(C) > 0 và f( A).f( C) > 0
⇒ Ba điểm A; B và C nằm cùng phía so với đường thẳng d.
⇒ đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác ABC.
Câu 5: Cho đường thẳng d: 4x - y + 9 = 0 và ba điểm A( 1; 0); B( -2; 1) và C(-3; 7). Hỏi đường thẳng d cắt cạnh nào của tam giác.
A. AB B. AC D. BC D. Cả ba cạnh.
Lời giải:
Đáp án: D
Đặt f(x; y) = 4x - y + 9
⇒ f( 1; 0) = 4.1 - 0 + 9 = 13
f(-2; 1) = 4.(-2) - 1 + 9 = 0
và f(-3; 7) = 4.(-3) - 7 + 9 = -10
⇒ Điểm B thuộc đường thẳng d.
Suy ra: cạnh AB cắt đường thẳng d tại B.
Cạnh BC cắt đường thẳng d tại B.
Cạnh AC cắt đường thẳng d vì A và C nằm khác phía so với đường thẳng d.
Câu 6: Cho đường thẳng d: 3x - 4y + 12 = 0 và hai điểm A( -2; 3); B( 3m; -2). Tìm m để đoạn thẳng AB có điểm chung với đường thẳng d.
Lời giải:
Đáp án:
Để đường thẳng d có điểm chung với đoạn thẳng AB khi và chỉ khi một trong hai điểm A( hoặc B) nằm trên đường thẳng d hoặc hai điểm A; B nằm khác phía so với đường thẳng d.
* Trường hợp 1: Một trong hai điểm A hoặc B thuộc đường thẳng d:
+ Nếu A thuộc đường thẳng d thì: 3.(-2) - 4.3 + 12 = 0 ( vô lí)
⇒ Điểm A không thuộc đường thẳng d.
+ Nếu điểm B thuộc đường thẳng d thì: 3.3m - 4.(-2) + 12 = 0
⇔ 9m + 20 = 0 ⇔ m = 
* Trường hợp 2: Hai điểm A và B nằm khác phía so với đường thẳng d.
Đặt f(x; y) = 3x - 4y + 12
⇒ f( -2; 3) = 3.(-2) - 4.3 + 12 = - 6
Và f(3m; - 2) = 3.3m - 4.(-2) + 12 = 9m + 20
Để hai điểm A và B nằm khác phía so với đường thẳng d khi và chỉ khi :
-6(9m+ 20) < 0 ⇔ 9m + 20 > 0
⇔ m >
Kết hợp hai trường hợp để đường thẳng d có điểm chung với đoạn thẳng AB thì
m ≥
Chú ý: Cách làm nhanh. Cho đường thẳng (d) ax + by + c = 0 và hai điểm A; B. Để đoạn thẳng AB cắt đường thẳng d ( có điểm chung với d) khi và chỉ khi:
( axA + byA + c) .( axB + byB + c) ≤ 0.
Câu 7: Cho đường thẳng d: 7x - y + 2 = 0 và hai điểm A( 1; -3) và B ( 2m; m + 1). Tìm điều kiện của m để đoạn thẳng AB có điểm chung với đường thẳng d?
A. m ≤ 
B. m <
C. m ≥
D. m =
Lời giải:
Đáp án: A
Đặt f(x; y) = 7x - y + 2
⇒ f(1; -3) = 7.1 - (-3) + 2 = 12
Và f(2m; m + 1) = 7.2m - (m + 1) + 2 = 13m + 1
Để đoạn thẳng AB có điểm chung với đường thẳng d khi và chỉ khi:
12(13m + 1) ≤ 0 ⇔ 13m + 1 ≤ 0
⇔ m ≤
Vậy để đoạn thẳng AB có điểm chung với đường thẳng d thì m ≤
Câu 8: Cho đường thẳng d: 4x - y + 3 = 0 và ba điểm A( -2; 3); B(m + 1; -m - 2);
C( 2m; m + 1). Tìm điều kiện của m để đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác?
A. m > - 
B. m < -
C. m >
D. m <
Lời giải:
Đáp án: B
+ Đặt f(x; y) = 4x - y + 3
+ Suy ra: f(-2; 3) = 4.(-2) - 3 + 3 = - 8
f( m+1; - m - 2) = 4(m + 1) - (-m - 2) + 3 = 5m + 9
và f(2m; m + 1) = 4.2m - m - 1 + 3 = 7m + 2
+ Để đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác ABC khi và chỉ khi ba điểm A; B và C nằm cùng phía so với đường thẳng d:
⇔ 
⇔ 
Vậy để đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác ABC thì m < -
Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:
- Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng
- Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
- Tìm điểm thuộc đường thẳng có độ dài thỏa mãn điều kiện
- Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
- Cách xác định góc giữa hai đường thẳng
- Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc
- Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng
Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10
Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official
Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Lớp 10 - Kết nối tri thức
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - KNTT
- Giải Toán lớp 10 - KNTT
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - KNTT
- Giải Vật lí lớp 10 - KNTT
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - KNTT
- Giải Sinh học lớp 10 - KNTT
- Giải Địa lí lớp 10 - KNTT
- Giải Lịch sử lớp 10 - KNTT
- Giải Công nghệ lớp 10 - KNTT
- Giải Hoạt động trải nghiệm lớp 10 - KNTT
- Giải Giáo dục quốc phòng lớp 10 - KNTT
- Giải Tin học lớp 10 - KNTT
- Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - CTST
- Giải Toán lớp 10 - CTST
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - CTST
- Giải Vật lí lớp 10 - CTST
- Giải Hóa học lớp 10 - CTST
- Giải Sinh học lớp 10 - CTST
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - CTST
- Giải Địa lí lớp 10 - CTST
- Giải Lịch sử lớp 10 - CTST
- Giải Hoạt động trải nghiệm lớp 10 - CTST
- Lớp 10 - Cánh diều
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - CD
- Giải Toán lớp 10 - CD
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - CD
- Giải Vật lí lớp 10 - CD
- Giải Hóa học lớp 10 - CD
- Giải Sinh học lớp 10 - CD
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - CD
- Giải Địa lí lớp 10 - CD
- Giải Lịch sử lớp 10 - CD
- Giải Giáo dục quốc phòng lớp 10 - CD
- Giải Tin học lớp 10 - CD
