Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía

---

---

Bài viết Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía.

Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía

A. Phương pháp giải

Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và hai điểm M( x_M; y_M); N(x_N; y_N) không nằm trên d. Khi đó:

+ Hai điểm M ; N nằm cùng phía đối với đường thẳng d khi và chỉ khi:

( ax_M + by_M + c) .( ax_N + by_N + c) > 0

+ Hai điểm M ; N nằm khác phía đối với đường thẳng d khi và chỉ khi:

( ax_M + by_M + c) .( ax_N + by_N + c) < 0

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x+ 2y- 10 =0 và hai điểm A( 1; -3) và B( 5;-4) . Chọn mệnh đề đúng :

A. Hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

B. Hai điểm A và B nằm khác phía so với đường thẳng d.

C. Có một điểm nằm trên đường thẳng d.

D. Khoảng cách hai điểm AB là 5.

Lời giải

Đặt f( x; y) = x + 2y - 10.

+ Ta có f(1; -3) = 1 + 2.(-3) - 10 = -15

Và f( 5; -4) = 5 + 2.(-4) - 10 = - 13

⇒ f( 1; -3) . f( 5; -4) > 0

⇒ Hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

+ Khoảng cách hai điểm A và B là: AB =

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: 2x - y + 1 = 0 và ba điểm A(0; -3); B( -1; -1) và C(-3; 2) .

Tìm mệnh đề sai?

A. Hai điểm A và C nằm khác phía so với đường thẳng d.

B. Có ít nhất một điểm nằm trên đườngthẳng d.

C. Có không ít hơn hai điểm không thuộc đường thẳng d

D. Hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

Lời giải

Đặt f( x; y) = 2x - y + 1.

    f(0; -3) = 2.0 - (-3) + 1 = 4

    f(-1; -1) = 2.(-1) – (-1) + 1 = 0

    f(-3; 2) = 2.(-3) – 2 + 1 = - 7

Suy ra:

    Hai điểm A và C nằm khác phía so với đường thẳng d.

    Điểm B thuộc đường thẳng d; hai điểm A và C không thuộc đường thẳng d.

⇒ A; B và C đúng ; D sai.

Chọn D.

Ví dụ 3. Cho đường thẳng d: 3x + 4y – 5 = 0 và 2 điểm A( 1; 3) ; B( 2; m) . Tìm m để A và B nằm cùng phía đối với d?

A. m < 0    B. m > -    C. m > 1    D. m = -

Hướng dẫn giải

Hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d khi và chỉ khi:

( 3 + 12 - 5)(6 + 4m - 5) < 0 hay m > -

Chọn B.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x + 4y - 5 = 0 và hai điểm A( 1; 3) và B ( 2; m). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để A và B nằm cùng phía đối với d?

A. m < 0 .    B. m > -    C. m > - 1    D. m = -

Lời giải

Đặt f( x; y) = 3x + 4y - 5.

Để hai điểm A và B nằm cùng phía đối với d khi và chỉ khi:

f(A).f( B) > 0 ⇔ ( 3.1 + 4.3 - 5).( 3.2 + 4.m - 5) > 0

⇔ 10.( 1 + 4m) > 0 ⇔ 1 + 4m > 0 ⇔ m > -

Chọn B.

Ví dụ 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 4x - 7y + m = 0 và hai điểm A( 1; 2) và B(-3; 4). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để d và đoạn thẳng AB có điểm chung.

A. 10 ≤ m ≤ 40    B. m > 40 hoặc m < 10    C. 10 < m < 40    D. m < 10

Lời giải

Đoạn thẳng AB và d: 4x - 7y + m = 0 có điểm chung khi và chỉ khi

Điểm A( hoặc điểm B) thuộc đường thẳng d hoặc hai điểm A và B nằm khác phía so với đường thẳng d.

+ Nếu A thuộc đường thẳng d thì: 4.1 - 7.2 + m = 0 ⇔ m = 10.

+ Nếu điểm B thuộc đường thẳng d thì: 4.(-3) – 7. 4 + m = 0 ⇔ m = 40.

+ Nếu hai điểm A và B nằm khác phía so với đường thẳng d khi đó đoạn thẳng AB sẽ cắt đường thẳng d.

⇒ ( 4x_A - 7y_A + m) .( 4x_B - 7y_B + m) < 0

⇔ ( m - 10) .( m - 40) < 0 ⇔ 10 < m < 40.

Kết hợp các trường hợp, vậy để đường thẳng d có điểm chung với đoạn thẳng AB thì
10 ≤ m ≤ 40.

Chọn A.

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: và hai điểm A(1; 2) ; B(-2; m). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để A và B nằm cùng phía đối với d?

A. m > 13    B. m ≥ 13    C. m < 13    D. m = 13

Lời giải

Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát

(d)

⇒ Phương trình (d) : 3( x - 2) + 1.(y - 1) = 0

Hay ( d) : 3x + y - 7 = 0

Khi đó để hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d khi và chỉ khi :

(3x_A + y_A - 7)(3x_B + y_B - 7) > 0 ⇔ -2(m - 13) > 0 ⇔ m < 13.

Chọn C.

Ví dụ 7 : Cho đường thẳng d : 3x - 2y + 2 = 0 và ba điểm A( 1 ; 2) ; B( 2 ; -1) ; C(-1 ; -1) . Hỏi đường thẳng d cắt cạnh nào của tam giác BAC ?

A. AB    B. BC    C. AC    D. Không cắt cạnh nào

Lời giải

Đặt f( x ; y) = 3x - 2y + 2.

⇒ f(1 ; 2) = 3.1 - 2.2 + 2 = 1

f(2; -1) = 3.2 - 2.(-1) + 2 = 10

f(-1; -1) = 3.(-1) – 2(-1) + 2 = 1

⇒ f( 1 ; 2).f( 2 ; -1) > 0 nên hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

Tương tự ; hai điểm A và C nằm cùng phía so với đường thẳng d.

Hai điểm B và C nằm cùng phía so với đường thẳng d.

Vậy đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác ABC.

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho đường thẳng d: x - 5y + 1 = 0 và ba điểm A( 0; -2), B( 1; -3); C(-4; 2). Hỏi đường thẳng d cắt mấy cạnh của tam giác ABC?

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

Lời giải:

Đáp án: C

Đặt f(x; y) = x - 5y + 1

Suy ra: f( 0; -2) = 0 - 5.(-2) + 1 = 11

f(1; -3) = 1- 5.(-3) + 1 = 17 và f( -4; 2) = - 4 - 5.2 + 1 = - 13

⇒ f( 0; -2) .f( 1; -3) > 0 nên hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

f(0; -2).f( -4; 2) < 0 nên hai điểm A và C nằm khác phía so với đường thẳng d.

f( 1; -3). f(-4; 2)< 0 nên hai điểm B và C nằm khác phía so với đường thẳng d.

Vậy đường thẳng d cắt hai cạnh của tam giác ABC là AC và BC.

Câu 2: Cho đường thẳng d: 3x - 5y + 1 = 0 và hai điểm A( 0; -2); B( 3; 2). Tìm mệnh đề sai.

A. Hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

B. Khoảng cách hai điểm A và B là AB = 5.

C. Đoạn thẳng AB cắt đường thẳng d.

D. Có ít nhất một điểm thuộc đường thẳng d

Lời giải:

Đáp án: A

+ Khoảng cách hai điểm A và B là: AB = = 5

⇒ B đúng .

+ Đặt f( x; y) = 3x - 5y + 1.

⇒ f( 0; -2) = 3.0 - 5.(-2) + 1 = 11

f( 3; 2) = 3.3 - 5.2 + 1 = 0

Suy ra: điểm B thuộc đường thẳng d và đoạn thẳng AB cắt đường thẳng d tại điểm B.

Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: và hai điểm A( 1; 2); B( -3; 4) . Tìm m để d cắt đoạn thẳng AB.

A. m < 3    B. m = 3    C. m > 3    D. Không tồn tại m.

Lời giải:

Đáp án: B

Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quat

( d) :

⇒ Phương trình đường thẳng ( d):

1(x - m) + 2( y - 1) = 0 hay x + 2y – m - 2 = 0

Đoạn thẳng AB cắt d khi và chỉ khi một trong hai điểm A; B thuộc đường thẳng ( d) hoặc hai điểm này nằm khác phía so với đường thẳng d

⇔ (x_A + 2y_A - m - 2)(x_B + 2y_B - m - 2) ≤ 0 ⇔ (3 - m)² ≤ 0 ⇔ m = 3

Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A( 1; 3);B( - 2; 4) và C(-1; 5) . Đường thẳng d: 2x - 3y + 6 = 0 cắt cạnh nào của tam giác đã cho?

A. Cạnh AC.    B. Cạnh AB.    C. Cạnh BC.    D. Không cạnh nào.

Lời giải:

Đáp án: D

Đặt f( x; y) = 2x - 3y + 6.

⇒ f[A(1; 3)] = 2.1 - 3.3 + 6 = - 1 < 0

f[ B(-2; 4)] = 2.(-2) – 3.4 + 6 = - 10 < 0

và f[C(- 1; 5)] = 2.(-1) - 3.5 + 6 = -11 < 0

⇒ f(A). f(B) > 0; f(B). f(C) > 0 và f( A).f( C) > 0

⇒ Ba điểm A; B và C nằm cùng phía so với đường thẳng d.

⇒ đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác ABC.

Câu 5: Cho đường thẳng d: 4x - y + 9 = 0 và ba điểm A( 1; 0); B( -2; 1) và C(-3; 7). Hỏi đường thẳng d cắt cạnh nào của tam giác.

A. AB    B. AC    D. BC    D. Cả ba cạnh.

Lời giải:

Đáp án: D

Đặt f(x; y) = 4x - y + 9

⇒ f( 1; 0) = 4.1 - 0 + 9 = 13

f(-2; 1) = 4.(-2) - 1 + 9 = 0

và f(-3; 7) = 4.(-3) - 7 + 9 = -10

⇒ Điểm B thuộc đường thẳng d.

Suy ra: cạnh AB cắt đường thẳng d tại B.

Cạnh BC cắt đường thẳng d tại B.

Cạnh AC cắt đường thẳng d vì A và C nằm khác phía so với đường thẳng d.

Câu 6: Cho đường thẳng d: 3x - 4y + 12 = 0 và hai điểm A( -2; 3); B( 3m; -2). Tìm m để đoạn thẳng AB có điểm chung với đường thẳng d.

Lời giải:

Đáp án:

Để đường thẳng d có điểm chung với đoạn thẳng AB khi và chỉ khi một trong hai điểm A( hoặc B) nằm trên đường thẳng d hoặc hai điểm A; B nằm khác phía so với đường thẳng d.

* Trường hợp 1: Một trong hai điểm A hoặc B thuộc đường thẳng d:

+ Nếu A thuộc đường thẳng d thì: 3.(-2) - 4.3 + 12 = 0 ( vô lí)

⇒ Điểm A không thuộc đường thẳng d.

+ Nếu điểm B thuộc đường thẳng d thì: 3.3m - 4.(-2) + 12 = 0

⇔ 9m + 20 = 0 ⇔ m =

* Trường hợp 2: Hai điểm A và B nằm khác phía so với đường thẳng d.

Đặt f(x; y) = 3x - 4y + 12

⇒ f( -2; 3) = 3.(-2) - 4.3 + 12 = - 6

Và f(3m; - 2) = 3.3m - 4.(-2) + 12 = 9m + 20

Để hai điểm A và B nằm khác phía so với đường thẳng d khi và chỉ khi :

-6(9m+ 20) < 0 ⇔ 9m + 20 > 0

⇔ m >

Kết hợp hai trường hợp để đường thẳng d có điểm chung với đoạn thẳng AB thì
m ≥

Chú ý: Cách làm nhanh. Cho đường thẳng (d) ax + by + c = 0 và hai điểm A; B. Để đoạn thẳng AB cắt đường thẳng d ( có điểm chung với d) khi và chỉ khi:

( ax_A + by_A + c) .( ax_B + by_B + c) ≤ 0.

Câu 7: Cho đường thẳng d: 7x - y + 2 = 0 và hai điểm A( 1; -3) và B ( 2m; m + 1). Tìm điều kiện của m để đoạn thẳng AB có điểm chung với đường thẳng d?

A. m ≤    B. m <    C. m ≥    D. m =

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt f(x; y) = 7x - y + 2

⇒ f(1; -3) = 7.1 - (-3) + 2 = 12

Và f(2m; m + 1) = 7.2m - (m + 1) + 2 = 13m + 1

Để đoạn thẳng AB có điểm chung với đường thẳng d khi và chỉ khi:

12(13m + 1) ≤ 0 ⇔ 13m + 1 ≤ 0

⇔ m ≤

Vậy để đoạn thẳng AB có điểm chung với đường thẳng d thì m ≤

Câu 8: Cho đường thẳng d: 4x - y + 3 = 0 và ba điểm A( -2; 3); B(m + 1; -m - 2);
C( 2m; m + 1). Tìm điều kiện của m để đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác?

A. m > -    B. m < -    C. m >    D. m <

Lời giải:

Đáp án: B

+ Đặt f(x; y) = 4x - y + 3

+ Suy ra: f(-2; 3) = 4.(-2) - 3 + 3 = - 8

f( m+1; - m - 2) = 4(m + 1) - (-m - 2) + 3 = 5m + 9

và f(2m; m + 1) = 4.2m - m - 1 + 3 = 7m + 2

+ Để đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác ABC khi và chỉ khi ba điểm A; B và C nằm cùng phía so với đường thẳng d:

⇔

⇔

Vậy để đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác ABC thì m < -

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng
• Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Tìm điểm thuộc đường thẳng có độ dài thỏa mãn điều kiện
• Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
• Cách xác định góc giữa hai đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc
• Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---